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COURS SECONDE LES FONCTIONS AFFINES
1. Définition
On considère deux réels a et b. La fonction f définie sur ? par f(x) = ax + b est appelée fonction affine.
Sa représentation graphique est la droite d'équation y = ax + b. Le nombre a s'appelle le coefficient directeur de la droite. Le nombre b est l'ordonnée à l'origine : la droite passe par le point de coordonnées (0 ; b).Exemple : f(x) = 2x - 5 .
Pour représenter la fonction f, on choisit deux valeurs de x , on calcule leur image, on place les deux points dans un repère du plan et on trace la droite passant par ces deux points. Si x = 0, f(0) = - 5 ; la droite passe par le point A(0 ; - 5 ). Si x = 2, f(2) = 4 - 5 = - 1 ; la droite passe par le point B(2 ; - 1 ).Cas particuliers
??Si b = 0, la fonction est dite linéaire . Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. ??Si a = 0, la fonction est constante. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.Caractérisation
: les fonctions affines sont les fonctions dont les accroissements des images sont proportionnels aux accroissements des valeurs de x. En effet, soit u et v deux nombres réels distincts. Alors f?u??f?v? u?v = au?b??av?b? u?v = au?av u?v = a?u?v? u?v = a qui est une constante.2. Sens de variation
Propriété : Soit f la fonction affine définie sur ? par f(x) = ax + b.Si a > 0, la fonction f est croissante sur ?.
Si a = 0, la fonction f est constante sur ?.
Si a < 0, la fonction f est décroissante sur ?.Démonstration :
Considérons deux réels u et v tels que u < v . Alors f(u) - f(v) = au + b - (av + b) = au - av = a(u - v).Comme u < v alors u - v < 0.
Ainsi, si a > 0, f(u) - f(v) < 0, donc f(u) < f(v) ; la fonction f conserve l'ordre et la fonction f est croissante. Si a = 0, f(u) = f(v) et la fonction f est constante. Si a < 0, f(u) - f(v) > 0, donc f(u) > f(v) ; la fonction f inverse l'ordre et la fonction f est décroissante. Exemple : f(x) = 2x - 5 est croissante sur ?; g(x) = - 3x + 2 est décroissante sur ?; h(x) = 2 est constante sur ?. (ci-contre)3. Signe de
ax + bDans ce paragraphe, on suppose a ≠ 0.
Propriété : Le signe de ax + b suivant les valeurs de x est donné par l'un des deux tableaux suivants :
a > 0a < 0 x- ∞ ?b a + ∞x- ∞?b a + ∞Signe de ax + b- 0 +
3 Signe de ax + b+ 0 - 1
Démonstration :
La solution de l'équation ax + b = 0 est x =
?b a.Si a > 0, et si x ?
?b a, alors ax ? - b et ax + b ? 0 ; si x ? ?b a, alors ax ? - b et ax + b ? 0 .Si a < 0, et si x ?
?b a, alors ax ? - b et ax + b ? 0 ; si x ? ?b a, alors ax ? - b et ax + b ? 0 .Exemple :
a > 0a < 0 x- ∞ 2 + ∞x- ∞ 53 + ∞
Signe de 2x - 4 - 0 +
3 Signe de - 3x + 5 + 0 - 1
4. Résolution d'inéquations
On cherche à résoudre des inéquations se présentant sous la forme d'un produit de facteurs de la forme ax + b , ce
produit étant supérieur ou inférieur à 0. On réalise un tableau de signes donnant le signe de chacun des facteurs de
la forme ax + b, et le signe du produit. On utilise pour cela le signe de ax + b vu précédemment.Une propriété à utiliser: Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.
Il est parfois nécessaire de factoriser l'expression donnée pour se ramener à une inéquation à produit supérieur ou
inférieur à 0.Exemples: 1) Résoudre l'inéquation 9x2 - 4 < 0; on factorise d'abord l'expression 9x2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2), et
ensuite, on résout l'inéquation (3x - 2)(3x + 2) < 0 en réalisant un tableau de signes:3x - 2 = 0, lorsque x =
23 ; 3x + 2 = 0, soit x = ?2
3 x- ∞?2 3 23 + ∞
Signe de 3x - 2 - - 0 +
3Signe de 3x + 2 - 0 +
1+Signe du produit + 0 - 0 +
1Le produit (3x - 2)(3x + 2) < 0, doit être strictement négatif ; ceci est réalisé lorsque x ? ] ?2
3 ; 2 3 [ . Donc la solution de l'inéquation 9x2 - 4 < 0 est S = ] ?2 3 ; 2 3 [ .quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46