1 Diffraction de la lumière Cours 5 La diffraction est un phénomène propre 2) La diffraction de Fraunhofer est souvent qualifiée de diffraction à l'infini
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1 Diffraction de la lumière Cours 5 La diffraction est un phénomène propre 2) La diffraction de Fraunhofer est souvent qualifiée de diffraction à l'infini
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1
Diffraction de la lumière
Cours 5
21 Introduction
3La diffraction est un phénomène propre
aux ondes (Huygens)Onde plane
progressiveOnde plane
progressiveOnde après le trou aa q~l/aa vaut quelques la >> lÉcran opaque
Vision très grossière du phénomène:
4Ce phénomène s"observe effectivement
avec la lumièreFaisceau lumineux
incident= CylindreCe que prévoit
l"optique géométrique et la théorie corpusculaireCe que prévoit la
théorie ondulatoireC"est ce qui est observési le trou est très petit 5Interprétation électromagnétique
L"onde incidente S
i(M,t) excite les atomes de l"écran qui génèrent à leur tour un champ S e(M,t) A) Lorsque l"écran est " plein », le champ de l"autre côté de l"écran est tel que: S(M,t) = S e(M,t)+S i(M,t) = 0. L"écran est opaque. B) Lorsqu"on fait un trou dans l"écran, on retire des " sources » qui généraient avant un champ S t(M,t) (petite contribution au champ S e(M,t))Après l"écran
on a donc:S"(M,t) = S
e(M,t) + S i(M,t)-S t(M,t) = -S t(M,t) Si le trou est tout petit, la portion retirée rayonnait avant un champ d"onde quasi-sphérique. Donc S"(M,t) = -St(M,t) est pratiquement un champ d"onde sphérique. On retrouve ainsi ce que nous avions supposé sur les trous d"Young. 6Interprétation quantique
Impulsion d"un photon, quantum du champ EM:
)cos(sin)(zxzzxxeekekekkp?? qq Le trou dans l"écran permet de dire que la position du photon au niveau de l"écran était -a/2 < x < a/2 L"incertitude sur la position est DDDDx ~ aInégalité de Heisenberg:
Plus DDDDx(et donc a) est petit, plus DDDDp
xest grand et plus l"incertitude sur өest grande plus la divergence de l"onde sortante sera grande. 72 Principe de Huygens-Fresnel
8Interprétation " Mécanique »
Une onde se propage par ébranlement de proche en proche des points du milieu matériel (ou ici du champ). Un point atteint par l"onde se met à vibrer et rayonne un champ d"onde sphérique. La vibration est proportionnelle à la perturbation incidenteOnde incidente... Et après Σ?
Chaque point de Σémet une
petite onde sphériqueLa superposition de ces
ondelettes sphériques donne une onde plane... 9Huygens-Fresnel: un " principe »?
On peut montrer (avec beaucoup de mathématiques...) que ce " principe » découle en fait des équations de Maxwell. Les équations de Maxwell sont des équations aux dérivées partielles, qui décrivent localement le comportement du champ. On peut cependant les traduire sous une forme intégrale. Un exemple célèbre est le théorème de Gauss de l"électrostatique. Ce dernier fait intervenir l"intégrale d"un champ sur une surface. 10Principe de Huygens-Fresnel (Formulation Moderne)
z xy XYP(x,y)
Plan de départ (z=0)
Champ = s(x,y,t)
=s(x,y)e -iωtPlan d"arrivée (z)
Champ = S(X,Y,t)
=S(X,Y)e -iωtM(X,Y)
∫∫=dxdyPMeKyxsYXS ikPMK: Facteur de Kirchhoff, dépendant de
l"inclinaison de PM par rapport à (Oz)Champ en M d"une
ondelette sphérique émise par PR(x,y)
Intégrale de Kirchhoff
Champ dans le plan de départ
11Interprétation
Si on connaît le champ dans un plan, on peut le déterminer dans un autre plan situé à la distance D>> Le champ en M est la somme d"une infinité de champs élémentaires émis par les points P du plan de départ. Ces champs élémentaires sont des ondelettes sphériques d"amplitudes complexes initiales proportionnelles àcelles du champ en P. 123-Approximation de Fresnel
et de Fraunhofer 13Approximation de Fresnel
• On suppose que z >> X,Y,x,y > λALORS RyYxXRyxRPMRyYxX
RyxRPMYyXxyxRPMYyXxyxYXzPMyYxXzPM
22)(12222)()(2222222222222222
• En revanche, dans le terme de phase on a:Au dénominateur, PM~R~z 14Approximation de Fresnel (Suite)
liK»De plus
=dxdyeeyxszeiYXSRYyXxkizyxkiikR)(
2)( 22l L"intégrale de Huygens Fresnel devient alors...(admis)
Intégrale de Fresnel
=dxdyeeyxs zeiYXSRYyXxkiRyxkiikR)(
2)( 22l R~ z dans les conditions de Fresnel" terme ou noyau de Fresnel » 15
Approximation de Fraunhofer
1,22< zx ll =dxdyeyxszeiYXS RYyXxkiikR)(
l Situation dans laquelle le terme de Fresnel devient proche de 1, c"est à dire La phase de k(x
2+y 2)/2z << π(1/100
ème
par exemple) Condition très drastique !!!
Alors l"intégrale de Fresnel devient:
Intégrale de Fraunhofer
1, 22< zx ll 16 Diffraction de Fraunhofer comme diffraction à " l"infini » dxdyeyxszeivuSRYvRXu yvxuiikRyx )(2 ),(),(sinsin p ll q ll q l Si R ou z tendent vers l"infini, le noyau de Fresnel tend vers 1. L"intégrale de Fraunhofer garde son sens si on fait apparaître les angles θx et θy. On pose
y θy X zs(x,y) R=OM O On obtient
Intégrale de Fraunhofer
M 17 Importance de la diffraction de Fraunhofer (I)
)(2 sTF zeivuSdxdyeyxszeivuSYXSikRyvxuiikR l l p Intérêt des coordonnées u,v:
1) Ne fait plus apparaître z et X mais un angle permet de décrire le
comportement " à l"infini » car coordonnées indépendante de la distance. 2) La diffraction de Fraunhofer est souvent qualifiée de diffraction à l"infini.
On regarde la répartition de l"amplitude du champ diffracté ANGULAIREMENT3)
Permet de faire apparaitre l"intégrale de Fraunhofer comme la transformée de Fourier du champ s(x,y)
lq llq l yx RYvRXu
sinsin 18 Approximation de Fraunhofer (III)y
θy X z s(x,y) 19 Diffraction de Fraunhofer en
pratique y θy Y z s(x,y) Lentille mince, " parfaite »
(diamètre infini, stigmatique...) f" dS(u,v) "sin"sin f YvfXu YYXX llq lqll q lq θyRésultat admis (pour l"instant)
20 Bilan 21
Calcul d"une figure de diffraction dans
l"approximation de Fraunhofer 22
Un problème concret...
Écran
extrêmement loin ou au foyer d"une lentilleDiaphragme de forme quelconque MAIS CONNUE Onde incidente
CONNUE
Amplitude,
phase, INTENSITE
A TROUVER !!!Plan juste après le diaphragme
23
Résolution
=dxdyeyxszeivuSquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9
RYyXxkiikR)(
l Situation dans laquelle le terme de Fresnel devient proche de 1, c"est à direLa phase de k(x
2+y2)/2z << π(1/100
ème
par exemple)Condition très drastique !!!
Alors l"intégrale de Fresnel devient:
Intégrale de Fraunhofer
1,22< zx ll 16 Diffraction de Fraunhofer comme diffraction à " l"infini » dxdyeyxszeivuSRYvRXu yvxuiikRyx )(2 ),(),(sinsin p ll q ll q l Si R ou z tendent vers l"infini, le noyau de Fresnel tend vers 1. L"intégrale de Fraunhofer garde son sens si on fait apparaître les angles θx et θy. On pose
y θy X zs(x,y) R=OM O On obtient
Intégrale de Fraunhofer
M 17 Importance de la diffraction de Fraunhofer (I)
)(2 sTF zeivuSdxdyeyxszeivuSYXSikRyvxuiikR l l p Intérêt des coordonnées u,v:
1) Ne fait plus apparaître z et X mais un angle permet de décrire le
comportement " à l"infini » car coordonnées indépendante de la distance. 2) La diffraction de Fraunhofer est souvent qualifiée de diffraction à l"infini.
On regarde la répartition de l"amplitude du champ diffracté ANGULAIREMENT3)
Permet de faire apparaitre l"intégrale de Fraunhofer comme la transformée de Fourier du champ s(x,y)
lq llq l yx RYvRXu
sinsin 18 Approximation de Fraunhofer (III)y
θy X z s(x,y) 19 Diffraction de Fraunhofer en
pratique y θy Y z s(x,y) Lentille mince, " parfaite »
(diamètre infini, stigmatique...) f" dS(u,v) "sin"sin f YvfXu YYXX llq lqll q lq θyRésultat admis (pour l"instant)
20 Bilan 21
Calcul d"une figure de diffraction dans
l"approximation de Fraunhofer 22
Un problème concret...
Écran
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CONNUE
Amplitude,
phase, INTENSITE
A TROUVER !!!Plan juste après le diaphragme
23
Résolution
=dxdyeyxszeivuSquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9
On pose
y θy X zs(x,y) R=OM OOn obtient
Intégrale de Fraunhofer
M 17Importance de la diffraction de Fraunhofer (I)
)(2 sTF zeivuSdxdyeyxszeivuSYXSikRyvxuiikR l l pIntérêt des coordonnées u,v:
1) Ne fait plus apparaître z et X mais un angle permet de décrire le
comportement " à l"infini » car coordonnées indépendante de la distance.2) La diffraction de Fraunhofer est souvent qualifiée de diffraction à l"infini.
On regarde la répartition de l"amplitude du champ diffractéANGULAIREMENT3)
Permet de faire apparaitre l"intégrale de Fraunhofer comme la transformée de Fourier du champ s(x,y)
lq llq l yx