Commençons par construire la représentation graphique de la fonction carré à partir d'un tableau de valeurs x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x² 16 9 4 1 0 1 4 9 16
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Fonction carré et fonctions associées
A. Fonction carré
La fonction carré est la fonction qui à tout réel x associe le réel x².1- Représentation graphique
Commençons par construire la représentation graphique de la fonction carré à partir d'un tableau de valeurs. x-4-3-2-101234 x²16941014916 On obtient la représentation graphique ci-contre, on appelle la courbe une parabole d'équation y = x².2- Parité
La représentation graphique de la fonction carré possède un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées. Le segment [MM'] joignant deux points de la courbe d'abscisses opposées est coupé perpendiculairement en son milieu par l'axe des ordonnées. Celui-ci est donc un axe de symétrie. Voyons comment cette propriété géométrique se traduit de façon algébrique. Pour tout réel x, l'image de x est x² et l'image de -x est (-x)² qui est aussi égal à x². Ainsi, pour tout réel x, x et -x ont la même image. a) DéfinitionUne fonction f est paire si pour tout réel x de son ensemble de définition, le nombre -x fait aussi
partie de l'ensemble de définition et f (-x) = f (x). La fonction carré est donc un exemple de fonction paire. b) Propriété La représentation graphique de toute fonction paire admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.3- Tableau de variations
La représentation graphique de la fonction carrée nous suggère le tableau de variations suivant :
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Notons que 0 est un minimum pour x², car un carré est toujours positif.4- Équation x² = a
Soit a un nombre réel.
Si a < 0, alors l'équation x² = a n'a pas de solutions car un carré est toujours positif. Si a = 0, alors l'équation x² = 0 a une solution unique qui est 0.B. Fonctions polynômes du second degré
1- Définition
On dit qu'une fonction f est un polynôme du second degré s'il existe trois réels a, b et c avec
a ≠ 0 tels que f (x) = ax² + bx + c.Exemples
a) La fonction carré est une fonction polynôme du second degré avec a = 1 et b = c = 0.b) La fonction f définie par f (x) = -x² + 2x - 3 est une fonction polynôme du second degré avec
a = -1, b = 2 et c = -3. c) La fonction g définie par g(x) = x22-4 est une fonction polynôme du second degré avec
a = 12, b = 0 et c = -4.
2- Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. On peut distinguer deux cas selon le signe du coefficient de x².Si a > 0
La parabole présente un minimum et ses deux branches sont tournées vers le haut.Si a < 0 La parabole présente un maximum et ses deux branches sont tournées vers le bas.KB 2 sur 3
x x² - ∞ + ∞ 0 03- Forme canonique
Si f est la fonction polynôme du second degré définie par f (x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0),
alors il existe deux réels et tels que f (x) = a(x - )² + .La forme f (x) = a(x - )² + est appelée la forme canonique de f . Elle permet de construire le
tableau de variations de f et de trouver son extremum.Propriété
Soit f la fonction polynôme du second degré dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² +
(avec a ≠ 0)Si a > 0, f a le tableau de variations suivant :
f a un minimum égal à et atteint pour x = .Si a < 0, f a le tableau de variations suivant :
f a un maximum égal à et atteint pour x = .Exemples
a) Soit f définie par f(x) = x² - 4x + 5. Montrer que f (x) = (x - 2)² + 1, en déduire l'extremum de f. (x - 2)² + 1 = x² - 4x + 4 + 1 = x² - 4x + 5 = f (x).La forme canonique de f est donc f (x) = (x - 2)² + 1, on en déduit que f possède un minimum
égal à 1 et atteint pour x = 2.
b) Soit g définie par g(x) = -2x² + 4x + 6. Montrer que g(x) = -2(x - 1)² + 8, en déduire l'extremum de f. -2(x - 1)² + 8 = -2(x² - 2x + 1) + 8 = -2x² + 4x - 2 + 8 = -2x² + 4x + 6 = g(x).La forme canonique de g est donc g(x) = -2(x - 1)² + 8, on en déduit que g possède un maximum