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2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeGeneralites sur les fonctions

( En seconde )

Derniere mise a jour : Dimanche 31 Octobre 2010VincentOBATON, Enseignant au lycee Stendhal de Grenoble (Annee 2010-2011)Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-1-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeJ'aimais et j'aime

encore les mathema- tiques pour elles-m^emes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux b^etes d'aversion.

Stendhal

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-2-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeTable des matieres

1

D enitionet N otations

4 2

En sembled ed enitiond 'unefo nction

4 3

Re presentationd' unefo nction

5 3.1

Rep resentational gebrique

5 3.2

Rep resentationgrap hiqued 'unef onction

6 3.3

Rep resentational gorithmiqued' unefon ction

7 4 Re cherched el 'imaged 'unn ombrep aru nefo nction 8 4.1

Al gebriquement

8 4.2

G raphiquement

8 4.3

A l 'aided el 'algorithme

9 5 Re cherched esan tecedentsd 'unn ombrep aru nefo nction 1 0 5.1

Al gebriquement

10 5.2

G raphiquement

10 5.3

A l 'aided el 'algorithme

10 6

R esolutiond 'inequations

1 1 6.1

Al gebriquement

11 6.2

G raphiquement

11 7

Re cherched esex tremasd 'unef onction

1 2 7.1

Al gebriquement

12 7.2

G raphiquement

13 8

L etab leaud es igned 'unefo nction

1 4 9

L etab leaud esv ariationsd 'unef onctions

1 5 10

Q uelquescas p articuliers

1 6 10.1

Les fon ctionsp aires

16 10.2

Les fon ctionsi mpaires

17 10.3

Les fon ctionsp eriodiques

18 Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-3-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde1D enitionet N otations

Nous n'allons pas utiliser cette representation a chaque fois que l'on travaille sur une fonction et donc nous allons utiliser une nouvelle notation qui veut dire la m^eme chose mais en plus simple :

Notation mathematique d'une fonction:

f:x7!f(x)

On lit :fla fonction qui axassocie son imagef(x)

Attention au vocabulaire :

fest la fonction,xest l'antecedent etf(x) l'image dexpar la fonctionf.

Ne pas confondrefetf(x).Exemples :

1.f1:x7!3x(Fonction lineaire)

2.f2:x7!5x+ 4 (Fonction ane)

3.f3:x7!6 (Fonction constante)

4.f4:x7!x2(Fonction "carre")

5.f5:x7!px(Focntion racine carree)

6.f6:x7!5x+ 37x1(Fonction homographique)

7.f7:x7!4(x1)225 (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

canonique)

8.f8:x7!4x25x+ 6 (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

developpee)

9.f9:x7!2(x2)(x+ 3) (Fonction polyn^ome du second degre sous forme

factorisee) 2

Ens emblede d enitiond'une f onction

Denition :

L'ensemble de denition d'une fonctionfest l'ensembleDfdes valeurs dex (antecedents) pour lesquellesf(x) (image) existe. Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-4-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeIl n'y a que deux ou trois cas, en seconde, pour lesquels il se peut que la fonction

admette des valeurs interdites. Les fonctions sous forme rationnelle avecxau denominateur et les fonctions sous forme de racines carrees avecxsous le radical.

Exemples :

1.f1:x7!3x25

f

1(x) existe pour toutes les valeurs reelles dexdoncD

f1=ROn peut aussi ecrire :D f1=] 1;+1[2.f2:x7!1x f

2(x) existe si et seulement six6= 0 doncD

f2=Rn f0gOn peut aussi ecrire :D f2=] 1;0[[]0;+1[ouD f2=R3.f3:x7!3x12x4f

3(x) existe si et seulement si 2x46= 0,2x6= 4,x6= 2

DoncD f3=] 1;2[[]2;+1[ouD f2=Rn f2g4.f4:x7!5x+ 1x 29
f

4(x) existe si et seulement six296= 0,(x3)(x+ 3)6= 0,x36= 0 et

x+ 36= 0 ,x6= 3 etx6=3 DoncD f4=] 1;3[[]3;3[[]3;+1[ouD f4=Rn f3;3g5.f5:x7!p3x6 f

5(x) existe si et seulement si 3x60,3x6,x2

doncD f5= [2;+1[6.f6:x7!p155x f

6(x) existe si et seulement si 155x0, 5x 15,x3

doncD f3=] 1;3]3R epresentationd' unef onction Nous allons voir trois facon de representer une fonction, la representation sous forme algebrique que nous avons vu dans le paragraphe precedent, la representation sous forem graphique et la representation sous forme d'algorithme. Vous devez savoir manipuler les trois forme et passer de l'une a l'autre. 3.1

Repr esentationa lgebrique

La representation algebrique d'une fonction est l'expression def(x) en fonction dex.

Voir les exemples du premier paragraphe.

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-5-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeA l'aide de la representation algebrique, on peut par exemple dresser un tableau de

valeurs de la fonctionf.

Exemple :

f:x7!3x25 Tableau de valeurs :x2101p21;5f(x)725211;753.2Repr esentationg raphiqued'une fo nction Lorsqu'on a la representation algebrique ou algorithmique on peut dresser un tableau de valeurs de la fonctionfpuis ensuite denir des points de la forme (x;f(x)) que l'on peut placer dans un repere (O;OI;OJ) ouOIetOJsont les unites des axes du repere.

Notation :

On noteraCfla courbe representative de la fonctionfdans le repere. Attention : Il ne faut pas non plus confondref,Cfetf(x). Ce sont trois choses dierentes.

Exemple :

f:x7!x2

Tableau de valeurs :x321012

f(x)9410149

(x;f(x))A(3;9)B(2;4)C(1;1)D(0;0)E(1;1)F(2;4)G(3;9)Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-6-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde3.3Repr esentationa lgorithmiqued' unef onction

Un algorithme est une suite d'instructions rigoureuses, ordonnant a un processeur (vous ou l'ordinateur) d'executer dans un ordre un nombre ni d'operations elementaires. On va des fois confondre algorithme et programme. Le programme est l'ecriture de l'algorithme dans un langage precis pour qu'un ordinateur puisse l'executer. Nous utiliserons principalement cette annee le logiciel Algobox ou la calculatrice pour ecrire le programme de nos algorithme. Exemple 01 : On veut traduire la fonction suivantef:x7!(x+ 1)25 Voici trois facon d'ecrire l'algorithme mais la derniere sera plus proche du programme. 1.

Comm eau col lege:

Prendre un nombre.

Lui ajouter 1.

Elever le resultat au carre.

Retrancher 5 au resultat.

Ecrire le nombre obtenu.

2.

En sc hematisant:

3.

En u tilisantun p rogramme:

Declaration des variables :

xest un reel yest un reel

Debut du programme

yprend la valeur dex+ 1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey+ 1

Acher la valeur dey

Fin du programme.

Exemple 02 :

On veut traduire la fonction suivantef:x7!1x

+ 2 Voici trois facon d'ecrire l'algorithme mais la derniere sera plus proche du programme. 1.

Comm eau col lege:

Prendre un nombre.

Si celui-ci est egal a 0 acher que c'est impossible de diviser par 0 Sinon

Prendre l'inverse du nombre

Ajouter 2 au resultat precedent.

Acher le resultat obtenu.

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-7-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde2.En sc hematisant:

3.

En u tilisantun p rogramme:

Declaration des variables :

xest un reel yest un reel

Debut du programme

Six= 0 alors acher : Une division par 0 est impossible Sinon yprend la valeur de1x yprend la valeur dey+ 2

Acher la valeur dey

Fin du programme.

4 R echerchede l 'imaged' unnom brepa rune f onction 4.1

Al gebriquement

Exemple :

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons l'image de 2 par la fonctionf:

Dans ce cas on conna^t l'antecedentx= 2 donc il sut de remplacerxpar 2 dans l'expression algebrique pour calculer son imagef(2). f(2) = (21)24 = (1)24 = 14 =3

Donc3 est l'image de 2 par la fonctionf.

4.2

Gra phiquement

Exemple :

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-8-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeOn notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons graphiquement l'image de 2 par la fonctionf:Donc -3 est l'image de 2 par la fonctionf. Remarque : On peut lire qu'uen approximation lorsque l'on fait une lecture graphique. 4.3

A l 'aidede l 'algorithme

Exemple :

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons a l'aide d'un programme l'image de 2 par la fonctionf:

Programme de la fonction:

Declaration des variables :

xest un reel yest un reel

Debut du programme

yprend la valeur dex1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey4

Acher la valeur dey

Fin du programme.

Executons ce programme en remplacantxpar 2 :

xprend la valeur de 2 yprend la valeur de 21 = 1 yprend la valeur de 12= 1 yprend la valeur de 14 =3

L'achage est3

Donc l'image de 2 parfest3

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-9-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde5R echerchedes a ntecedentsd'un no mbrepa rune

fonction 5.1

Al gebriquement

Exemple :

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons les antecedents de 5 par la fonctionf:

Dans ce cas on conna^t l'imagef(x) = 5 donc il sut de resoudre cette equation pour determiner les eventuelles antecedents de 5 parf. f(x) = 5,(x1)24 = 5,(x1)29 = 0 ,(x1 + 3)(x13) = 0,(x+ 2)(x4) = 0 ,x+ 2 = 0 oux4 = 0,x=2 oux= 4

Donc les antecedents de 5 parfsont2 et 4.

5.2

Gra phiquement

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Cherchons graphiquement les antecedents de 5 par la fonctionf:Donc2 et 4 sont les antecedents de 5 par la fonctionf.

5.3

A l 'aidede l 'algorithme

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-10-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeCherchons a l'aide d'un programme les antecedents de 5 par la fonctionf:

Programme de la fonction:

Declaration des variables :

xest un reel yest un reel

Debut du programme

yprend la valeur dex1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey4

Acher la valeur dey

Fin du programme.

Executons ce programme mais a l'envers. Faire les operations inverses du bas vers le haut.

L'achage est 5

ya donc pris la valeur de 5 ya pris la valeur de 5 + 4 = 9 ya pris la valeur dep9 = 3 oup9 =3 ya pris la valeur 3 + 1 = 4 ou la valeur3 + 1 =2 xa pris la valeur2 ou 4

Donc les antecedents de 5 parfsont4 et 2

6

R esolutiond'i nequations

6.1

Al gebriquement

Cette partie sera abordees dans le futur chapitre sur les inequations donc pour l'instant il n'y aura que des resolutions graphique d'inequations. 6.2

Gra phiquement

On notefla fonctionf:x7!(x1)24

On cherche a resoudre graphiquement l'inequationf(x)5 Il faut donc trouver les abscissesxdes points de la courbe representative defqui ont une ordonnee plus petites ou egale a 5. Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-11-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeLes solutions de cette inequations sont doncS= [4;2]

On cherche a resoudre graphiquement l'inequationf(x)>5 Il faut donc trouver les abscissesxdes points de la courbe representative defqui ont

une ordonnee plus grandes strictement a 5.Les solutions de cette inequations sont doncS=] 1;4[[]2;+1[

7

R echerchedes ex tremasd' unef onction

7.1

Al gebriquement

Denition du minimum defsur un intervalleI:

Min est le minimum defsur un intervalleIsi et seulement si :

BIl existeadansItel quef(a) =Min

BPour toutx2I,f(x)Min

Denition du maximum defsur un intervalleI:

Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-12-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeMax est le maximum defsur un intervalleIsi et seulement si :

BIl existeadansItel quef(a) =Max

BPour toutx2I,f(x)Max

Le principe est de comparerf(x) etMinouMaxen etudiant le signe de leur dierence.

Exemple 01:

On notef:x7!3(x1)2+ 5

On souhaite montrer que 5 est le minimum defsurR

Bf(1) = 3(11)2+ 5 = 5 doncf(1) = 5

BPour toutx2R,f(x)5 = 3(x1)2doncf(x)50 doncf(x)5

Les deux conditions sont veriees donc 5 est la minimum defsurR.

Exemple 02:

On notef:x7!53(x1)2

On souhaite montrer que 5 est le maximum defsurR

Bf(1) = 53(11)2= 5 doncf(1) = 5

BPour toutx2R,f(x)5 =3(x1)2doncf(x)50 doncf(x)5

Les deux conditions sont veriees donc 5 est la maximum defsurR. 7.2

Gra phiquement

Graphiquement, le minimum de la fonctionfsurIest l'ordonnee du point le plus bas de la courbe qui se trouve dans l'intervalleI. Graphiquement, le maximum de la fonctionfsurIest l'ordonnee du point le plus haut de la courbe qui se trouve dans l'intervalleI. Exemple 01 :Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-13-

2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde4 est le minimum defsur l'intervalle [1;3] et est atteint pourx= 1

Exemple 02 :4 est le maximum defsur l'intervalle [1;3] et est atteint pourx= 1 8

L eta bleaude s igned' unef onction

Le tableau de signe d'une fonction traduit le signe de celle-ci sur l'ensemble dequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46