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suite de Fibonacci ? Appelons un le nombre de couples de lapins que nous avons au mois n Au début, nous n'avons aucun lapin et nous dirons que u0 = 0

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Exercice 1 (Nombre d'or et Reproduction de lapins) 1 On s'intéresse à l'équation x2 − x − 1=0 a Montrer que cette équation possède une unique solution 

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Mettre en place une recherche mathématique `a partir d'un probl`eme historique : celui de la reproduction des lapins chez Fi- bonacci Connaissances Notions d' 

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Cette suite a été introduite par Léonard de Pise (surnommé Fibonacci), qui a vécu Soit Fn = An+Jn le nombre total de lapins `a la n-i`eme génération On voit La Figure 5 montre une solution possible de ce probl`eme (il y en a d' autres)

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Fibonacci est une suite de nombres entiers où chaque terme est la somme des deux Un couple de lapins donne naissance à un autre couple de lapins tous les mois 2 L'équation caractéristique possède une solution double notée r

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg -

www.maths-et-tiques.fr

LA SUITE DE FIBONACCI

TP info sur tableur

Objectif :

Sur fond d'un problème historique, le T.P. aborde simplement quelques manipulations élémentaires du tableur.

Exposé du problème

Mathématicien italien né à Pise, Léonardo Bonacci, dit Fibonacci a vécu à l'époque de la construction de la

célèbre tour penchée.

Dans son Liber abaci, datant de 1202, il décrit un problème exprimant la reproduction des lapins et menant à

la suite dite de Fibonacci :

" Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un couple,

chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence ? »

En janvier : 1 couple

En février : 1 couple

En mars : 1 + 1 = 2 couples

En avril : 1 + 2 = 3 couples

En mai : 2 + 3 = 5 couples

En juin : 3 + 5 = 8 couples

En juillet : 5 + 8 = 13 couples

...etc... Les réponses constituent les nombres de la suite de Fibonacci :

1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 ...,

Combien de couples de lapins peut-on compter en août ? Comment peut-on calculer un nombre quelconque de la suite connaissant les deux précédents ?

Ouvrir le fichier du tableur " Fibonacci » et réenregistrer-le en suivant les consignes du professeur.

1

ère

partie : Calculs des nombres de la suite de Fibonacci Compléter le tableau rose par les 75 premiers nombres de la suite de Fibonacci.

Donner la solution au problème de Fibonacci.

Combien obtiendrons-nous de couples de lapins après 5 ans ? Commenter l'affichage dans les cellules C76 et C77. Combien de chiffres possèdent les deux nombres affichés ? 2

ème

partie : Rapports de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci

Le tableau bleu doit présenter les rapports d'un terme de la suite de Fibonacci par son précédent.

La cellule E4, par exemple, comprend le rapport du 2

ème

terme par le 1 er terme.

1) Compléter le tableau bleu.

Sur un ordinateur, le symbole de division est " / ».

2) Par défaut, l'affichage des nombres ne comprend que deux décimales. Imposer à la colonne E un affichage

avec 13 décimales. Pour des nombres de plus en plus grands de la suite de Fibonacci, les rapports calculés semblent se rapprocher d'un nombre. Quel est ce nombre (arrondi au millième) ?

T1 T2

T3

Yvan Monka - Académie de Strasbourg -

www.maths-et-tiques.fr 3

ème

partie : Prolongement

Ouvrir le navigateur Internet.

À l'aide d'un moteur de recherche, retrouver :

- le nom du nombre découvert dans la partie précédente, - la valeur exacte de ce nombre (écriture à l'aide d'une expression contenant une racine carrée), - quelques anecdotes autour de ce nombre. Il faudra choisir astucieusement les mots clés.

AIDES TABLEUR

T1 - Dans les cellules C3 et C4, entrer les 2 premiers nombres de la suite. - Chaque terme est la somme des deux précédents. Ainsi la cellule C5 est la somme du nombre inscrit dans la cellule C3 et de celui inscrit dans cellule C4. Cliquer sur la cellule C5 et entrer la formule =C3+C4 T2 Pour copier rapidement la formule dans les autres cellules de la colonne C : - Sélectionner la cellule C5. - Cliquer sans lâcher sur le petit carré noir en bas à droite de la cellule sélectionnée et faire glisser le curseur de façon à recouvrir les cellules en dessous. T3 - Sélectionner les cellules E4 à E77. - Cliquer " Format » puis " Cellule... ». - Cliquer sur l'onglet " Nombres » et faire la modification à " Décimales ».

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