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a) Définition : la fonction carrée est la fonction f définie sur par f(x) = x2 alors a2 – b2 = (a + b)(a – b) ; le signe de a + b est strictement positif puisque les deux nombres sont D'après le graphique ou le tableau de variations, la solution est
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D'après la règle des signes d'un produit, on en déduit que : a−b a b 0 Le tableau de variations de la fonction carrée est donc: B ) REPRÉ
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de la fonction carré à partir d'un tableau de valeurs x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 On peut distinguer deux cas selon le signe du coefficient de x² Si a > 0 La parabole
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et la fonction f n'a pas d'extrémum sur IR \{0} x ↦ x La fonction racine carrée est définie pour x 0 Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante f '(x) = 1 2 x
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1 déduire le tableau de signes de la fonction carrée du tableau de variations de cette même fonction 2 étudier le signe des fonctions suivantes
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La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O - Dans un On dresse le tableau de signes du trinôme −x2 +7x −10 : x −∞ 2 5 +∞
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FONCTION CARR É E - POLYNOMES DU SECOND DEGR É
1 ) LA FONCTION CARR É E
A ) D É FINITION et VARIATIONS
Définition :
La fonction définie sur ℝ, qui à tout nombre réel x associe son carré x2, est appelée fonction carrée.
Remarque:
La fonction carrée n'est pas linéaire.
Propriété :
La fonction carrée f:x x2 est strictement décroissante sur ]-∞;0].La fonction carrée f:x
x2 est strictement croissante sur [0;∞[.Preuve :
Soit a et
b deux nombres réels tels que ab . On a alors : f a-fb=a2-b2=a-bab1er cas: ab02ème cas: 0ab a-b0 puisque ab, ab0 puisque a et b sont négatifs ou nuls. D'après la règle des signes d'un produit, on en déduit que : ⇔ f a-fb0 ⇔ f afbLes images de a et de b par la fonction carrée sont donc dans l'ordre contraire de a et de b, ce qui démontre que la fonction carrée est strictement décroissante sur ]-∞;0]. a-b0puisque ab, ab0 puisque a et b sont positifs ou nuls. D'après la règle des signes d'un produit, on en déduit que: ⇔ f a-fb0 fafbLes images de a et de b par la fonction carrée sont donc dans le même ordre que a et b, ce qui démontre que la fonction carrée est strictement croissante sur [0;∞[.Remarques :
•Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés •Deux nombres négatifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs carrés Le tableau de variations de la fonction carrée est donc:B ) REPR É SENTATION GRAPHIQUE
x-4-3-2-1-0,500,51234 f x=x2169410,2500,2514916Définition :
Dans un repère orthogonal
O,I,J, la courbe représentative de la fonction carrée est appelée parabole d'équation y=x2 . (Elle est souvent notée P )Le point O 0;0 est appelé sommet de la parabole.Fonction carrée - Polynômes du second degré - auteur : Pierre Lux - page 1/3La fonction carrée admet un
minimum en 0, de valeur 0.∀x∈ℝ, x2≥0 et 02=0x- ∞ 0 +∞
f 0Propriété :
Dans un repère orthogonal, la parabole P représentant la fonction carrée est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées.Preuve :
Soit un point Mx;y appartenant à la parabole P . On a alors y=x2. Le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées Oy est la point M'-x;y. Or -x2=x2=y , donc M' appartient aussi à la parabole P . Ainsi, pour tout point M de P, son symétrique par rapport àOy appartient aussi à P . On en déduit que P est symétrique par rapport à Oy.
2 ) FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGR É
A ) LES FONCTIONS
x ax-2 (avec a≠0)Définition :
Soit a , et trois nombres réels avec a non nul.Dans un repère orthogonal
O,I,J, la courbe représentative de la fonction x ax-2 est appelée parabole d'équation y=ax-2 . (Elle est souvent notée P )Le tableau ci-dessous présente un inventaire des différentes situations en fonction des paramètres a,
et .a0 a0
ax2 0 000a x-2Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.
Remarque :
Le point le plus " bas » ou le plus " haut » de la parabole s'appelle le sommet de la parabole.
Fonction carrée - Polynômes du second degré - auteur : Pierre Lux - page 2/3La fonction carrée est un cas
particulier de cette famille de fonction. x- ∞ +∞ f x- ∞ f Les tableaux précédents permettent de conjecturer les propriétés suivantes.Propriété :
•Si a0, f est strictement décroissante, puis strictement croissante. •Si a0, f est strictement croissante, puis strictement décroissante.Propriété :
P est symétrique par rapport à une droite parallèle à l'axe des ordonnées. B ) LES FONCTIONS xax2bxc (avec a≠0)Définition :
Soit a,b et c trois nombres réels avec a non nul.On appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction qui à tout réel x, associe le réel
ax2bxc.Exemples :
•La fonction carrée et la fonction f:x 2x2-3x5 sont des polynômes du second degré. •Les fonctions linéaires et affines ne sont pas des polynômes du second degré.Remarque :
Toute fonction polynôme du second degré f:x ax2bxc peut s'écrire sous la forme x ax-2 . Cette dernière écriture est appelée forme canonique. Tous les résultats du paragraphe précédent peuvent donc s'appliquer.3) É QUATION PRODUIT - IN É QUATION PRODUIT
Propriété :
Soit a,b,c et d quatre nombres réels avec a et
b non nuls.L'équation produit
axbcxd=0 admet deux solutions réelles : -b a et -d cExemple : -3x12x-5=0 ⇔ x=13 ou x=5
2Remarque :
Les deux solutions peuvent éventuellement être confondues.Propriété :
•Le produit de deux réels de même signe est positif. •Le produit de deux réels de signes contraires est négatif. Soit a,b,c et d quatre nombres réels avec a et b non nuls.Pour résoudre l'inéquation
axbcxd0, on étudie séparément les signes de axb et de cxd, puis à l'aide d'un tableau de signes on
détermine le signe du produit