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DERNIÈRE IMPRESSION LE21 mai 2018 à 23:50

Correction : suite de Fibonacci

1 Historique

Pour l"arbre suivant permet de trouver le nombre de couples de lapin sur 6 mois. Le point rempli à gauche correspond au couple parents et celui de droite (évidé) au couple enfant qui ne peut engendrer qu"après deux mois. u0=1 u1=1 u2=2 u3=3 u4=5 u5=8 u6=13

2 Suite de Fibonacci (1175-1240)

On a :un+2=un+1+unavecu0=1u1=1

On obtient :u2=2,u3=3,u4=5,u5=8 etu6=13

On constate que les premiers termes correspondent aux résultats trouvés avec un arbre.

Pour établir cette relation de récurrence :

•A l"étapen:uncouples de lapins •A l"étapen+1 :un+1couples de lapins dontunparents et(un-1-un) enfants •A l"étapen+2 : lesunparents qui ont pu se reproduire (2un) et les(un-1- u n)enfants u n+2=2un+ (un+1-un) =un+un+1 On peut proposer l"algorithme suivant pour connaître la populationde couples de lapins au bout d"un an, soit pourn=12

PAUL MILAN1PREMIÈRE S

On trouve alors les résultats suivants :

n122436 un23375 02524 157 817

On trouve donc 233 couples de lapins

au bout d"un an, et 75 025 et 24 157 817 respectivement au bout de 2 et 3 ans.

Variables :N, entier etU,V,W

réels

Entrées et initialisation

LireN

1→U

1→V

Traitement

pourIde 2 àNfaire

U+V→W

V→U

W→Vfin

Sorties :AfficherV

3 Suites auxiliaires

Si la suite(an)est géométrique alors :?n?N,an+1=q an

On a alors :an+1=q an

αun+2+un+1=q(αun+1+un)

α(un+1+un) +un+1=qαun+1+qun

(α+1-qα)un+1+ (α-q)un=0 Pour que cette égalité soit vrai?n?N, il faut que : ?α-q=0

α+1-qα=0??q=α

α+1-α2=0??q=α

2-α-1=0

On cherche les racines de la deuxième équation :Δ=1+4=5

On obtient deux solutions :α1=1+⎷

5

2etα2=1-⎷

5 2 Les suite(vn)etwn)sont donc géométriqus de raisons respectivesα1etα2et de premiers termesv0=α1+1=α21etw0=α2+1=α22 On obtient alors :vn=v0qn=α21×αn1=αn+21etwn=w0qn=α22×αn2=αn+22

4 Conclusion

Calculons d"abord :α1-α2=1+⎷

5

2-1-⎷

5

2=⎷5

v n-wn

5un+1⎷5=un+1

En mettant cette formule à l"ordre inférieur, on obtient : u n=vn-1-wn-1

1+⎷

5 2? n+1

1-⎷

5 2? n+1?? On peut tester cette formule à l"aide du programme suivant :

PAUL MILAN2PREMIÈRE S

4. CONCLUSION

On trouve alors les résultats suivants :

n261224 un21323375 025

On retrouve bien les résultats trouvés

Variables :N, entier etA,B,Uréels

Entrées et initialisation

LireN

1+⎷

5

2→A

1-⎷

5

2→B

Traitement

1⎷5?AN+1-BN+1?→U

Sorties :AfficherU

PAUL MILAN3PREMIÈRE S

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