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Chapitre1

Ensemblesdenombres

Enmat hŽmatiquesnoussommesconfrontŽsˆdiffŽrentsensembles.Lesplus simplesdÕent res euxsont desensemblesdeno mbres.N ousallonsŽtudiŽscerta inespropriŽ tŽsdecesderniersdans cech apitre.

1.1Intr oduction

Certainsnombresapparai ssentnaturellementda nsleviedetouslesjo urs(notamme ntlorsquÕil

sÕagitdedŽnombr erdesq uantitŽsdiversesetvariŽes).P ourtantlaconst ructionh istorique(dÕun

pointdevuema thŽmat ique)dece sensemblesnÕestpasforcŽmentcelle quelÕonim agine.Voici quelquesmotsˆcesujet : ¥Lesno mbresentierssontconnus depuisEuclide(env iron300av.J.C. ),lanotationN ¥Lesn ombresentiersrelatifs( possŽdantŽventuell ementunsigneÇffÈ)appa raissentdansdes textesdumathŽm aticien sindienårybhata(476ff550):i lsp ermettentd etraiterlanotion dede ttesetderecettes .Cesnom bres sontŽgalementprŽsentsdanslesŽcritsduperseAbu I-Wafa(940ff998);enrev anche,i lfautattendrelestravauxde Stevin (1548ff1620)pou r quÕilsapparaise ntenEurope.Laconstructionformell edecetteensembl eestdenouveau obtenueparDedekind( 1831ff1916)e tlanotat ionZ(dumota llemandZahlensigniÞant ¥Lano tiondefractionestdŽjˆ prŽsent edansdespapyrusŽgyptiens(notammen tlepapyrus Rhinddatantdeff1650av .J.C.)mais leurvŽritablecons tructionmath Žmatiqueda tedes travauxdePeanoen18 95;ilc hoisitlalettreQ(delÕi talienquozientesigniÞantquotient) pourdŽsig nerdetelsnombres.

¥Certainsnombrescommeffou

CantoretDedekind .

7

8CHAPITRE1.ENSEMBL ESDENO MBRES

1.2Nombr esentiers

Lesno mbreslesplussimplesˆ manipu lersontlesnom bresentiers. DŽÞnition1.2.1.1.LÕe nsembleNdŽsignelÕensemble desentierspositifs.Autrementdit,

N={0,1;2 ,...;100;...;}

2.L ÕensembledesentiersrelatifsZdŽsignelÕensemblede snombresentiers.Autrementdit,

Remarque.Enpart iculier,N#Zcecisi gniÞequetouslesŽlŽmentsde NsontŽgale mentdesŽlŽments

propriŽtŽsdecesdeuxensemblesplus tar ddanslÕannŽe .

1.3Nomb resfractionnaires

DÕautresnombresappara issentnaturellementd anslaviedetouslesjou rs,ilsÕag itdesnombres fractionnaires.Cesdernierssontobtenuslorsq uedesprop ortionsdÕunquant itŽdonnŽeestm iseen jeu(le tiersdÕun g‰teau,unedemi- heure,etc). Cesensemblescon tiennentlesensemblesdÕentiers introduitsplust™t.VoicilÕundÕe ntreeux. DŽÞnition1.3.1.LÕensembledesnombresdŽcimau xDestcomp osŽdenombresdelaforme a 10 n aveca$Z,n$N

Exemple1.3.1.1.ff1$Dcarff1=

a 10 n aveca=ff1$Zetn=0$N.

2.20,3$Dcar20,3=

a 10 aveca=203$Z. Iles timportan tdÕobserverquetoutnombredŽ cimaladmetundŽveloppementdŽcimalavecun Exemple1.3.2.Voiciquelque sexemplesillustrantcett epropriŽtŽ: 1 2 =0,5;ff 3 25
=ff0,12; 217
125
=1,736 DŽÞnition1.3.2.LÕensembledesnombresrationn elsQestcom posŽdenombredelaforme a b aveca$Z,b$Z ff

1.3.NOM BRESFRACTIONNAIRES9

Remarque.Enpart iculierD#Q.Pourcela,ilsu"tdÕobserverquetousŽlŽmentsdeDsՎcritdela faonsuivante a 10 n a b avecb=10 n $Z ff

Quelquesexemplesdenomb resrationels.

a b aveca=107$Zet b=22$Z ff 2. 1 3 =0,33333...$Qcar 1 3 a b aveca=1$Zetb=3$Z ff Remarque.Iles tpossible demontrerquetousŽlŽment sdeQpeuventsՎcrireave cunnombreÞni indŽÞniment. Iles talorsnat ureldesÕinterr ogersurlefaitsuivant: 1 3 =0,3333333... sÕagitdÕunŽlŽmen tdeQmaissepou rrait- ilque 1 3 $D?

Commenousallo nslevoir

1 3 DŽÞnition1.3.3.Touslesno mbresdivi siblespar3peuventsՎcriredel afaonsuivante:

3aaveca$Z(1.3.1)

Exemple1.3.4.Ils u"tdeprendrequelquesexemplespoursÕenconvaincre:3=3%1,27=

3%9,....Enrevanche,5 nÕe stpasdivisiblepar3caril nÕe stpaspossibledÕexprimer5souslaforme

5=3aaveca$Z(ici,ilestes sentiel queasoitunenti errela tif).

composeestdivisibl epar3. Exemple1.3.5.Parexem ple,27estdivisiblepar3c ar2+7= 9estdivis iblepar3;25nÕestpas divisiblepar3car3nedivisepa s2+5= 7. Nouspouvon sˆprŽsentnousattaquera urŽ sultatsuivant.

Proposition2.

1 3 $Qmais 1 3 /$D.

10CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

DŽmonstration.LadŽm onstrationdececisefaitparlÕabsurde:nousallonssupposerle contrairedece quenousso uhaitonsdŽ montre r(i.e. 1 3 $D)aÞndÕaboutirˆunecontradiction .

Supposonsdonc,parlÕabsur de,que

1 3 existea$Zetn$Ntelque 1 3 a 10 n Nousallons voirquecetteidentitŽv anousamenerˆ unecontradiction.Pourcela,ilsu"tdÕobserver quecett eidentitŽpeutsÕ Žcriresouslaforme 10 n =3a.

Ainsi,10

n estunmu ltiple de3(pardŽÞnition,cf.1.3.1),ce ciestabsurd ecarlasom medeschiffres composant10 n (cenom brenÕestriendÕautre que1suivitdenzŽros)vaut1qu inÕestpasdivi sib le par3(c f.pr oposition1)

1.4Nombr esrŽels

VoyonsenÞnunder nierensemble ,plus grandencore:celuidesnombresrŽels.Intuitivement, ilco ntienttouslesnombresqu enouspouvons renco ntrerdanslaviedetouslesjours.Ilestdonc

composŽdetouslesenti ers,det outeslesfracti onsmai sausside tousle sautresnombr esquÕiln Õest

pasposs ibledÕexprimersouslaform edÕunefractionoudÕunnombreentier( certainsracinescarrŽ es

parexe mple). DŽÞnition1.4.1.LÕensembledesnombresrŽelsRestcomp osŽdetouslesnombresusuels:

R={...,ff;

2;ff4;

45
7 ;0,234;4372...} Remarque.1.Il estsouv entutiled ereprŽsentercetense mbledenombregraphiquementˆlÕaide

dÕunedroit egraduŽe.Danscecas ,ilestalorspossibl edÕassocierˆunnombre rŽe lˆtout point

Mdece ttedroitegraduŽe. CenombreestappelŽa bscissedupointM.

2.Ob servonsŽgalementquelenombre

alorsnature ldesedemandersi 2$Q. CommenouslÕav onsfaitremar querplust™t,lesinclu sionssuivantessontvŽriގes

N#Z#D#Q#R

Ile xisteencoredenombr euxensemblesenmat hŽmati quesmaisilfaudrapatienterencorepourles

Žtudier.

PythagoreŽtaientp ersuadŽsquetouteslongue urspouvanttredes sinerdevaitaussisՎcrire comme

unnom brerationnel(i. e.unefraction a b $Q).Il sfurentbi enennuyŽfaceˆlÕhy potŽnusedÕun

2etcommenousallonslevoir

2/$Q.CeciseratraitŽdansunD.M.

1.5.ENCA DREMENTPARDESNOMBRESDƒCIMAUX11

Proposition3.

2/$Q. DŽmonstration.Cf.D.M. (donnŽdansle chapitredÕarithmŽ tique)

1.5Encad rementpardesnombresdŽcimaux

IlnÕ estpaspossibled Վcrire

iles talorspra tiquedetrouve runencadrementdecelui- ciˆlÕaidedenomb resdŽc imaux(quisont plussim plesˆmanipuler). DŽÞnition1.5.1.Unenc adrementdŽcimaldÕunnombrerŽe lxestunei nŽgalitŽdela forme d 1 &x&d 2 avecd 1 ,d 2 $D.

Ladi ffŽrenced

2 ffd 1 correspondˆlÕamplitudedelÕe ncad rement.

Exemple1.5.1.Iles tŽvidentq ue1,4<

2<1,5estunencadrementde

2dÕamplitude

1,5ff1,4=0,1=10

"1 virgule. DŽÞnition1.5.2.Soitx$Retc onsidŽronsunencadrementdexdÕamplitude10 "n i.e.d 1 &x&d 2 avecd 1 ,d 2 $Detd 2 ffd 1 =10 "n pourn$N. LÕundeces deuxno mbresestp lusprochede xquelÕaut re,ilsÕagitdelÕarrond iˆ10 "n dex.

Exemple1.5.2.

Sin=3,nousavons1,414&

2vaut1,414.

12CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

1.6Sous -ensemblesdeR

Iles tparfois utiledՎtudierdessous -ensemblesdeR,cÕestˆdireunecollectiondenombrerŽels.

1.6.1Lesint ervalles

LorsquenousŽtudieron sdesfonctions, nousauronsˆconsidŽrerdesso us-ensem blesparticuliers deRappelŽsintervalles.IlpeutsÕagirdesegment,dedemi-droiteouencoredeladroitedesr Žels

DŽbutonsparlessegment s:

VoyonsˆprŽsentl eca sdesdemi-droites:

Remarque.1.Il fautpren dregardedansqu elsenslessymbol es[et] sontplacŽs.Silecrochet

esttou rnŽversÇlÕinterieurÈ, celasigniÞe qu elÕextrŽmitŽdusegment(oudelademi-droite)

faitpartid elÕensembleenq uestio n;aucontraire,silecrochetestto urnŽversÇ lÕextŽrieurÈ,

celasign iÞequelÕextrŽmitŽdusegm ent(oudela demi-droite)est exclue.

2.At tentionaufaitsuivant:lessym bole s±'nes ontpasdesnombres rŽelse t,auly cŽe,le

crochetsetrouvant ˆc™tŽde cesymboleesttoujoursouvert (pourexclu recettevaleur).

1.7.ENCA DREMENTETVALEURABSOLUE13

Notonsaupassag equeR=]ff';+'[.Pa rlasuite,ils era importantdesavo irpa sserdÕune notationˆlÕautre.

1.7Enca drementetvaleurabsolue

Lava leurabsolueestun enouvellefonctionquiperm etdemes ureladi stances entredeuxpoints, elleestŽgal ementuti lepourreprŽsentercertain sintervalles. DŽÞnition1.7.1.Lav aleurabsoluedÕunen ombrerŽelxestdŽÞni ecommesuit: |x|= ff xsix(0 ffxsox&0

Voyonssurquelque sexemple s.

Exemple1.7.1.1.|7|=7car7(0alorsque|ff2,3|=ff(ff2,,3)=2 ,3carff2,3&0.

2.|1ff

2|=

2ff1car1<

2)1,414...donc1ff

2<0,pou rcalculerl avaleurabsolue

nousdevons prendrelÕopposŽ de1ff 2.

3.|1+ff|=1+ffcar1+ff>0.

Voiciquelques propriŽtŽssatisfaitespa rlavaleurabsolue.

Proposition4.Danscequ isuit a,b$R

1.|a|(0,|a|=|ffa|et|a|

2 =a 2

2.|affb|=|bffa|et|ab|=|a|%|b|

3.(I nŽgalitŽtriangulaire)|affb|&|a|+|b|

LadŽÞ nitiondedistanceci-dessousen termed evaleurabsolue,perm etdÕinterprŽtercert aines

desasse rtionsdelapropositionprŽcŽdente s.L adista nceentredeuxpo intsaetbestdŽÞni ecomme

suit. DŽÞnition1.7.2.Soienta,b$Ralorsladistanc ed(a;b)entreaetbestdŽÞni epar d(a;b)=|affb| Remarque.Enpart iculier,|a|=d(0;a).De plus,l efaitque|affb|=|bffa|peutsÕinte rprŽter gŽomŽtriquementendisantqueladistanceentre aetbestlamm equecell eentrebeta. Pourquecel asoitmoin sabstrait,n ousallonsvoi rquÕilestpossibledereliercette notion de distanceaveclesinte rvalles.Nousde vronsrŽso udredesŽquationsetinŽquations impliqua ntla valeurabsolue. xsetr ouvantˆunedistancede2dup oin t3.Unpeti tdessinpermetd etrouv erquedanscecas x=5oux=ff1. trouverlÕensembled esnombressetrouvantˆunedistance de4dupointff2.

14CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

LorsquenousmodiÞon slesymbole=d elՎquationprŽcŽdentepar<,&,(ou>,nousdes intervalles(ourŽuniondÕinterva lles)aulieud edeuxnombres.

Voyonssurdeuxex emplesceq uÕilseprodu it.

Exemple1.7.3.1.RŽ soudre|xff2|<6revientˆdŽterminerlÕensembledesxsetr ouvantˆune distanceaupl usde6du poi nt 2.Undessinpermet demontr erquelÕ ensembledessolutions estlÕin tervalle]4;8[.

2.RŽ soudre|xff1|(3revientˆdŽterminerlÕensembledesxsetr ouvantˆunedistanceau

moinsde3 dupo int 1.IlsÕagitdoncdelÕ ensemble ]ff';ff2]*[4;+'[ Remarque.Ile stimporta ntdՐtrecapabledefaireladŽ marcheinverse:exprimerunintervalle(ou

unerŽ uniondÕintervalle s)ˆlÕaidedelavaleurabsolue.Pource la,ilfautdŽtermine ralece ntrede

lÕintervalleetlavaleurder.

1.le centred elÕintervalle[ff3;7]corresp ondˆlamoyennedesex trŽm itŽsdu segment.CÕest-ˆ-

direa= "3+7 2 =4.Lavaleurderestobt enueendŽterminantladiffŽrenceentrele centrede lÕintervalleetlÕunedesesext rŽmitŽs .Parexem ple,r=7ff4=3.Enconclusion, x$[ff3;7]+,|xff4|&3

2.Dan slemmees prit,lÕ intervalle]ff';ff3]*[7;+'[peutsÕexprimerˆlÕaidedÕunevaleur

absolue.Pourcela,ondŽte rminera= "3+7 2 =4etr=7ff4=3.Donc x$]ff';ff3]*[7;+'[+,|xff4|(3

1.lÕe nsembledesx$Rtelsque|xffa| ]affr;a+r[.

2.l Õensembledesx$Rtelsque|xffa|(rdŽsignelÕensemble desrŽels]ff',affr[*]a+r;+'[.

1.8Poura llerplusl oin

CertainesquestionsliŽesˆ lathŽoriedesensemblessonte xtrmementcomplexes.Dansl eur qutedeforma lisme, lesmathŽmaticiensontcherchŽˆtrou verun elistedÕa xiomepermettant

dec onstruiretoutelathŽoriemathŽm atiques(ensem ble,fonctions,Žquations,gŽom Žtrie,etc)ˆ

partirdecettelist een utilisantuniquemen tdesraisonnementslogico -dŽductifs.Enfaisantainsi,

ilv oulaitaussisÕassur erquelesmathŽma tiquesŽtaientbienqu elquechosedecohŽrents. Eneffet,

puisquetoutesles propriŽtŽsquevousa vezpurencon trŽesdansvotres colaritŽserv entˆdŽmontrer

quedÕau tresrŽsultatssontvrais,i lseraitbienembtantquel esocle dÕuntelŽdiÞce(lesax iomes)

1.9.LIS TEDÕEXERCICESPOTENTI ELS15

commesuit:ˆp artirdetoute lis ted Õaxiomeraisonnabl e(permettantdefairedelÕarit hmŽtiq ue,

dela gŽomŽt rie,...)ilestpossibledetrouverunŽ noncŽmathŽmatiqueindŽcidable.Autrement

savŽ racitŽ. paradoxedeRusselquiaŽt ŽdŽc ouvertparlemathŽma ticie nŽponymeen1901.Ilp roposel e contextesuivant:supposonsquedansunevill e,lebarb iernerasequel eshommesquineserasent pasmme setpo salaquestions uivant e

Çquidoit raserlebarbier?È

Unpe titraisonneme ntparlÕabsurde,montrequelebarbiernepeuxexistersansquoinous aurionsunecontrad iction.

1.9Lis tedÕexercices potentiels

¥savoirˆquelensemb leu nnombreappa rtient:exercices13ff15,18,26,28page 26. ¥DroitegraduŽeet ensembledenombres:ex ercice 43page27(placercesnombr essurundr oite ¥arrondietencad rement: exercices45page28.Exercice49page28 enD M. ¥Intervalles:exercices56,57,59,61page 28/29.I mposerlestroisŽcritures ˆchaquefois .

¥Distances:exercices67,72,75,76page 29.

Lesex ercicessuivantsp euventtrefaitpoursÕentrain er:36p age27,42page27, 50,51,55,58 page28,73,74page 29.

1.10Bil anduchapitre

Voicilescomp Žtencesˆa cquŽrirdurantcechapitre:

¥DŽterminerlanaturedÕunnombr e.

¥Passerdelanotati onvale urabs oluesauxintervallesetvi ce-versa.ReprŽsentergrap hiquement ¥DŽmontrerquÕunnombrenÕest pasdŽcimal.

16CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46