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2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeGeneralites sur les fonctions
( En seconde )Derniere mise a jour : Dimanche 31 Octobre 2010VincentOBATON, Enseignant au lycee Stendhal de Grenoble (Annee 2010-2011)Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-1-
2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeJ'aimais et j'aime
encore les mathema- tiques pour elles-m^emes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux b^etes d'aversion.Stendhal
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-2-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeTable des matieres
1D enitionet N otations
4 2En sembled ed enitiond 'unefo nction
4 3Re presentationd' unefo nction
5 3.1Rep resentational gebrique
5 3.2Rep resentationgrap hiqued 'unef onction
6 3.3Rep resentational gorithmiqued' unefon ction
7 4 Re cherched el 'imaged 'unn ombrep aru nefo nction 8 4.1Al gebriquement
8 4.2G raphiquement
8 4.3A l 'aided el 'algorithme
9 5 Re cherched esan tecedentsd 'unn ombrep aru nefo nction 1 0 5.1Al gebriquement
10 5.2G raphiquement
10 5.3A l 'aided el 'algorithme
10 6R esolutiond 'inequations
1 1 6.1Al gebriquement
11 6.2G raphiquement
11 7Re cherched esex tremasd 'unef onction
1 2 7.1Al gebriquement
12 7.2G raphiquement
13 8L etab leaud es igned 'unefo nction
1 4 9L etab leaud esv ariationsd 'unef onctions
1 5 10Q uelquescas p articuliers
1 6 10.1Les fon ctionsp aires
16 10.2Les fon ctionsi mpaires
17 10.3Les fon ctionsp eriodiques
18 Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-3-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde1D enitionet N otations
Nous n'allons pas utiliser cette representation a chaque fois que l'on travaille sur une fonction et donc nous allons utiliser une nouvelle notation qui veut dire la m^eme chose mais en plus simple :Notation mathematique d'une fonction:
f:x7!f(x)On lit :fla fonction qui axassocie son imagef(x)
Attention au vocabulaire :
fest la fonction,xest l'antecedent etf(x) l'image dexpar la fonctionf.Ne pas confondrefetf(x).Exemples :
1.f1:x7!3x(Fonction lineaire)
2.f2:x7!5x+ 4 (Fonction ane)
3.f3:x7!6 (Fonction constante)
4.f4:x7!x2(Fonction "carre")
5.f5:x7!px(Focntion racine carree)
6.f6:x7!5x+ 37x1(Fonction homographique)
7.f7:x7!4(x1)225 (Fonction polyn^ome du second degre sous forme
canonique)8.f8:x7!4x25x+ 6 (Fonction polyn^ome du second degre sous forme
developpee)9.f9:x7!2(x2)(x+ 3) (Fonction polyn^ome du second degre sous forme
factorisee) 2Ens emblede d enitiond'une f onction
Denition :
L'ensemble de denition d'une fonctionfest l'ensembleDfdes valeurs dex (antecedents) pour lesquellesf(x) (image) existe. Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-4-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeIl n'y a que deux ou trois cas, en seconde, pour lesquels il se peut que la fonction
admette des valeurs interdites. Les fonctions sous forme rationnelle avecxau denominateur et les fonctions sous forme de racines carrees avecxsous le radical.Exemples :
1.f1:x7!3x25
f1(x) existe pour toutes les valeurs reelles dexdoncD
f1=ROn peut aussi ecrire :D f1=] 1;+1[2.f2:x7!1x f2(x) existe si et seulement six6= 0 doncD
f2=Rn f0gOn peut aussi ecrire :D f2=] 1;0[[]0;+1[ouD f2=R3.f3:x7!3x12x4f3(x) existe si et seulement si 2x46= 0,2x6= 4,x6= 2
DoncD f3=] 1;2[[]2;+1[ouD f2=Rn f2g4.f4:x7!5x+ 1x 29f
4(x) existe si et seulement six296= 0,(x3)(x+ 3)6= 0,x36= 0 et
x+ 36= 0 ,x6= 3 etx6=3 DoncD f4=] 1;3[[]3;3[[]3;+1[ouD f4=Rn f3;3g5.f5:x7!p3x6 f5(x) existe si et seulement si 3x60,3x6,x2
doncD f5= [2;+1[6.f6:x7!p155x f6(x) existe si et seulement si 155x0, 5x 15,x3
doncD f3=] 1;3]3R epresentationd' unef onction Nous allons voir trois facon de representer une fonction, la representation sous forme algebrique que nous avons vu dans le paragraphe precedent, la representation sous forem graphique et la representation sous forme d'algorithme. Vous devez savoir manipuler les trois forme et passer de l'une a l'autre. 3.1Repr esentationa lgebrique
La representation algebrique d'une fonction est l'expression def(x) en fonction dex.Voir les exemples du premier paragraphe.
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-5-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeA l'aide de la representation algebrique, on peut par exemple dresser un tableau de
valeurs de la fonctionf.Exemple :
f:x7!3x25 Tableau de valeurs :x2101p21;5f(x)725211;753.2Repr esentationg raphiqued'une fo nction Lorsqu'on a la representation algebrique ou algorithmique on peut dresser un tableau de valeurs de la fonctionfpuis ensuite denir des points de la forme (x;f(x)) que l'on peut placer dans un repere (O;OI;OJ) ouOIetOJsont les unites des axes du repere.Notation :
On noteraCfla courbe representative de la fonctionfdans le repere. Attention : Il ne faut pas non plus confondref,Cfetf(x). Ce sont trois choses dierentes.Exemple :
f:x7!x2Tableau de valeurs :x321012
f(x)9410149(x;f(x))A(3;9)B(2;4)C(1;1)D(0;0)E(1;1)F(2;4)G(3;9)Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-6-
2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde3.3Repr esentationa lgorithmiqued' unef onction
Un algorithme est une suite d'instructions rigoureuses, ordonnant a un processeur (vous ou l'ordinateur) d'executer dans un ordre un nombre ni d'operations elementaires. On va des fois confondre algorithme et programme. Le programme est l'ecriture de l'algorithme dans un langage precis pour qu'un ordinateur puisse l'executer. Nous utiliserons principalement cette annee le logiciel Algobox ou la calculatrice pour ecrire le programme de nos algorithme. Exemple 01 : On veut traduire la fonction suivantef:x7!(x+ 1)25 Voici trois facon d'ecrire l'algorithme mais la derniere sera plus proche du programme. 1.Comm eau col lege:
Prendre un nombre.
Lui ajouter 1.
Elever le resultat au carre.
Retrancher 5 au resultat.
Ecrire le nombre obtenu.
2.En sc hematisant:
3.En u tilisantun p rogramme:
Declaration des variables :
xest un reel yest un reelDebut du programme
yprend la valeur dex+ 1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey+ 1Acher la valeur dey
Fin du programme.
Exemple 02 :
On veut traduire la fonction suivantef:x7!1x
+ 2 Voici trois facon d'ecrire l'algorithme mais la derniere sera plus proche du programme. 1.Comm eau col lege:
Prendre un nombre.
Si celui-ci est egal a 0 acher que c'est impossible de diviser par 0 SinonPrendre l'inverse du nombre
Ajouter 2 au resultat precedent.
Acher le resultat obtenu.
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-7-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde2.En sc hematisant:
3.En u tilisantun p rogramme:
Declaration des variables :
xest un reel yest un reelDebut du programme
Six= 0 alors acher : Une division par 0 est impossible Sinon yprend la valeur de1x yprend la valeur dey+ 2Acher la valeur dey
Fin du programme.
4 R echerchede l 'imaged' unnom brepa rune f onction 4.1Al gebriquement
Exemple :
On notefla fonctionf:x7!(x1)24
Cherchons l'image de 2 par la fonctionf:
Dans ce cas on conna^t l'antecedentx= 2 donc il sut de remplacerxpar 2 dans l'expression algebrique pour calculer son imagef(2). f(2) = (21)24 = (1)24 = 14 =3Donc3 est l'image de 2 par la fonctionf.
4.2Gra phiquement
Exemple :
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-8-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeOn notefla fonctionf:x7!(x1)24
Cherchons graphiquement l'image de 2 par la fonctionf:Donc -3 est l'image de 2 par la fonctionf. Remarque : On peut lire qu'uen approximation lorsque l'on fait une lecture graphique. 4.3A l 'aidede l 'algorithme
Exemple :
On notefla fonctionf:x7!(x1)24
Cherchons a l'aide d'un programme l'image de 2 par la fonctionf:Programme de la fonction:
Declaration des variables :
xest un reel yest un reelDebut du programme
yprend la valeur dex1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey4Acher la valeur dey
Fin du programme.
Executons ce programme en remplacantxpar 2 :
xprend la valeur de 2 yprend la valeur de 21 = 1 yprend la valeur de 12= 1 yprend la valeur de 14 =3L'achage est3
Donc l'image de 2 parfest3
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-9-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de Seconde5R echerchedes a ntecedentsd'un no mbrepa rune
fonction 5.1Al gebriquement
Exemple :
On notefla fonctionf:x7!(x1)24
Cherchons les antecedents de 5 par la fonctionf:
Dans ce cas on conna^t l'imagef(x) = 5 donc il sut de resoudre cette equation pour determiner les eventuelles antecedents de 5 parf. f(x) = 5,(x1)24 = 5,(x1)29 = 0 ,(x1 + 3)(x13) = 0,(x+ 2)(x4) = 0 ,x+ 2 = 0 oux4 = 0,x=2 oux= 4Donc les antecedents de 5 parfsont2 et 4.
5.2Gra phiquement
On notefla fonctionf:x7!(x1)24
Cherchons graphiquement les antecedents de 5 par la fonctionf:Donc2 et 4 sont les antecedents de 5 par la fonctionf.
5.3A l 'aidede l 'algorithme
On notefla fonctionf:x7!(x1)24
Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-10-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeCherchons a l'aide d'un programme les antecedents de 5 par la fonctionf:
Programme de la fonction:
Declaration des variables :
xest un reel yest un reelDebut du programme
yprend la valeur dex1 yprend la valeur dey2 yprend la valeur dey4Acher la valeur dey
Fin du programme.
Executons ce programme mais a l'envers. Faire les operations inverses du bas vers le haut.L'achage est 5
ya donc pris la valeur de 5 ya pris la valeur de 5 + 4 = 9 ya pris la valeur dep9 = 3 oup9 =3 ya pris la valeur 3 + 1 = 4 ou la valeur3 + 1 =2 xa pris la valeur2 ou 4Donc les antecedents de 5 parfsont4 et 2
6R esolutiond'i nequations
6.1Al gebriquement
Cette partie sera abordees dans le futur chapitre sur les inequations donc pour l'instant il n'y aura que des resolutions graphique d'inequations. 6.2Gra phiquement
On notefla fonctionf:x7!(x1)24
On cherche a resoudre graphiquement l'inequationf(x)5 Il faut donc trouver les abscissesxdes points de la courbe representative defqui ont une ordonnee plus petites ou egale a 5. Lycee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton )-11-2010 { 2011Generalites sur les fonctionsClasse de SecondeLes solutions de cette inequations sont doncS= [4;2]
On cherche a resoudre graphiquement l'inequationf(x)>5 Il faut donc trouver les abscissesxdes points de la courbe representative defqui ontune ordonnee plus grandes strictement a 5.Les solutions de cette inequations sont doncS=] 1;4[[]2;+1[
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