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Exercices sur les intervalles, les

inéquations et les inégalités

A. Intervalles

Exercice 1

Ecrire mathématiquement les ensembles suivants : (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Exercice 2

Ecrire en compréhension les ensembles suivants : (1) []3,8 (2) ][,7 (3) [[9,4 (4) ][{}4,2+ (5) ][]3,,8+[ (6) {}4,5,6,7,8,9,10,11 (7) ]] ]3,01,5 (8) {}2,1,0,1,2,3,4

Exercice 3

Représenter graphiquement les ensembles suivants sur la droite réelle et les

écrire aussi simplement que possible.

(1) {}/3 et 3Axxx=<> (2) {}/5 ou 2Bxxx= (3) {}/48 et 6Cxxx= (4) {}/3 ou 3Dxxx=<= (5) {}/6Exx= (6) {}/37 ou 10Fxxx=<> (7) {}/4 et 2Gxxx=><

Exercice 4

Simplifier l'écriture des ensembles suivants. Aidez-vous au besoin d'une figure.

S'agit-il d'intervalles ?

(1) []]1,52,6[ (2) []]1,52,6 (3) [[]3,,8+ (4) [[]3,,8+ (5) []]3,22,8 (6) []]3,22,8 (7) [[{}5,33 (8) [[{}5,33 (9) [[]4,2,++ (10) [[]4,2,++ (11) ][,8 (12) [[]]]6,84,1212,3 (13) [[]]]6,84,1212,3

B. Inéquations du 1

er degré

Exercice 5

Résoudre les inéquations suivantes dans et donner l'ensemble des solutions : (1) 6 2 x (2) 27
34
x (3) 1 9 2 x (4) 3 23
4 x+ (5) 35741
1 368
xxx++ (6) 511
24
xx+ 1 8 (7) 313
22
524
xx x (8)

121114

12 3563
xx+ (9) ()382119 277
xx x (10) 351
0 62
x x

Exercice 6

Résoudre les problèmes suivants à l'aide d'une inéquation : (1) Deux personnes A et B partagent la somme de 360 €. A obtient au moins le double de B. Que peut-on dire de la part des deux personnes ? (2) Deux côtés d'un triangle mesurent respectivement 4 et 6 cm. Que peut- on dire de la longueur du 3 e côté ? (3) Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet principal mesure au plus 24°.

Que peut-on dire des deux angles à la base ?

(4) Je possède 25 € et je veux acheter des clous de 2 cents la pièce. Combien de clous puis-je acheter au plus ? (5) Pierre dépense le tiers de son avoir, puis le cinquième du reste. Il constate qu'il lui reste encore plus de 20 €, somme dont il a besoin pour acheter son manuel de mathématiques. Que peut-on dire de son avoir initial ? (6) On multiplie un nombre par 5, on retranche 24 du produit, on divise le reste par 6, on ajoute 13 au quotient et on trouve un résultat supérieur au nombre initial. Que peut-on dire de ce nombre ? (7) Un père a 38 ans. Ses enfants sont âgés de 12 ans et de 8 ans. Dans combien d'années, l'âge du père sera-t-il supérieur ou égal à la somme des âges de ses enfants ? (8) On place un capital à 4%. Quel doit être ce capital pour produire un intérêt annuel au moins égal à 100 € ? (9) On place un capital à 5% d'intérêts annuels. Après 2 ans ce capital devient au moins 4900 €. Quel était le capital initial ?

(10) Une fontaine remplit un bassin en 6 h, une autre en 8 h et une troisième en 10 h. Elles coulent ensemble pendant 2 h et il manque moins de 26 hl

pour que le bassin soit entièrement rempli. Quelle peut être la capacité de ce bassin ?

C. Systèmes d'inéquations

Exercice 7

Résoudre dans les systèmes d'inéquations suivants : (1) ()()4553 22172
10 532
xx xxx 6 (2) 1412
866
55
1713
642
xx x x xx (3) 2715
482

314232

1243
xxx xx 1x (4) 2715
482

314232

1243
xxx xx 1x (5) 1 2 12 3 4 5 x x x x x x 5

Exercice 8

Résoudre les problèmes suivants à l'aide d'un système d'inéquations : (1) On ajoute 5 à un nombre donné, on multiplie la somme par 2 puis on retranche 21 du produit. On obtient un résultat compris entre 45 et 50.

Que peut-on dire du nombre donné ?

(2) La longueur d'un rectangle est 8 cm, sa largeur est 5 cm. On prolonge l'une des deux largeurs d'une certaine distance et on obtient un trapèze dont l'aire est comprise entre 48 et 50 cm 2 . Quelle peut être la distance ajoutée à la largeur initiale ? (3) Paul a 14 ans, sa soeur Isabelle a 12 ans et leur mère en a 36. Dans combien d'années l'âge de chacun des deux enfants est supé rieur aux deux tiers de l'âge de leur mère ?

D. Inéquations réductibles au 1

er degré

Exercice 9

Résoudre les inéquations suivantes dans .

(1) 2 3xx (2) ()()2357xx<0 0 1 0 0 )x 2 x

Les identités remarquables :

22
222
222
2 2 ababab aabbab aabbab (3) ()()() 352

1452xxx

(4) 2 21xx
(5) 2 96xx>
(6) () 22

829xx>

(7) ()() 22

412950xx+

(8) () 32

9580xx

(9) ()() 24

2147xx+

(10) () 22
11xx (11) ()() 2

231xxxx+>

(12) ()()( 2

3454327xx<+

(13) (Indication : factoriser d'abord les 2 membres) 3 44xxx
(14) () 22

93025421xxx+>

(15) 42
16xx (16) () 2

52112123xx+

Exercice 10

Résoudre les inéquations fractionnaires suivantes dans après avoir précisé leur domaine. (1) 23
0 35
x x (2) 3 8 4x (3) 12 1 3 x x (4) ()()34 2 1 xx x x (5) 1 2x x (6) 1 212
xx xx +1 (7) 53
1 3xxx (8) 9 1 412xx
(9) 2 32
8125
0 31363
x xxx Remarque importante : Dans les exemples suivants il faudra d'abord factoriser tous les dénominateurs, puis seulement chercher le dénominateur commun ! (10) 22
75

221xxxxx

2 6 (11) 2 2 49141
4 69
xx xx (Indication : factoriser aussi le numérateur dans le membre de gauche.) (12) 22
43
1xx (13) 322
312

312363

x xxxxxxx 1 (14) 22
172

484162xxxx

E. Majorations. Minorations. Encadrements

Exercice 11

(1) Sachant que et que peut-on dire de 3x<6y a) 2 b) c) x3y5 2 x y+ d) e) x f) x ? 2 xy+ 2 yy (2) Sachant que , que peut-on dire de 34a< a) b) 2 a 1 a c) 3 2 102
a a d) 2 2 3 a aa (3) Sachant que , que peut-on dire de 5b< a) 3 b) c) 4b 2 1b+ 4 51b
d) ()()2121bb+ ? (4) Sachant que 51
42
3 1 2 x y donner un encadrement de a) 32 b) 8xy+ 3 xy c) 4 23
x y+ d) 1 3 x y e) f) 2 xy 2 2 2xy x (5) Sachant que 5 1 2 32
a b donner un encadrement de : a) 2 12 ab b) 3 1 2 a ab c) () 2 ab+

Exercice 12

Résoudre les problèmes suivants en utilisant les opérations sur les inégalités : (1) Je vais acheter aujourd'hui entre 5 et 6 kilos de coings et entre 3,5 et 4,5 kilos de mirabelles pour faire de la confiture. Je sais qu'un kilo de coings coûte 4,6 € et un kilo de mirabelles coûte entre 3,80 et 4,30 €. Pouvez- vous m'aider à encadrer ma dépense ? (2) Sophie a mis 4 h en voiture pour rentrer de vacances. Elle a fait une pause de 30 à 45 minutes et sa vitesse était toujours comprise ent re 110 et 130 km/h. Encadrer la distance que Sophie a parcourue en voiture. (3) Albert et Bertrand rentrent de vacances. Tous les deux ont 320 km à faire jusqu'à leur domicile. Bertrand est parti à 8 h le matin et sa vitesse moyenne est de 100 km/h. Albert part seulement à 8 h 30. Quelle doit être sa vitesse moyenne minimale pour être rentré avant Bertrand ? (4) Le côté d'un carré est compris entre 7,1 et 7,2 cm. Que peut-on dire de l'aire et de la circonférence de ce carré ? (5) Sachant que le rayon d'un disque est compris entre 19,8 et 19,9 cm et que , donner un encadrement de l'aire de ce disque. (Rappel : l'aire d'un disque est , où R est le rayon.)

3,14153,1416<<

2 A=R (6) Une plaque rectangulaire en acier a pour dimensions : et . Son épaisseur est de mm. Ces mesures ont été faites à 0,1 mm près avec un pied à coulisse. Sachant que la masse volumique de l'acier est de 7'850 kg/, on demande d'encadrer la masse de cette plaque métallique.

4,53 cmL

2,37 cml3,6h

3 m

Solutions

Exercice 1

(1) []3,0 (2) ][5,4 (3) ][,2 (4) ][{},35 (5) ][[6,14,6 (6) [[]][8,52,14,6 (7) {}[][8,2,32,14,+

Exercice 2

(1) {}/38xxquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16