ℝ 2010©My Maths Space Page 3/5 Page 4 Chapitre 1 : les fonctions Seconde IV Fonctions affines et linéaires Définition fonction affine et fonction linéaire
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Exercice 2 : approche graphique 1) donner le domaine de définition de la fonction représentée par la courbe , ci contre 2) donner les images de -3 et de 5
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Un repère étant choisi, on appelle représentation graphique d'une fonction f l' ensemble des points M de coordonnées ( x ; y ) lorsque x prend toutes les valeurs de
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ℝ 2010©My Maths Space Page 3/5 Page 4 Chapitre 1 : les fonctions Seconde IV Fonctions affines et linéaires Définition fonction affine et fonction linéaire
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Chapitre 1 : les fonctions Seconde
Introduction : Introduction :
Le principe d'une fonction est celui d'une " machine » à transformer des nombres et peut se schématiser de la façon suivante : exemple:exemple: La fonction ci-dessous permet de remplir le tableau de valeurs suivant :Antécédent xImage y25
49-3-5 3 4 5 2 2221x
2x1I.Définition d'une fonction, représentation graphique.
Définition
fonctionA chaque fois que l'on transforme un nombre
x en un autre nombre y, on dit que l'on définit une fonction numérique. Les fonctions sont désignées par des lettres.Notation :
f : x y ou y=fxOn dit que y est l'image de xOn dit que
x est un antécédent de y.Exemple On considère la fonction
f définie par : f : x x2-2 pour x∈[-3;3]1.Quel est le mécanisme de transformation de
f ?2.Quelle est l'image de 3 ? de
-2 ? de 0,5 ?3.Quels sont les éventuels antécédents de
7? de -3?
Définition de la représentation graphique d'une fonction Un repère est donné, et f est une fonction. Le schéma fonctionnel f : x y met en évidence le couple x;y qui fait penser aux coordonnées d'un point dans un repère. L'ensemble de tous les points de coordonnéesx;fx s'appelle la représentation graphique de f ou courbe représentative de f.
2010©My Maths Space Page 1/5Remarque :Remarque : une telle fonction est appelée
fonction affine. Chapitre 1 : les fonctions SecondeExemple Retour sur f : x x2-2 , x∈[-3;3] Pour tracer la courbe représentative de f, il est d'usage
de réaliser un tableau de valeurs. xy=fxPoint de Cf-3 -3; -2-2; -1-1;00;
11;
22;
33;
Calculatrice :
saisir l'expression de fx en utilisant la touche de variables . pour choisir les valeurs de x puis . ou saisir l'expression de fx en utilisant la touche de variables . ou pour choisir les valeurs de x.Définition
Ensemble de définition. On appelle ensemble de définition d'une fonction f, l'ensemble de tous les réels x pour lesquels fx est calculable. (Les opérations interdites en maths sont par exemple : la division par 0, la racine carrée d'un nombre négatif.) Exercice : Exercice : Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes: fx=2x-5 et gx=3x-1x-2Remarque:Remarque: En pratique, lorsque un exercice stipule d'étudier une fonction sur un intervalle donné,
les antécédents doivent absolument être pris dans cet intervalle.II. Sens de variation d'une fonction
Définition
fonction croissante, décroissante. Soit f un fonction définie sur un intervalle I. On dit que:f est croissante sur I si pour tous u et v dans I : uv ⇒ fufv.
f est strictement croissante sur I si pour tous u et v dans I : uv ⇒ fufv.
f est décroissante sur I si pour tous u et v dans I : uv ⇒ fufv.
f est strictement décroissante sur I si pour tous u et v dans I : uv ⇒ fufv.2010©My Maths Space Page 2/5CASIOMENUTABLE
X,,TRANG
TABLET.IY= f(x)=
X,,TDefTableTablset
Chapitre 1 : les fonctions Seconde Remarques: Remarques: 1. Ces notions ne sont valables que sur des intervalles.2.On dit aussi que f est strictement croissante sur I si les images sont rangées dans le
même ordre que les antécédents.3.Strictement croissant ⇒ croissant.
Illustration graphique:Illustration graphique:
Fonction strictement croissante sur I Fonction strictement décroissante sur Iuv ⇒fufv uv ⇒fufvTableau de variations d'un fonctionTableau de variations d'un fonction à partir de l'exemple : f :
x x2-2 , x∈[-3;3]Une flèche qui " monte » représente une fonction strictement croissante, Une flèche qui " descend »
représente une fonction strictement décroissante.III. Maximum et minimum d'une fonction.
Définition
Maximum et minimum d'une fonction. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Dire que fa est un maximum de f surI signifie que
fa est la plus grande image possible pour un antécédent choisi dans I.En d'autres termes, pour tout réel x de I :
fxfaRemarquesRemarques Il existe des fonctions sans maximum (c'est le cas de la fonction
f : x x2-2 lorsque l'on prend les antécédents dans ℝtout entier) La notion de maximum est lié à l'intervalle considéré.ExercicesExercices Donner la définition du minimum d'une fonction sur un intervalle (s'il existe)
Soit g la fonction définie sur par ℝgx=x2-6x4. Prouver que -5 est un minimum pourg sur .ℝ2010©My Maths Space Page 3/5
Chapitre 1 : les fonctions SecondeIV. Fonctions affines et linéaires.
Définition fonction affine et fonction linéaire.Les fonctions
f, définies sur , dont les images sont de la forme ℝy=axb où a et b sont des constantes réelles sont appelées fonctions affines.Elles se notent aussi :
f : x axb.Deux cas particuliers:
Lorsque b=0, la fonction f :
x ax est dite linéaire.Lorsque
a=0, la fonction f : x b est dite constante.Exemples :Exemples :
fx=2x-3 . f est une fonction.............. fx=-14x . f est une fonction ...........
gx=-2 . g est une fonction ..................Vocabulaire:Vocabulaire:
Le réel a s'appelle le coefficient directeur et le réel b s'appelle l'ordonnée à l'origine.
Courbe représentative des fonctions affinesCourbe représentative des fonctions affines La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère est une droite Celle d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. Sens de variation d'une fonction affineSens de variation d'une fonction affine Soit f : x axb une fonction affine. Si a0 , alors f est strictement croissante sur .ℝSi a0 , alors f est strictement décroissante sur .ℝDémonstration : Signe d'une fonction affineSigne d'une fonction affine Il s'agit de déterminer le signe des images suivant les antécédents. Si a0 antécédent sx-∞ -b a+∞ imagesf(x) - 0+