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2) En déduire l'aire A du domaine en unité d'aire compris entre les deux courbes sur l'intervalle [-2 ;2] Intégrale et aire - fonction changeant de signe La courbe C  

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Dérivation sous le signe intégral ® L'objet de cet exercice est d'apprendre à dériver, sous certaines condicions, des fonctions du type x-> ]f(x, t) dr Soit fune 

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Si l'intégrale sur [−1,1] d'une fonction vaut , alors il existe ∈ [0,1] tel que ( ) = 2 Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3 Répondre  

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, C ∈ R Exercice no 2 1) ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x × 1 xdx = x 

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Integrale d'une fonction : Exercices

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Integrale et aire

On considere la fonction anefdont la courbe ci-contre passe par les points A et B.

1) Determiner l'expression def(x).

2) En deduire une primitive F def.

3) a) Determiner l'integrale

Z 1

2f(x)dxa l'aide de F.

En deduire l'aire du domaine vert.

b) Determiner l'aire du domaine vert d'une autre facon.Integrale et aire On a trace la courbe d'une fonctionfdenie sur [-4;2].

Sur [-2;0], la courbe est un demi-cercle.

1) DeterminerZ

2

4f(x)dx, puisZ

0

2f(x)dx, puisZ

2 0 f(x)dx

2) En deduire

Z 2

4f(x)dxCalcul integral - Integrale d'un polyn^ome-xn

Calculer les integrales suivantes :

a)Z 2

12x5x21 dxb)Z

1 0 (1t2)(2 + 3t)dtc)Z 5 223
dxd)Z 3 11n dxIntegrale et primitive d'un quotient-u0u

Calculer les integrales suivantes :

a)Z 1

011 + 2xdxb)Z

e

16x2+ 4x1x

dxc)Z 1 0x

21 +x3dxd)Z

4

113t3t

2dtIntegrale et primitive avec des exponentielles ou des racines-u0eu-u0pu

Calculer les integrales suivantes :

a)Z 1 0 ex+6e

2xdxb)Z

2

1xex2dxc)Z

4

03p2x+ 1dxIntegrale et primitive d'un quotient-u0u

Calcul integral avec un quotient de polyn^ome :

1)Etudier suivant les valeurs du reelx, le signe dex2+ 2x+ 5.

2) En deduire la valeur deZ

1

2x+ 1x

2+ 2x+ 5dx1

Integrale et primitive

Calculer les integrales suivantes :

a)Z 2

4x1dxb)Z

2

512x+ 1dxc)Z

1

2e2t1dtd)Z

1 0x 2+x14 dx e) Z 1 1e xe x+ 1dxf)Z 3

01(2x+ 1)2dxg)Z

2

0sin(2x)dxh)Z

3 1t

22t+ 3t

dtIntegrale et aire On a trace la courbe de la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =1x

On a trace egalement les courbes des fonctionsgethdenies sur [0;+1[ parg(x) =x2eth(x) =x.1) Determiner l'aire du domaine rose.

2) Determiner l'aire du domaine bleu.

3) Determiner l'aire du domaine vert.2

Integrale et aire entre deux courbes

On a represente les courbes des fonctionsfetgdenies surRpar : f(x) = (1x)(x3) etg(x) = 2x3.Determiner l'aire de la surface hachuree.

Integrale et aire entre deux courbes

C fetCgsont les courbes representatives de deux fonctionsfetg denies surRparf(x) =x24 etg(x) = (x+ 2)2(x2). 1) Etudier la position relative de leurs courbes representatives.

2) En deduire l'aireAdu domaine en unite d'aire compris

entre les deux courbes sur l'intervalle [-2;2].Integrale et aire - fonction changeant de signe La courbeCrepresente dans un repere orthogonal, la fonctionf denie surRparf(x) =x22x3. Les unites graphiques sont :

1 cm sur l'axe des abscisses et 0.5 cm sur l'axe des ordonnees.

1) Etudier la position relative de la courbeCpar rapport a l'axe des abscisses.

2) En deduire l'aireAdu domaine en unite d'aire puis en cm2compris entre

la courbeC, l'axe des abscisses et les droites d'equationx=2 etx= 3.Integrale et aire - fonction changeant de signe

On considere la fonction denie surRparf(x) = (1x2)exdont on a trace la courbe ci-dessous :1) Determinera,betctels que la fonction denie surRpar

F(x) = (ax2+bx+c)exsoit une primitive def.

2) En deduire l'aire de la surface bleue.

3 Fonction denie par une integrale - signe d'une integrale On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonctionfdenie surR:x f142+11133 55111
0

On denit la fonctionFsurRparF(x) =Z

x 1 f(t)dt.

1) Determiner le tableau de variations de F.

2) Determiner le signe de l'integraleZ

3 1 f(t)dtet deZ 5 1 f(t)dt.

3) Determiner la limite de F en +1et en1.Signe d'une integrale

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e4x1 +e4x.

Pour tout reelx, on pose I(x) =Z

x 3 f(t)dt. Determiner le signe de I(x) en fonction dex, en justiant.Integrale - Aire nie ou innie?

En voyant cette courbe representative d'une fonction :Ltitia arme que : "Si la fonction representee tend vers 0 en +1alors l'aire hachuree sous la courbe sur [1;+1[ est nie".

Antoine lui repond : "M^eme si cette fonction tend vers 0 en +1, la longueur de l'intervalle [1;+1[ etant innie, l'aire

hachuree ne peut pas ^etre nie". A l'aide de deux exemples, justier qu'ils ont tort tous les deux.Fonction connaissant une primitive

Soitfune fonction denie [-2;5] etFune primitive def. On a trace la courbe deFci-dessous :1) Determiner le tableau de signe defsur [-2;5].

2) Determiner la valeur de l'integraleZ

3 1 f(x)dx.Comparer des integrales 4 On a trace ci-dessous la courbe d'une fonctionfdenie surR.1) Comparer les integrales Z 1 0 f(x) dxetZ 2 1 f(x) dx.

2) Comparer les integrales

Z 0

2f(x) dxetZ

2 0 f(x) dx.

3) Encadrer l'integrale

Z 2

1f(x) dx.5

Encadrer une integrale

On a trace ci-dessous la courbe d'une fonctionfdenie surR.Determiner un encadrement de l'integrale Z 4 1 f(x) dx.Fonction denie par une integrale

On considere la fonction denie surRparg(x) =Z

x

111 +t2dt.

1) Justier quegest bien denie surR.

2) Determiner le tableau de variations deg.

3) Determiner le tableau de signe deg(x).

4) Demontrer que pour toutx1,g(x)1.

5) Demontrer que l'inegalite du 4) reste vraie pourx1.QCM Integrale

fest une fonction continue surR. Dire si les armations suivantes sont vraies ou fausses en justiant : a)Z 1 2 f(x) dx=Z 2 1 f(x) dx b) Si Z 1 0 f(x) dx=Z 1 0 g(x) dxalors pour toutx2[0;1],f(x) =g(x). c) Si Z 1

1f(x) dx= 0 alors pour toutx2[1;1],f(x) = 0.

d) Sifest positive sur [2;3] alorsZ 3 2 f(x) dx0. e) Si Z 3 2 f(x) dx0 alors pour toutx2[2;3],f(x)0. f) Z 3 2 f0(x)f(x) dx=F(3)F(2) ouF=f2.6 Fonction denie par une integrale - derivee - variations

On considere la fonctiongdenie parg(x) =Z

x

1t1 +t2dt.

Dire si les armations suivantes sont vraies ou fausses en justiant : a) La fonctiongest denie surR. b)g0(1) = 0 c)g(1) = 0 d)gest croissante surR. e)g(x) =12 ln(x2+ 1).Inegalite et integrale

1) Demontrer que pour toutx1,12x1x+px

12 px

2) En deduire un encadrement de l'integrale :

Z 3

21x+px

dxInegalite et integrale - encadrement delnx

1) Demontrer que pour tout reelt1,1t

21t
1pt

2) En deduire que pour tout reelx1, 11x

lnx2px2.

3) En deduire un encadrement de ln2. Verier la coherence du resultat a l'aide d'une calculatrice.Inegalite et integrale - encadrement deln2

1) Demontrer que pour toutt0, 1t11 +t1t+t2.

2) En deduire que pour reelx0,xx22

ln(1 +x)xx22 +x33

3) En deduire un encadrement de ln2. Verier la coherence du resultat a l'aide d'une calculatrice.Suite denie par une integrale

Pour tout entier natureln, on pose :un=Z

1

011 +xndx,

f ndesigne la fonction denie sur [0;1] parfn(x) =11 +xn, C ndesigne la courbe defn. On a traceC0,C1,C2,C3,C4dans un repere orthonorme.

1) A l'aide du graphique, conjecturer le sens de variation de (un).

2) Determiner le sens de variation de (un) par le calcul.

3) Demontrer que pour tout entier natureln, et toutx2[0;1] :

11 +xn1

4) En deduire que la suite (un) est convergente.7

Suite denie par une integrale

Pour tout entier natureln, on poseun=Z

n

011 +x2dx.

1) Demontrer que la suite (un) est croissante.

2) Justier que pour tout entiern1,unZ

1

011 +x2dx+Z

n 11x 2dx.

3) Demontrer que

Z 1

011 +x2dx1. En deduire que la suite (un) est convergente.Suite denie par une integrale

Pour tout entier natureln, on poseun=Z

1 0 xnexdx.

1) Determineru0.

2) Demontrer que (un) est decroissante.

3) Demontrer que (un) est convergente.

4) Demontrer que pour tout entier natureln, 0un1n+ 1.

5) Que peut-on deduire?Fonction denie par une integrale - derivation - variations - limite

On considere la fonction denie sur ]0;+1[ parf(x) =Z x 1e tt dt.

1) Justier quefest denie et derivable sur ]0;+1[, determinerf0(x) puis les variations def.

2) En deduire le tableau de signe def(x).

3) Demontrer que pour tout reelt2]0;+1[,ett

1t

4) Deduire du 3) que pour toutx2[1;+1[,f(x)lnx.

5) Deduire du 3) que pour toutx2]0;1],f(x)lnx.

6) En deduire limx!+1f(x) et limx!0x>0f(x).Integrale et aire entre deux courbes

On se place dans un repere orthogonal d'unite 2 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonnees.

On a trace les courbes de 2 fonctionsfetgdenies sur ]0;+1[ parf(x) =lnxx etg(x) =(lnx)2x .1) Associer a chaque fonction la courbe qui lui correspond. Justier.

2) Determiner les positions relatives des courbes defetgpar le calcul.

3) Determiner une primitive defpuis degsur ]0;+1[.

4) Determiner l'aire du domaine vert en unite d'aire puis en cm

2.Integrale et primitive

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) = (x+ 2)e12 x. Soituetvles fonctions denies surRparu(x) =xetv(x) =e12 x. a) Verier quef= 2(u0v+uv0). b) En deduire la valeur de l'integraleZ 1 0 f(x) dx.8

D'apres sujet Bac Pondichery 2015 Terminale S

Soitfethles fonctions denies surRparf(x) =31 + e

2xeth(x) = 3f(x).

1. Justier que la fonctionhest positive surR.

2. SoitHla fonction denie surRparH(x) =32

ln1 + e2x.

Demontrer queHest une primitive dehsurR.

3. Soitaun reel strictement positif.

a. Donner une interpretation graphique de l'integraleZ a 0 h(x) dx. b. Demontrer que Z a 0 h(x) dx=32 ln21 + e 2a c. On noteDl'ensemble des pointsM(x;y) du plan denis parx>0 f(x)6y63. Determiner l'aire, en unite d'aire, du domaineD.Baccalaureat 2014 - Amerique du Nord exercice 2 Integrale et aire - theoreme des valeurs intermediaires - calcul d'integrale On considere la fonctionfdenie sur [0;+1[ parf(x) = 5ex3e2x+x3. On noteCfla representation graphique de la fonctionfetDla droite d'equationy=x3 dans un repere orthogonal du plan. On considere la fonctionA denie sur [0;+1[ parA(x) =Z x 0 f(t)(t3) dt:

1. Justier que, pour tout reeltde [0;+1[,f(t)(t3)>0.

2. Hachurer sur le graphique ci-contre le domaine

dont l'aire est donnee parA(2).

3. Justier que la fonctionAest croissante sur [0;+1[.

4. Pour tout reelx0, calculerA(x).

5. Existe-t-il une valeur dextelle queA(x) = 2?Logarithme et aire maximale d'un rectangle

Soitfla fonction denie sur ]0; 14] parf(x) = 2lnx2 dont la courbeCfest donnee dans le repere orthogonal d'origine

O ci-contre :

A tout point M appartenant aCf, on associe le point P projete orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projete orthogonal de M sur l'axe des ordonnees. fest-elle positive sur ]0;14]?

L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante,

quelle que soit la position du point M surCf? L'aire du rectangle OPMQ peut-elle ^etre maximale? Si oui, preciser les coordonnees du point M correspondant. Justier les reponses.Calculer une integrale a l'aide d'un argument geometrique

L'objectif de cet exercice est de calculer :Z

1

0p1x2dx.

On considere la fonctionfdenie parf(x) =p1x2.

1) Determiner le domaine de denition de la fonctionf.

2) Quelle conjecture peut-on faire concernant la courbe de la fonctionf? Demontrer cette conjecture.

3) En deduire la valeur de l'integraleZ

1

0p1x2dx.9

Suite denie par une integrale

Soit un entiern>1.

On notefnla fonction denie pour tout reelxde l'intervalle [0;1] parfn(x) =11 +xn.

Pour tout entiern>1, on note In=Z

1 0 f n(x)dx.

1) Determiner I

1.

2) Demontrer que, pour tout reelx2[0;1] et pour tout entiern>1, on a : 1xn611 +xn61

3) En deduire que la suite (I

n) est convergente et preciser sa limite.10quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14