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Chapitre (4) : Les intérêts composés I- Formule de base Soit : C : montant du capital placé ; n : la durée de placement exprimée en années ; i : le taux d'intérêt  

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2 – Les intérêts composés L'intérêt composé est utilisé lorsque les intérêts acquis au cours d'une période s'ajoutent au capital initial pour le calcul des intérêts 

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Exemple : on place un capital de 8 000 pendant 72 jours au taux annuel de 6,5 Calculer l'intérêt et la valeur acquise à l'issue du placement • Méthode : on 

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Un capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la fin de chaque période de placement s'ajoute au capital placé pour devenir 

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LECON 1 : LES INTERETS SIMPLES LECON 2 : LES INTERETS COMPOSES DEVOIR FOAD LES MATHEMATIQUES FINANCIERES I LIVRET 52 Page 2 

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Principe : Un capital est dit placé `a intérêts composés lorsque, `a la fin de chaque période de placement, l'intérêt simple acquis `a la fin de la période s' ajoute 

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Sauf si on précise qu'il est à intérêts simples, un placement ou un emprunt sera toujours considéré comme étant à intérêts composés Page 12 ◁ ▷ P Q 3 2 

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Avec les intérêts composés, nous abordons les mathématiques financières On appelle valeur acquise par un capital C placé à intérêt composé au taux i

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Intérêts composés On place un capital C0 à un taux annuel Ta pendant n années Quelle est la va- leur finale Cn de ce capital ? année capital en fin d' année 1

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INTÉRÊTS SIMPLES, INTÉRÊTS COMPOSÉS I. Résoudre un exercice d"intérêts simples :

· Exemple :on place un capital de 8 000

? pendant 72 jours au taux annuel de 6,5 %. Calculer l"intérêt et la valeur acquise à l"issue du placement. · Méthode : on utilise la formule ICtn= avec : I : intérêtC : capital placét : taux périodiquen : nombre de périodes

Remarque : n en jours Þ=ttauxannuel

360n en mois Þ=ttauxannuel

12

Enfin : Valeur acquise = Capital + Intérêts

· Solution : 04172360

065,00008=´´=I ?

Valeur acquise : 8 000 + 104 = 8 104 ???

II. Comparer deux placements à intérêts simples : · Exemple : on possède un capital de 1 800 ?. Deux options de placement sont proposées : - pas de frais, taux annuel de 5 % - 40 ? de frais fixe pris sur le capital, taux annuel de 9 % Exprimer les valeurs acquises f (x) et g (x) pour chaque option après x jours de placement, pour []xÎ0300;. Représenter graphiquement. Comparer les placements.

· Solution :

premier placement : ()xxf360

05,018001800´+=

()180025,0+=xxf deuxième placement : ()xxg360

09,017601760´+=

()176044,0+=xxg

L"abscisse x de l"intersection est donnée par

l"équation ()()fxgx=, c"est-à-dire :

176044,0180025,0+=+xx

1760180025,044,0-=-xx

21152,21019,0

404019,0»Þ==Þ=xxx

Conclusion : à partir du 211e jour, le deuxième placement ()gx est plus intéressant. III. Calculer la valeur acquise à intérêts composés · Exemple : Calculer la valeur acquise d"un capital de 8 000 ? placé pendant 5 ans au taux annuel de 6,5 %. En déduire le montant des intérêts. (capitalisation annuelle)

· Méthode : on utilise la formule ()CCin

n=+01 avec : Cn : valeur acquiseC0 : capital placéi : taux périodiquen : nombre de périodes

· Solution :()C5

5800010065=+,

•69,96010065,100085

5»´=C

•69,9602000869,96010=-=I 1650
1700
1750
1800
1850
1900
1950

050100150200250300350

Durée en jours

V.A. en Euros

f(x) g(x) 211

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IV. Calculer un taux à intérêts composés :

· Exemple : Un capital de 12 000

? est placé pendant 4 ans ; la capitalisation des intérêts est mensuelle. A l"issue du placement, la valeur acquise se monte à 15 245,87 ???

Calculer le taux mensuel im de l"intérêt.

· Méthode : ()()CCiC

CiiC Cnm nn m n m nn =+Û=+Û+=ae

ø÷0

00 1 111
· Solution : n étant le nombre de mois on a ici n=´=41248.

On a l"équation ()15 245,87 =120001+im

48

D©où()1+ =15 245,87

12000im

48Þ1+=15 245,87

12000
1 48
im ae Ce qui donne1+=1,005im et donc im=0,005=0,5% par mois. V. Calculer un taux équivalent à intérêts composés : · Exemple : Un capital C 0 est placé pendant n années, au taux annuel de 4 %.

Calculer le taux équivalent trimestriel it .

· Solution : on utilise la formule ()CCin

n=+01. Le nombre de trimestres de placement étant égal à 4´n, on a l"équation : ()()CCiCin n t n=+=+00 411

Soit ici :()()CCCin

n t n==+00

41041,

D"où :()()()11041104

44+=Û+=iit

nn t,,

Et :()1104100985

1

4+=»it,,

On en déduitit»=0009850985,,% par trimestre. Ne pas confondre avec le taux proportionnel qui vaut ici 4

41%%= par trimestre.

VI. Calculer la durée d"un placement à intérêts composés :

· Exemple : Un capital de 7 000

? est placé à un taux annuel de 6 %. La capitalisation des intérêts est mensuelle. La valeur acquise se monte à 10 642,59 ??? Calculer en mois puis en années, la durée du placement (utiliser les taux proportionnels). · Méthode : on part de la formule des intérêts composés ()()()()()CCiiC CiC CniC Cn C C in nnnnnn n =+Û+=Û+=Û+=Û=+0 000

011111lnlnlnln

ln ln · Solution : le taux mensuel proportionnel vaut 6 12 006

120005%,,==

Ici on a l"équation :()10 642,59 =70001+,0050n

D"où :()1+,00510 642,59

70000
n= On passe en logarithmes :()()lnlnlnln1+,00510 642,59

70001,00510 642,59

70000
nn=Þ=

D©où()()()

()nn==-Þ= ln ln ln,ln ln

10 642,59

7000

1,0051,005

1064259700084 mois, soit 7 années.

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