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On construit les figures successives de la génération d'un flocon de Von Koch en partant de la figure Fa : Fa est un triangle équilatéral de côté a ; on coupe
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Niels Fabian Helge Von Koch, (Suédois 1870-1924) est un mathématicien qui a donné son nom à l'une des premières fractales : le flocon de Koch ou flocon de
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Le flocon de von Koch est le flocon obtenu à la limite de ces opérations Le but est de calculer son périmètre ainsi que son aire Fixons quelques notations : cn
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3 jan 2013 · La courbe originale de Von Koch, aussi appelée courbe du flocon de neige, s' obtient comme la limite d'un contour polygonal A chaque étape,
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La longueur du flocon de von Koch est infinie Page 5 On vient de découvrir une propriété des objets fractals qui aura des applications
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Le flocon de Von Koch b) Chaque figure se construit à partir de la figure précédente C'est ce qu'on appelle un procédé par récurrence On divise chaque côté
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l'aire d'un objet fractal, le Flocon de Von Koch, qui est la figure « ultime » – la limite à l'infini – obtenue dans la construction itérée de figures, en partant d'un
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Niels Fabian Helge von Koch (1870 – 1924) était un mathématicien suédois Le principe de la courbe de Koch a été utilisé pour construire des murs anti-bruit bien
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Exercice 1 : Le flocon de Koch 1 Etude du nombre de côtés 1) C1 est le nombre de segments à la première étape donc C1 = 3 D'après la figure du livre on a
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Le triangle correspond au flocon de von Koch avec un degré de détail valant 1 Le but de cette partie est de faire dessiner à Maxima le flocon de von Koch Fd
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Le flocon de Von Kochb) Chaque figure se construit à partir de la figure précédente . C'est ce qu'on appelle un procédé par récurrence .
On divise chaque côté de la figure précédente en trois parts égales . En prenant le tiers du milieu comme base, on construit un triangle équilatéralqui est une réduction de la figure 0 . c) Sur la figure 0 , il y a 3 côtés . Sur la figure 1 , il y a 12 côtés . Sur la figure 3 , il y a 48 côtés . d) La figure 3 aura 192 côtés . e) Chaque côté de la figure précédente est remplacé par 4 petits segments ,
donc on multiplie à chaque fois le nombre de côtés de la figure précédente par 4. à la nième étape ,on aura multiplié n fois par 4 . Donc on auramultiplié par 4n . Or on part de la figure 0 qui a 3 côtés . Nombre de côtés à la nième étape : 3×4n
f) pour l'étape 80 : 3×480 ≈4,5×1048 : ceci est environ le nombre de
côtés de l'étape 80 : cela fait beaucoup .....g) À chaque fois , le côté de la figure précédente est divisé en 3 , donc une
figure a des côtés 3 fois plus petits que la figure précédente . Figure 0 : périmètre = 3×9cm = 27 cm . Figure 1 : périmètre =
12×3cm = 36 cm Figure 2 : périmètre =
48×1cm = 48 cm .Figure 3 : périmètre = 192×1
3cm = 64 cm .h) à chaque fois , on a dit que la longueur du côté est divisée par 3 . à la nième étape , on a divisé n fois par 3 . Or on part d'un côté de
départ de 9 cm . Longueur d'un côté à la nième étape : 93n ( = 32
3n=13n-2 )
pour ceux qui ont simplifié avec les règles de calcul sur les puissances i) Pour avoir le périmètre , il suffit de multiplier par le nombre de côtés : périmètre à la nième étape : 9
3n×3×4n=27×4n
3n=27×4
3n
j) à l'étape 80 : le périmètre vaut 27×4380
≈ 2,7×1011cm Soit environ 270 milliards de cm ou bien 2,7 millions de km environ .Ce qui fait pas mal pour un flocon de neige ..... Ensemble de Mandelbrot ( une des fractales les plus célèbres ) :
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