σ2 est inconnue, mais on estime σ2 par la variance corrigée s⋆2 = 38, 67 Chapitre 2 2012–2013 Page 20 Deux exemples pour commencer
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Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionChapitre 2
Introductional'estimation
Universite de Paris Ouest2012{2013
Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionSommaire 1De uxex emplesp ourc ommencer
2Es timation
3V ariancec orrigee: p ourquoin1?4C onclusion
Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 1 : Taille des Francais
IPopulationP=fAdultes francaisg
ITailleN= 45000000
IVariable :X= "Taille en cm",quantitativeI
Modalites : intervalle [0cm;300cm]
I2 parametres := moyenne,2= variance.On cherche a conna^treet2.
Probleme :Nest trop grand!Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 1 : Taille des Francais
IPopulationP=fAdultes francaisg
ITailleN= 45000000
IVariable :X= "Taille en cm",quantitativeI
Modalites : intervalle [0cm;300cm]
I2 parametres := moyenne,2= variance.On cherche a conna^treet2.
Probleme :Nest trop grand!Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 1 : Taille des Francais
Dans cet echantillon,moyenne=174 + 164 + 178 + 1684 = 171.Onextrapoleces donnees a la population entiere :
On ne conna^t pas, mais on peut penser queest proche de171.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 1 : Taille des Francais
Dans cet echantillon,moyenne=174 + 164 + 178 + 1684 = 171.Onextrapoleces donnees a la population entiere :
On ne conna^t pas, mais on peut penser queest proche de171.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 2 : Sondage pour un referendum
IPopulationP=fAdultes francaisg
ITailleN= 45000000
IVariable :X= "reponse au referendum",qualitativeI
Modalites : oui/non
I1 parametrep= proportion de "oui".On cherche a conna^trep.
Probleme :Nest trop grand!Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 2 : Sondage pour un referendum
IPopulationP=fAdultes francaisg
ITailleN= 45000000
IVariable :X= "reponse au referendum",qualitativeI
Modalites : oui/non
I1 parametrep= proportion de "oui".On cherche a conna^trep.
Probleme :Nest trop grand!Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 2 : Sondage pour un referendum
Acces uniquement a unechantillonde taille 1000 :
I On appelle 1000 adultes au telephone, 540 disent voter "oui".Onextrapoleces donnees a la population entiere :
On ne conna^t pas p, mais on peut penser que p est proche de0;54.Chapitre 22012{2013 Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionSommaire 1De uxex emplesp ourc ommencer
2Es timation
Principe de l'estimation
Estimation pour une variable quantitative
Estimation pour une variable qualitative
3V ariancec orrigee: p ourquoin1?4C onclusion
Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionStatistiques descriptives vs Statistiques inferentielles
Denition (Larousse)
L'inference statistiqueconsiste a induire les caracteristiques inconnues d'une population a partir d'un echantillon.Stat. descriptives (L1)Stat. inferentielles (L2) I petite population I toutes les donnees I on calcule les parametresI tres grande population I donnees d'un echantillon I onextrapolea partir de l'echantillonChapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionStatistiques descriptives vs Statistiques inferentielles
Denition (Larousse)
L'inference statistiqueconsiste a induire les caracteristiques inconnues d'une population a partir d'un echantillon.Stat. descriptives (L1)Stat. inferentielles (L2) I petite population I toutes les donnees I on calcule les parametresI tres grande population I donnees d'un echantillon I onextrapolea partir de l'echantillonChapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation depour une variable quantitative
Variable quantitativeX, 2 parametres;2.Echantillon de taillen, observationsx1;x2;:::;xn.Denition L'estimation ponctuellede la moyenneest donnee par lamoyenne observeedans l'echantillon x=x1+x2++xnn :Attention :est inconnue, seule xest observee!Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionRetour sur l'Exemple 1 : estimation de la moyenne
IPopulationP=fFrancaisg
ITailleN= 45000000
I = moyenneIEchantillon tire au sort
ITaillen= 4
I x=moyenne observee= 171. est inconnue, mais onestimepar lamoyenne observeex= 171.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation de2pour une variable quantitative
Variable quantitativeX, 2 parametres;2, observationsx1;x2;:::;xn.On notes2lavariance observee:
s2=x21+x22++x2nn
x2:Denition L'estimation ponctuelle de la variance2est donnee par la variance corrigee d ansl 'echantillon s ?2=nn1s2:Attention :2est inconnue, seules2ets?2sont observees!Denition bis L'estimation ponctuelle de l'ecart-typeest donnee par l'ecart-type corriges?=ps ?2.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation de2pour une variable quantitative
Variable quantitativeX, 2 parametres;2, observationsx1;x2;:::;xn.On notes2lavariance observee:
s2=x21+x22++x2nn
x2:Denition L'estimation ponctuelle de la variance2est donnee par la variance corrigee d ansl 'echantillon s ?2=nn1s2:Attention :2est inconnue, seules2ets?2sont observees!Denition bis L'estimation ponctuelle de l'ecart-typeest donnee par l'ecart-type corriges?=ps ?2.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation de2pour une variable quantitative
Variable quantitativeX, 2 parametres;2, observationsx1;x2;:::;xn.On notes2lavariance observee:
s2=x21+x22++x2nn
x2:Denition L'estimation ponctuelle de la variance2est donnee par la variance corrigee d ansl 'echantillon s ?2=nn1s2:Attention :2est inconnue, seules2ets?2sont observees!Denition bis L'estimation ponctuelle de l'ecart-typeest donnee par l'ecart-type corriges?=ps ?2.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionRetour sur l'Exemple 1 : estimation de la variance
IPopulationP=fFrancaisg
ITailleN= 45000000
I2= varianceI
Echantillon tire au sort
ITaillen= 4
I s2=variance observeeI s?2=variancec orrigeeDans l'echantillon, variance observees2=1742+ 1642+ 1782+ 168241712= 29;variancec orrigees?2=
nn1s2=43 29:2est inconnue, mais onestime2par
lavariance corrigees?2= 38;67.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionRetour sur l'Exemple 1 : estimation de la variance
IPopulationP=fFrancaisg
ITailleN= 45000000
I2= varianceI
Echantillon tire au sort
ITaillen= 4
I s2=variance observeeI s?2=variancec orrigeeDans l'echantillon, variance observees2=1742+ 1642+ 1782+ 168241712= 29;variancec orrigees?2=
nn1s2=43 29:2est inconnue, mais onestime2par
lavariance corrigees?2= 38;67.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation deppour une variable qualitative
Variable qualitativeXa 2 modalites,
Un parametrep= eectif de la 1ere modalite.Echantillon de taillen, n1= eectif de la 1ere modalitedans l'echantillon.Denition
L'estimation ponctuellede la proportionpest donnee par lafrequence observeefde la premiere modalite dans l'echantillon : f=n1n :Attention :pest inconnue, seulefest observee!Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation deppour une variable qualitative
Variable qualitativeXa 2 modalites,
Un parametrep= eectif de la 1ere modalite.Echantillon de taillen, n1= eectif de la 1ere modalitedans l'echantillon.Denition
L'estimation ponctuellede la proportionpest donnee par lafrequence observeefde la premiere modalite dans l'echantillon : f=n1n :Attention :pest inconnue, seulefest observee!Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionRetour sur l'Exemple 2
IPopulationP=fFrancaisg
ITailleN= 45000000
I p= proportion de "oui".IEchantillon tire au sort
ITaillen= 1000
I f=frequence observeede "oui". p est inconnue, mais onestimep par lafrequence observeef= 0;54.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionUne notation pratique :
P x i= la variable dui-eme individu : x1= 174;x2= 164;x3= 178;x4= 168
On note alors
Xx i=x1+x2+x3+x4= 174 + 164 + 178 + 168: (se lit "somme des x i")On peut aussi noterXx2i=x21+x22+x23+x24= 1742+ 1642+ 1782+ 1682:
(se lit "somme des x iau carre")Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionUne notation pratique :
P x i= la variable dui-eme individu : x1= 174;x2= 164;x3= 178;x4= 168
On note alors
Xx i=x1+x2+x3+x4= 174 + 164 + 178 + 168: (se lit "somme des x i")On peut aussi noterXx2i=x21+x22+x23+x24= 1742+ 1642+ 1782+ 1682:
(se lit "somme des x iau carre")Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionUn exemple d'exercice avec
P La sante des enfants prematures est mesuree 5 minutes apres la naissance par lescore d'Apgar(une note entre 0 et 10). Sur 60 nourrissons on recueille des scoresx1;:::;x60tels quequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40