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Estimations et intervalles de confiance
Estimations et intervalles de confiance
Résumé
Cette vignette introduit la notion d"estimateur et ses propriétés : ponctuelle de paramètres de loi : proportion, moyenne, variance. La connaissance des lois de ce estimateurs permet l"estimation par in- tervalle de confiance et donc de préciser l"incertitude sur ces esti- mations : intervalle de confiance d"une proportion, d"une moyenne si la variance est connue ou non, d"une variance.Retour au
plan du cour s1 Introduction
Le cadre est le suivant : on dispose de données observées (en nombre fini) et l"on désire tirer des conclusions de ces données sur l"ensemble de la popu- lation. On fait alors une hypothèse raisonnable : il existe une loi de probabilité sous-jacente telle que les "valeurs observables" des différents éléments de la population étudiée puissent être considérées comme des variables aléatoires indépendantes ayant cette loi. Un aspect important de l"inférence statistique consiste à obtenir des "esti- mations fiables" des caractéristiques d"une population de grande taille à partir d"un échantillon extrait de cette population. C"est un problème de décision concernant des paramètres qui le plus souvent sont : l"espérance mathématique ; la proportion p; la v ariance2. Ces paramètres sont a priori inconnus car la taille réelle de la population étant très grande, il serait trop coûteux de tester tous les éléments de la population. Ainsi, comme un échantillon ne peut donner qu"une information partielle sur la population, les estimations que l"on obtiendra seront inévitablement entachées d"erreurs qu"il s"agit d"évaluer et de minimiser autant que possible. En résumé, estimer un paramètre inconnu, c"est en donner une valeur ap-prochée à partir des résultats obtenus sur un échantillon aléatoire extrait de lapopulation sous-jacente.
Exemple :Un semencier a récolté 5 tonnes de graines de Tournesol. Il a besoin de connaître le taux de germination de ces graines avant de les mettre en vente. Il extrait un échantillon de 40 graines, les dépose sur un buvard humide et compte le nombre de graines ayant évolué favorablement. On remarque que ce contrôle est de type destructif : l"échantillon ayant servi au contrôle ne peut plus être commercialisé. Il s"agit donc d"évaluer la proportionpdes graines de la population à grand effectif, présentant un certain caractèreX: succès de la germination. Même avec une population d"effectif restreint, un contrôle depne peut être calculée. Le modèle s"écrit commenréalisationsxide v.a.r. indépendantes de Ber- noulliXidéfinies par : X i=1si l"individuiprésente le caractèreX