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1

Diffraction de la lumière

Cours 5

2

1 Introduction

3

La diffraction est un phénomène propre

aux ondes (Huygens)

Onde plane

progressive

Onde plane

progressiveOnde après le trou aa q~l/aa vaut quelques la >> l

Écran opaque

Vision très grossière du phénomène:

4

Ce phénomène s"observe effectivement

avec la lumière

Faisceau lumineux

incident= Cylindre

Ce que prévoit

l"optique géométrique et la théorie corpusculaire

Ce que prévoit la

théorie ondulatoireC"est ce qui est observési le trou est très petit 5

Interprétation électromagnétique

L"onde incidente S

i(M,t) excite les atomes de l"écran qui génèrent à leur tour un champ S e(M,t) A) Lorsque l"écran est " plein », le champ de l"autre côté de l"écran est tel que: S(M,t) = S e(M,t)+S i(M,t) = 0. L"écran est opaque. B) Lorsqu"on fait un trou dans l"écran, on retire des " sources » qui généraient avant un champ S t(M,t) (petite contribution au champ S e(M,t))

Après l"écran

on a donc:

S"(M,t) = S

e(M,t) + S i(M,t)-S t(M,t) = -S t(M,t) Si le trou est tout petit, la portion retirée rayonnait avant un champ d"onde quasi-sphérique. Donc S"(M,t) = -St(M,t) est pratiquement un champ d"onde sphérique. On retrouve ainsi ce que nous avions supposé sur les trous d"Young. 6

Interprétation quantique

Impulsion d"un photon, quantum du champ EM:

)cos(sin)(zxzzxxeekekekkp?? qq Le trou dans l"écran permet de dire que la position du photon au niveau de l"écran était -a/2 < x < a/2 L"incertitude sur la position est DDDDx ~ a

Inégalité de Heisenberg:

Plus DDDDx(et donc a) est petit, plus DDDDp

xest grand et plus l"incertitude sur өest grande plus la divergence de l"onde sortante sera grande. 7

2 Principe de Huygens-Fresnel

8

Interprétation " Mécanique »

Une onde se propage par ébranlement de proche en proche des points du milieu matériel (ou ici du champ). Un point atteint par l"onde se met à vibrer et rayonne un champ d"onde sphérique. La vibration est proportionnelle à la perturbation incidente

Onde incidente... Et après Σ?

Chaque point de Σémet une

petite onde sphérique

La superposition de ces

ondelettes sphériques donne une onde plane... 9

Huygens-Fresnel: un " principe »?

On peut montrer (avec beaucoup de mathématiques...) que ce " principe » découle en fait des équations de Maxwell. Les équations de Maxwell sont des équations aux dérivées partielles, qui décrivent localement le comportement du champ. On peut cependant les traduire sous une forme intégrale. Un exemple célèbre est le théorème de Gauss de l"électrostatique. Ce dernier fait intervenir l"intégrale d"un champ sur une surface. 10

Principe de Huygens-Fresnel (Formulation Moderne)

z xy XY

P(x,y)

Plan de départ (z=0)

Champ = s(x,y,t)

=s(x,y)e -iωt

Plan d"arrivée (z)

Champ = S(X,Y,t)

=S(X,Y)e -iωt

M(X,Y)

∫∫=dxdyPMeKyxsYXS ikPM

K: Facteur de Kirchhoff, dépendant de

l"inclinaison de PM par rapport à (Oz)

Champ en M d"une

ondelette sphérique émise par P

R(x,y)

Intégrale de Kirchhoff

Champ dans le plan de départ

11

Interprétation

Si on connaît le champ dans un plan, on peut le déterminer dans un autre plan situé à la distance D>> Le champ en M est la somme d"une infinité de champs élémentaires émis par les points P du plan de départ. Ces champs élémentaires sont des ondelettes sphériques d"amplitudes complexes initiales proportionnelles àcelles du champ en P. 12

3-Approximation de Fresnel

et de Fraunhofer 13

Approximation de Fresnel

• On suppose que z >> X,Y,x,y > λALORS RyYxX

RyxRPMRyYxX

RyxRPMYyXxyxRPMYyXxyxYXzPMyYxXzPM

2

2)(12222)()(2222222222222222

• En revanche, dans le terme de phase on a:Au dénominateur, PM~R~z 14

Approximation de Fresnel (Suite)

liK»

De plus

=dxdyeeyxszeiYXS

RYyXxkizyxkiikR)(

2)( 22
l L"intégrale de Huygens Fresnel devient alors...(admis)

Intégrale de Fresnel

=dxdyeeyxs zeiYXS

RYyXxkiRyxkiikR)(

2)( 22
l R~ z dans les conditions de Fresnel" terme ou noyau de Fresnel » 15

Approximation de Fraunhofer

1,

22< zx ll =dxdyeyxszeiYXS

RYyXxkiikR)(

l Situation dans laquelle le terme de Fresnel devient proche de 1, c"est à dire

La phase de k(x

2+y

2)/2z << π(1/100

ème

par exemple)

Condition très drastique !!!

Alors l"intégrale de Fresnel devient:

Intégrale de Fraunhofer

1,

22< zx ll 16 Diffraction de Fraunhofer comme diffraction à " l"infini » dxdyeyxszeivuSRYvRXu yvxuiikRyx )(2 ),(),(sinsin p ll q ll q l Si R ou z tendent vers l"infini, le noyau de Fresnel tend vers 1. L"intégrale de Fraunhofer garde son sens si on fait apparaître les angles θx et θy.

On pose

y θy X zs(x,y) R=OM O

On obtient

Intégrale de Fraunhofer

M 17

Importance de la diffraction de Fraunhofer (I)

)(2 sTF zeivuSdxdyeyxszeivuSYXSikRyvxuiikR l l p

Intérêt des coordonnées u,v:

1) Ne fait plus apparaître z et X mais un angle permet de décrire le

comportement " à l"infini » car coordonnées indépendante de la distance.

2) La diffraction de Fraunhofer est souvent qualifiée de diffraction à l"infini.

On regarde la répartition de l"amplitude du champ diffracté

ANGULAIREMENT3)

Permet de faire apparaitre l"intégrale de Fraunhofer comme la transformée de Fourier du champ s(x,y)

lq llq l yx

RYvRXu

sinsin 18

Approximation de Fraunhofer (III)y

θy X z s(x,y) 19

Diffraction de Fraunhofer en

pratique y θy Y z s(x,y)

Lentille mince, " parfaite »

(diamètre infini, stigmatique...) f" dS(u,v) "sin"sin f YvfXu YYXX llq lqll q lq

θyRésultat admis (pour l"instant)

20 Bilan 21

Calcul d"une figure de diffraction dans

l"approximation de Fraunhofer 22

Un problème concret...

Écran

extrêmement loin ou au foyer d"une lentilleDiaphragme de forme quelconque MAIS CONNUE

Onde incidente

CONNUE

Amplitude,

phase,

INTENSITE

A TROUVER !!!Plan juste après le diaphragme

23

Résolution

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