Dans le carré de côté a, hachurer l'aire d'expression a2 − b2 Définition : On appelle identités remarquables les résultats suivants, pour tous les réels a et b : • (a +
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Dans le carré de côté a, hachurer l'aire d'expression a2 − b2 Définition : On appelle identités remarquables les résultats suivants, pour tous les réels a et b : • (a +
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a) ( )2 2 x + ; b) ( )2 5 a + ; c) ( )2 7 a + ; d) ( )2 3 5 x + ; e) ( )2 6 5a + ; f) 2 1 3 2 x + Correction : a) ( )2 2 A x = + b) ( )2 5 B a =
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Demonstrations
Les identites remarquables
Les competences : representer, chercher, raisonner, calculercommuniquer.1 Introductions dierenciees et denition
Activite 1
Proposition : pour tout nombre reelaetb, (a+b)2=a2+b2.Est-ce que cette proposition est vraie ?
Une erreur classique pour raisonner : par contre-exemple on prouve que l'egalite est fausse, ensuite on peut
s'interroger de savoir dans quel(s) cas l'egalite est vraie ce qui engage les eleves a developper convenablement
(a+b)2.Activite 2, exercice de developpement :
Dans cet exercice on propose de donner des coups de pouces suivants les productions des eleves, un coup de
pouce sert a lever les dicultes. aetbsont des nombres reels, developper les expressions suivantes : 1.Les iden titesremarquables :
(a) ( a+b)2Un coup de pouce : (a+b)2= (a+b)(a+b)
(b) ( ab)2 (c) ( a+b)(ab) 2. ( a+b+c)2 Un coup de pouce : (a+b+c)2= (a+ (b+c))2et se servir du resultat obtenu en 1. On pourra poser (b+c) =Bet developper (a+B)2, puis poursuivre les developpements appliquantb+c. 3. ( a+b)3 Un coupe de pouce : (a+b)3= (a+b)2(a+b) on developpe dans une parenthese (a+b)2et on termine le developpement general. 4.Mon trerles egalitessuiv antes:
(a)a3+b3= (a+b)(a2ab+b2); (b)a3b3= (ab)(a2+ab+b2):Pour cette activite on peut projeter les resultats etablis par le calcul formel de GeoGebra ou Xcas (des eleves
peuvent passer au tableau au fur et a mesure pour la saisie), ca donne l'objectif du resultat aux eleves :
GeoGebra XcasS.Mirbelpage 1 / 7
stage dierenciationActivite 3
1.Soien td euxcarr esde c^ oteaetbouaetbsont deux nombres reels strictement positifs :(a)Exprimer l'aire d ucarr eABCD en fonction de aetb.
(b) D evelopper( a+b)2. Que represente l'expression 2absur la gure ? 2.Soien td euxcarr esde c^ oteaetbouaetbsont deux nombres reels strictement positifs (icia > b):(a)Exprimer l'aire d ucarr eABCD en fonction de aetb.
(b) D evelopper( ab)2. Que represente l'expression 2absur la gure ?S.Mirbelpage 2 / 7
stage dierenciation 3.Soien td euxcarr esde c^ oteaetbouaetbsont deux nombres reels strictement positifs (icia > b):(a)Exprimer l'aire d urectangle ABCD en fonction de aetb.
(b) D evelopper( ab)(a+b). Dans le carre de c^otea, hachurer l'aire d'expressiona2b2. Denition :On appelle identites remarquables les resultats suivants, pour tous les reelsaetb: (a+b)2=a2+ 2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2 (ab)(a+b) =a2b2Exemple-exercice :
Developper et simplier les expressions suivantes : 1. (5 x1)2 2. (2 x+ 3)(2x3) 3. (0 ;5x+ 1)2(0;5x3)22 Applications des identites remarquables
2.1 Calcul mental
Exercice :
1. Av ecl'id entiteremarquable appropri eed evelopper(30 2)2. En deduire la valeur de 282. 2.Calculer men talement:
3122535
75225
Les eleves peuvent se mettre au de de calculer le plus rapidement possible et se proposer entre eux des
exemples du m^eme type. La verication se fait par la calculatrice si necessaire2.2 Resolution d'equations, factorisation
Exercice :
1.R esoudrel' equation36 x212x+ 1 = 0.
2. R esoudrel' equation4 x29 = 0 de deux manieres dont une faisant intervenir une identite remarquable. 3.R esoudrel' equation0 ;25x2+x=4
S.Mirbelpage 3 / 7
stage dierenciation2.3 Des approches historiques qui peuvent ^etre des travaux de productions
dierenciees2.3.1 Les identites remarquables selon al Khwarizmi, site
Dans son ouvrage Kit^ab al-jabr wa al-muq^abala, " Le livre du rajout et de l'equilibre ", l'astronome et
mathematicien perse al Khwarizmi presente sa methode de resolution des equations (muadala).Il formule ce qui sera appele les identites remarquables ainsi que la regle des signes sans justications.
Voici un extrait p27-30 qui presente sur des exemples les trois identites remarquables : On peut enlever des "traductions" mathematiques et demander a un eleve de completer le tableau :Le texte traduction algebrique
Et si on dit : dix et une chose par elle-m^eme. (10 +x)(10 +x)Tu dis : dix par dix : cent, 1010 = 100
et dix par une chose : dix choses, 10x et dix par une chose : dix choses egalement, 10x et une chose par une chose : un bien ajoute.x2 Cela sera cent dirhams et vingt choses et un bien ajoute. 100 + 20x+x2 Et si on dit : dix moins une chose par dix moins une chose. (10x)(10x)Tu dis : dix par dix : cent, 1010 = 100
et moins une chose par dix : dix choses retranchees,10x et moins une chose par dix : dix choses retranchees,10x et moins une chose par moins une chose : un bien ajoute.x2 Cela sera cent dirhams et un bien moins vingt choses. 10020x+x2 Et si on dit : dix moins une chose par dix et une chose. (10 +x)(10x)Tu dis : dix par dix : cent, 1010 = 100
et moins une chose par dix : dix Choses retranchees,10x et une chose par dix : dix choses ajoutees, 10x et moins une chose par une chose : un bien retranche.x2Tu auras : cent dirhams moins un bien. 100x2
2.3.2 Identite de Sophie Germain
L'identite de Sophie Germain enonce que pour tous nombres reelsxety, on a : x4+ 4y4= (x2+ 2y2)24x2y2= (x2+ 2y22xy)(x2+ 2y2+ 2xy) = ((x+y)2+y2)((xy)2+y2):
Preciser, par des calculs, chacune des egalites.
Remarque : ici la dierenciation se fait naturellement entre un eleve qui saura factoriser et un eleve qui ne
ma^trise que le developpement. Il peut ^etre interessant de comparer les dierentes approches entre les eleves
pour enrichir les methodes de calculs et en comparer les performances.2.3.3 Identite d'Argan
xest un nombre reel, demontrer l'identite (x2+x+ 1)(x2x+ 1) =x4+x2+ 1.2.3.4 Identite de Gauss
aetbsont des nombres reels, justier par le calcul les identites suivantes a3+b3+c33abc= (a+b+c)(a2+b2+c2abacbc) =12
(a+b+c)[(ab)2+ (bc)2+ (ac)2]:2.3.5 Identite de Legendre
aetbsont des nombres reels, demontrer l'identite : (a+b)2+ (ab)2= 2(a2+b2);(a+b)2(ab)2= 4ab;(a+b)4(ab)4= 8ab(a2+b2):2.4 L'identite de Lagrange
a,b,c,x,yetzsont des nombres reels, demontrer l'identite suivante : (a2+b2)(x2+y2) = (ax+by)2+ (aybx)2S.Mirbelpage 4 / 7
stage dierenciationPuis l'identite suivante :
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2+ (aybx)2+ (azcx)2+ (bzcy)2:2.4.1 L'identite d'Euler
Le theoreme des quatre carres de Lagrange, egalement connu sous le nom de conjecture de Bachet, s'enonce de
la facon suivante : Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carres. Plus formellement, pour tout entier positifn, il existe des entiersa,b,c,dtels que : n=a2+b2+c2+d2 La demonstration du theoreme repose (en partie) sur l'identite des quatre carres d'Euler : (x21+y21+z21+t21)(x22+y22+z22+t22) = (x1x2+y1y2+z1z2+t1t2)2 +(x1y2y1x2+t1z2z1t2)2 +(x1z2z1x2+y1t2t1y2)2 +(x1t2t1x2+z1y2y1z2)2:.Retrouver l'identite d'Euler par des calculs.
Une approche algorithmique du theoreme dans le cas oua,b,cetdne sont pas nuls :1#approchea lgorithmiqued ut heoremed esq uatrec arresd eL agrange2#aveci c i a b c e td n onn uls3
4defq uatrecarre (n) :
5L=[]6fora i nr ange( 1, n): 7forb i nr ange( 1, n): 8forc i nr ange( 1, n): 9ford i nr ange( 1, n): 10i fp ow(a, 2)+pow(b,2)+pow(c, 2)+pow(d,2)==n:11return[ a , b, c , d]12
13forn i nr ange( 4, 51): # donneu nel i s t e d en ombresq uic onviennents ie l l e e xiste14print( "n=", n, " l i s t e [ a , b, c , d]" , q uatrecarre (n) )
quatrecarrelagrange.py3 Dierenciation
3.1 Introduction des identites remarquables
3.1.1 Processus, competence representer
Commencer par l'erreur ! (a+b)2=a2+b2:
L'apprentissage par l'erreur et la production d'un raisonnement (un contre-exemple) doivent ^etre le plus
couramment utilises, c'est un tres bon outil de la dierenciation.L'introduction par la representation geometrique (ou autre), permet de favoriser la memorisation du double
produit.3.1.2 Contenus
Tous les eleves font les trois activites dierenciees, tous les contenus (developpements et representations
geometriques ou historiques) sont traites.