[PDF] [PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

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1 ) LA FONCTION INVERSE A ) D É FINITION et VARIATIONS Soit deux réels a et b de l'ensemble de définition de la fonction inverse g : x 1 x tels que a b

[PDF] 115 1) La fonction réciproque sobtient en résolvant léquation f(x)=2

√y − 3 Comme les fonctions réciproques rf1 et rf2 admettent pour ensemble de dé- finition [3 ; +∞[, la fonction f doit avoir 

[PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

π 2 ] On définit alors son inverse, arcsin:[ −1, 1] [− π 2 , π 2 ], x arcsin(x) Il faut retenir que: 1 le domaine de définition de la fonction arcsinus est [ − 1, 1]

[PDF] I Fonctions et domaines de définition II Limites - Normale Sup

La continuité signifie que sur chaque intervalle de l'ensemble de définition, '« on Rq : f(x, y, z) représente l'inverse de la distance du point (x, y, z) à l'origine

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5 13 3 Réciproque de la fonction cosinus : la fonction arc cosinus 89 finition axiomatique de l'en- semble des permettait de contenir l'ensemble des solutions de ce type d'équation, et il fut noté Q par Giuseppe composent, et inversement, à partir de fonctions simples essayer de construire des fonctions

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finition axiomatique de l'en- semble des permettait de contenir l'ensemble des solutions de ce type d'équation, et il fut noté Q par 1 et x de la fonction inverse) (mais nous n'avons pas encore abordé la notion de primitive ni celle de 

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finitions des fonctions usuelles (cos, sin, tan, exp, ln, arcos, arcsin, arctan, un ensemble Bf , nommé le co-domaine, ou ensemble cible de f, - une r`egle 

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A L'ensemble des réels La fonction inverse x appartient à l'intervalle [ ; [ a + ∞ signifie que a x ≤ Dé finition Pro p rié té Remarque Dé finition 

[PDF] NOTIONS DE LIMITES Nous allons dans ce chapitre reprendre ce

se "rapprocher" de a tout en restant dans le domaine de définition Df de la fonction Ainsi, si /(x) = lnx bien une fonction de ε et que cete fonction tend vers 0 avec ε produit et celles sur l'inverse éterminer le domaine de dé finition Df de /

[PDF] Mathématiques pour la Physique - Université Grenoble Alpes

l'ensemble des po- lynômes, ou l'ensemble des fonctions définies sur [0, 1] ont une Nous avons, lors de cette résolution, inversé l'ordre des opé- rations de dérivation et finition pour calculer effectivement une intégrale Mais une courbe

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2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)Les fonctions trigonométriquesx

?sin(x),x?cos(x),x?tan(x)n"étant pas monotones surR(la fonctionx ?tan(x)n"est même pas définie surRtout entier), pour construire des fonctions inverses (on dit aussi fonctions réciproques) aux fonctions trigonométriques, on est obligé de se restreindre à des intervalles de monotonie de ces fonctions (on prend en général des intervalles de monotonie maximaux).

I.La fonction arcsin:la fonctionx

?sin(x)est monotone (strictement croissante) sur l"intervalle[-π

2,π

2].

On définit alors son inverse, arcsin:[-1,1]

2,π

2],x?arcsin(x).

Il faut retenir que:

1. ledomaine de définitionde la fonction arcsinus est[-1,1]

2.y=arcsin(x)

sin(y)=xet-π 2 ?y?π 2 Les graphes de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. En utilisant les règles de dérivation de fonctions composées, on montre que la fonctionx ?arcsin(x)est dérivable sur]-1,1[et que arcsin(x))?=1

1-x2⎷

II.La fonction arccos:la fonctionx

?cos(x)est monotone (strictement décroissante) sur l"intervalle [0,π]. On définit son inverse, arccos:[-1,1] ?[0,π],x?arccos(x).

Il faut retenir que:

1. ledomaine de définitionde la fonction arccos est[-1,1]

2.y=arccos(x)

?(cos(y)=xet0?y?π)

2.5 Techniques d"intégration29

Les graphes de ces deux fonctions se déduisent l"un de l"autre par symé- trie orthogonale par rapport à la droite d"équationy=x. En utilisant les règles de dérivation de fonctions composées, on montre que la fonctionx ?arccos(x)est dérivable sur]-1,1[et que arccos(x))?=-1

1-x2⎷

Remarque:En utilisant les définitions des fonctionsarcsin,arccoset les formules trigonométriques usuelles, on montre: ?x?[-1,1],arcsin(x)+arccos(x)=π 2

En effet, pourx?[-1,1], posonsy=arcsin(x).

Nous avons-π

2 ?y?π

2et sin(y)=x. Or on a sin(y)=cos(π

2-y).

Comme0?π

2 -y?π, on obtient arcsin(x)+arccos(x)=y+arcos(cos(π 2 -y))=π 2.

III.La fonction arctan:la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur l"intervalle]-π

2 2[.

L"image de l"intervalle]-π

2

2[par la fonctionx?tan(x)estRtout

entier. La fonction inverse (ou encore réciproque) déduiteest la fonction arctan:R

2,π

2[. Ce qu"il faut retenir:

1. Ledomaine de définitionde arctan estR

2.y=arctan(x)

tan(y)=xet-π 2 < y <π 2 arctanest dérivable surRet on aarctan(x)?=1 1+x2. IV.Complément à la liste des primitives des fonctions usuelles: λdésignant une constante réelle quelconque, nous avons: 1.? 1

1-x2⎷

dx=arcsin(x)+λ 2.? 1

1+x2dx=arctan(x)+λ

30Intégration: fonction réelle d"une variable réelle.

2.6 Intégrales impropres - Définitions et exemplesUne généralisation de la notion d"intégrale définie.2.6.1 Intégrales (impropres) sur un intervalle non bornéDéfinition 2.30.Soienta?R,f:[a,+∞[

?R. On suppose que pour toutb?a,fest intégrable sur l"intervalle fermé borné [a,b].

On pose alors par définition?

a+∞ f(x)dx=lim b ab f(x)dx. L"expression a+∞ f(x)dxest appelée intégrale impropre defsur? a,+∞? Silim b ab f(x)dxexiste et est un nombre réel, alors l"intégrale impropre a+∞ f(x)dxest dite convergente. Silim b ab f(x)dxn"existe pas ou est infinie, alors? a+∞ f(x)dxest dite divergente Note:Nous n"allons pas aborder ici les théorèmes généraux de convergence des intégrales impropres, mais plutôt considérer des cas simples où on sait calculer? ab f(x)dx. Le passage à la limite lorsquebtend vers+∞(ou lorsqueatend vers - ∞comme ci-dessous) nous permettra de décider de la convergence de l"intégrale impropre considérée.

Exemple 2.31.

1.f:?

1,+∞?

?R,f(x)=1 x 2.

Pourb??

1,+∞?

, on afcontinue sur[1,b]et? 1b f(x)dx=? -1 x 1b =1-1 b

On en déduit lim

b ab f(x)dx=1, donc?

1+∞

f(x)dx=1.

2.f:??

1,+∞?

?R,f(x)=1 x.

On a, pourb?1,?

1b f(x)dx=? ln(x)? 1b =ln(b). Comme lim b ?+∞ln(b)=+∞, on en déduit que l"intégrale impropre

1+∞

f(x)dx diverge.

3. L"intégrale impropre?

0+∞

cos(x)dx diverge.

En effet

0b cos(x)dx=? sin(x)? 0b =sin(b)et lim b ?+∞sin(b)n"existe pas.2.6 Intégrales impropres - Définitions et exemples31quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40