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programmes (résumé) : Interv de fluctuation Interv de confiance Seconde [ p − 1 √ n ; p + 1 √ n ] Sensibilisation Première Avec la loi binomiale xxx

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confiance mais en utilisant une loi "exacte", en l'occurrence, une loi binomiale Dans ce qui suit, nous allons nous intéresser à un échantillon aléatoire et simple  

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Lorsque n est « grand » et np est « petit », on peut remplacer la loi binomiale L' intervalle de confiance de la variance σ2 se calcule `a partir de l'échantillon de 

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6 oct 2017 · intervalle de confiance de θ ou une estimation ensembliste de θ D'autre part, nous pouvons montrer que n̂πn,A suit une loi binomiale de

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Statistique : etude de cas. Intervalles de conance

Myriam Maumy-Bertrand

IRMA, UMR 7501, Universite de Strasbourg

Vendredi 06 octobre 2017

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 1 / 50 Ce chapitre s'appuie essentiellement sur le livre suivant : Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 2 / 50

Sommaire

1Introduction

2Principe

3Intervalle de conance

4Estimation de la moyenned'une variable gaussienne5Estimation de la variance2d'une variable gaussienne6Estimation d'une proportion

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 3 / 50 Il est souvent plus realiste et plus interessant de fournir un renseignement du type

1< < 2

plut^ot que d'ecrire sechement b n=c:Denition Fournir un tel intervalle]1;2[s'appelle donner une estimation par

intervalle de conance deou une estimation ensembliste de.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 4 / 50

Sommaire

1Introduction

2Principe

3Intervalle de conance

4Estimation de la moyenned'une variable gaussienne5Estimation de la variance2d'une variable gaussienne6Estimation d'une proportion

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 5 / 50 La methode des intervalles de conance est la suivante : soitbnun estimateur dedont nous connaissons la loi de probabilite pour chaque valeur de.Denition Etant donne une valeur0du parametre, nous determinons unintervalle de probabilite bilateral de niveau(1)pour l'estimateurbn, c'est-a-dire deux bornesn1etn2telles que P n11:Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 6 / 50

Remarques

1Ces deux bornes dependent evidemment de la valeur0.2Nous pourrions egalement construire desintervalles unilateraux

pour lesquelsn1=1oun2= +1.3Nous choisissons dans la plupart des cas un intervalle de probabilite a risque symetrique=2 et=2.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 7 / 50

Nous adoptons la regle de decision suivante.

Soitbn(x1;:::;xn) =bn(obs) la valeur observee debn:si bn(obs)2]n1;n2[, nous conservons0comme valeur possible du parametre;si bn(obs)62]n1;n2[, nous eliminons0.

Nous repetons cette operation pour toutes les valeurs de.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 8 / 50

Sommaire

1Introduction

2Principe

3Intervalle de conance

4Estimation de la moyenned'une variable gaussienne5Estimation de la variance2d'une variable gaussienne6Estimation d'une proportion

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 9 / 50

Denition

Nous appelonsintervalle de conance de niveau de conance(1) (coecient de conance) du parametretout intervalle]1;2[tel que :P(2]1;2[) = 1pour2[0;1]xe.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 10 / 50

Proprietes

1]1;2[ est un intervalle aleatoire car il depend de l'estimateurbn.2]1;2[ s'obtient par :

1= (n2)1(bn(obs))

2= (n1)1(bn(obs)):3Si nous augmentons le niveau 1, nous augmentons la longueur de

l'intervalle de probabilite. Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 11 / 50

Remarque

Si la taille de l'echantillon noteenaugmente, comme l'estimateurbnest suppose convergent, la variance de l'estimateur noteeVarbn diminue et

par consequent l'intervalle ]1;2[ diminue egalement.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 12 / 50

Sommaire

1Introduction

2Principe

3Intervalle de conance

4Estimation de la moyenned'une variable gaussienne5Estimation de la variance2d'une variable gaussienne6Estimation d'une proportion

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 13 / 50 bnest le meilleur estimateur de la moyennepopetbnsuit une loi normale N pop;2popn .Denition

L'intervalle de probabilite debna1est :

popu1(=2) poppn pest le quantile d'ordre p pour la loi gaussienne centree et reduite.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 14 / 50

Denition

L'intervalle de conance debna 1est :

bn(x1;:::;xn)u1(=2) poppn < qnorm(0.975) [1] 1.959964 Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 15 / 50 Nous utilisons le fait que la variable aleatoireTn1=pn1bnS nsuit une loi de Student a (n1) degres de liberte.Denition

L'intervalle de probabilite pourTn1a 1est :

tn1;1(=2)Denition

L'intervalle de conance poura 1est :

bn(obs)tn1;1(=2)S n(obs)pn1< Remarques

1Pour obtenir le quantile d'une loi de Student, sousR, vous tapez la

ligne de commande suivante : >qt(0.975,n-1)

ou la quantiten1 est remplacee par la valeur adequate.2Le theoreme de la limite centree a pour consequence que les

intervalles precedents sont valables pour estimerd'une loi

quelconque lorsque la taillende l'echantillon est assez grande.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 18 / 50

Exemple : L'airbag, d'apres l'examen de fevrier 2014

L'airbag (ou coussin gon

able) est un systeme de securite de plus en plus souvent installe dans les automobiles. Son gon ement est assure par un dispositif pyrotechnique dont les caracteristiques sont la moyenne et l'ecart-type du delai entre la mise a feu et l'explosion. Lors de l'etude d'un certain dispositif d'allumage, les resultats des mesures qui proviennent d'une loi normale, eectues sur 30 exemplaires, ont ete (en millisecondes) les suivants :

28,0 28,0 31,0 31,0 32 33,0 32,5 29,0 30,5 31,0

28,5 27,5 32,0 29,5 28 26,0 30,0 31,0 32,5 33,0

27,5 29,0 30,0 28,5 27 25,0 31,5 33,0 34,5 29,0

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 19 / 50 L'airbag, d'apres l'examen de fevrier 2014 : suite Calculer l'intervalle de conance a 95% de la moyenne du delai si nous connaissons l'ecart-type de la population de reference et qu'il est egal a 2. Nous commencons par donner une estimation ponctuelle de la moyenne du delai:

30,28.5,27,25,31.5,33,34.5,29)

>mean(gonflable) [1] 29.96667 Maintenant appliquons la formule du cours, a savoir celle qui donne un intervalle de conance pour une moyennelorsque la variance2est connue (ici elle vaut 4). Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 20 / 50 L'airbag, d'apres l'examen de fevrier 2014 : suite Pour cela, il faut verier au prealable que les donnees suivent une loi normale. Realisons donc un test de normalite de Shapiro-Wilk. >shapiro.test(gonflable)

Shapiro-Wilk normality test

data: gonflable

W = 0.9796, p-value = 0.8149

La p-valeur (0,8149) du test de Shapiro-Wilk etant strictement superieure a= 5%, le test n'est pas signicatif. Vous conservez donc l'hypothese nulleH0du test de Shapiro-Wilk. Le risque d'erreur associe a cette decision est un risque de deuxieme espece. Vous ne pouvez pas l'evaluer dans le cas d'un test de Shapiro-Wilk. Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 21 / 50 L'airbag, d'apres l'examen de fevrier 2014 : suite Maintenant nous pouvons calculer avecRl'intervalle de conance cherche (nous rappelons que nous connaissons la variance2de la population). >mean(gonflable)-qnorm(0.975)*2/sqrt(30) [1] 29.25099 >mean(gonflable)+qnorm(0.975)*2/sqrt(30) [1] 30.68234 L'intervalle de conance a 95% de la moyenne du delai, en millisecondes, est egal a : ]29;25099;30;68234[:Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 22 / 50

Exemple : Les plantes marines

Un biologiste etudie un type d'algue qui attaque les plantes marines. La toxine contenue dans cette algue est obtenue sous forme d'une solution organique. Il mesure la quantite de toxine par gramme de solution. Il a obtenu les neuf mesures suivantes, exprimees en milligrammes :

1;2;0;8;0;6;1;1;1;2;0;9;1;5;0;9;1;0:

Nous supposons que ces mesures sont les realisations de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees suivant une loi normale d'esperanceet d'ecart-type.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 23 / 50

Les plantes marines : suite

Donnons une estimation ponctuelle de la moyenne de la quantite de toxine par gramme de solution : b9(obs) =19

1;2 + 0;8 + 0;6 + 1;1 + 1;2 + 0;9 + 1;5

+0;9 + 1;0 = 1;022222mg:Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 24 / 50

Les plantes marines : suite

Donnons une estimation ponctuelle de la variance de la quantite de toxine : S

29;c(obs) = (0;2635231mg)2:Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 25 / 50

Les plantes marines : suite

Determinons un intervalle de conance a 95% pour la moyenne de la quantite de toxine par gramme de solution. La moyenneet la variance etant inconnues, l'intervalle de conance a 95% pour la moyenne s'obtient avec la formule suivante : b9(obs)t8;0;975S9;c(obs)p9 < 0;820mg< <1;225mg out8;0;975= 2;3060 est le quantile d'ordre 0;975 pour la loi de Student a huit degres de libertet(8).Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 26 / 50

Les plantes marines : n

Les commandes sousRqui donnent les resultats ci-dessus sont les suivantes : > toxine<-c(1.2,0.8,0.6,1.1,1.2,0.9,1.5,0.9,1) > mean(toxine) [1] 1.022222 > sd(toxine) [1] 0.263523 > mean(toxine)-qt(0.975,8)*sd(toxine)/sqrt(9) [1] 0.8196604 > mean(toxine)+qt(0.975,8)*sd(toxine)/sqrt(9) [1] 1.224784 Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 27 / 50

Sommaire

1Introduction

2Principe

3Intervalle de conance

4Estimation de la moyenned'une variable gaussienne5Estimation de la variance2d'une variable gaussienne6Estimation d'une proportion

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 28 / 50

Nous utilisons le fait que

1c 2n=1n n X i=1(Xi)2est le meilleur estimateur de la variance2 lorsque la moyenneest connue,2n c2n

2suit une loi du Khi-deux andegres de liberte comme la somme

dencarres de loiN(0;1) independantes.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 29 / 50

Denition

k

1et k2sont les bornes de l'intervalle de probabilite pournc2n

2si : P k

1 2quantile d'ordre 1=2 pour la loi du Khi-deux andegres de liberte.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 30 / 50

Denition

L'intervalle de conance pour2a1est egal a :

n c2n(x1;:::;xn)k

2< 2

1Remarque

Par exemple, nous pouvons prendre la bornek1egale au quantile d'ordre =2 pour la loi du Khi-deux andegres de liberte et la bornek2egale au

quantile d'ordre 1=2 pour la loi du Khi-deux andegres de liberte.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 31 / 50

Nous utilisons le fait que

1S 2n=1n n X i=1(Xibn)2,2nS 2n

2suit une loi du Khi-deux a (n1) degres de liberte comme la

somme de (n1) carres de loiN(0;1) independantes.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 32 / 50

Denition

l

1et l2sont les bornes de l'intervalle de probabilite pournS2n

2si : P l

1 2L'intervalle de conance pour2a1est egal a :

nS

2n(x1;:::;xn)l

2< 2 1; ou l

1et l2sont les quantiles respectivement a=2et a1(=2)du loi du

Khi-deux a(n1)degres de liberte.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 33 / 50quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14