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ci est unique 1 Calcul de l'image d'un nombre L'image d'un nombre x par une fonction f se note f (x); on lit «f de x» Pour désigner la fonction qui à x associe f 

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Image d'une fonction Définition : soit f, une fonction réelle im f = {y œ : y = f(x) et x œ dom f } Déterminer l'image d'une fonction, c'est trouver les réels y qui sont 

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Calculer une image : Calculer l'image de (-5) par la fonction f définie par : f(x) = 2x² + 3x − 4

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Exercice n°3: Soit une fonction et le tableau suivant : 3 4 6 Image de par 5 10 10 Recopier et compléter les phrases suivantes : 1) 5 est de par 2) Un

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Attestatrice : le fait a bien eu lieu, témoignage Sert à crédibiliser Ex : catastrophe ou incendie Page 3 Les fonctions de l'image 3 Expressive ou émotive

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On appelle f la fonction qui à un nombre fait correspondre son carré Au nombre 9 est l'image de 3 par la fonction f 3 est un antécédent de 9 par la fonction f

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On appelle fonction de la variable x tout procédé qui, à chaque nombre x, associe un unique On dit que l'image de 4 par la fonction f est 16, ou bien que

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Théor`eme Soit f une fonction continue et I un intervalle contenu dans DDf Alors f (I) est un intervalle Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction 

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Image des intervalles

Dedou

Mars 2012

Exemples d'images

L'image de [2;3] par la fonction carre est [4;9]L'image de ]2;3[ par la fonction carre est [0;9[.Exo 1

Quelle est l'image de [2;1[ par la fonctionx7!1 +x4?

Denition de l'image

Denition

Soitfune fonction etIune partie deDDf.

L'image deIparf, noteef(I) est l'ensemble des nombres de la formef(x) avecx2I: f(I) :=ff(x)jx2Ig:

Valeurs intermediaires

Theoreme

Soitfune fonction continue etIun intervalle contenu dansDDf. Alorsf(I) est un intervalle.Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Intervalles

Il y a environ sept sortes d'intervalles. Mais on peut donner une denition uniforme. Les mathematiciens aiment bien ce genre de "factorisation".Denition Une partieIdeRest un intervalle ssi chaque fois qu'elle contient deux nombres, elle contient aussi tout l'intervalle entre ces deux nombres :

8x;y;z2R;x2Ietz2Ietx

Cas des fonctions croissantes

Proposition

Sifest continue croissante sur l'intervalle [a;b] alors on a f([a;b]) = [f(a);f(b)]

Si de plusfest strictement croissante, on a aussi

f(]a;b[) =]f(a);f(b)[:Contre exemple L'image par la fonction partie entiereEde l'intervalle [0;1] n'est pas l'intervalle [0;1].

Cas des fonctions quelconques

Pour calculer l'image par des fonctions non monotones, on utilise la formule suivante pour l'image d'une reunion :Proposition L'image par une fonction quelconquefde la reunionI[Jde deux intervalles est la reunionf(I)[f(J) des images des deux intervalles.Exemple

Soitfla fonction carre. On a

f([2;3]) =f([2;0][[0;3]) =f([2;0])[f([0;3]) = [0;4][[0;9].

Et doncf([2;3]) = [0;9]:Exo 2

Expliquez le calcul def(]4;1]).

Warning

Attention

L'image d'une intersection n'est en general pas l'intersection des images.Exo 3 Calculez sin([0;2]\[;3]) et sin([0;2])\sin([;3]) .

Les bornes des fonctions continues

Theoreme

L'image par une fonction continue d'un intervalle ferme borne est aussi un intervalle ferme borne.Autrement dit, sur un intervalle [a;b] de son domaine de denition, une fonction continue est bornee et atteint ses bornes.Encore autrement dit L'image d'un intervalle [a;b] par une fonction continue est un intervalle ferme borne [m;M].Cet enonce ne nous etonne pas du tout, avec nos potes, vu que pour les fonctions qu'on conna^t, ca se voit gros comme une maison sur le tableau de variations. Pourtant ce theoreme n'est pas facile a prouver. Ceux que ca interesse sont bienvenus a essayer de comprendre la preuve.

Exemple

Exo corrige

On posef:=x7!x36x+ 1. Calculerf([2;4]).

Exo Exo 4

On posef:=x7!x315x+ 2. Calculerf([3;5]).

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