Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangente Il faut prendre garde au fait que l'expression Arcsin(sinθ) est définie pour tout θ ∈ R
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[PDF] Trigonométrie I Fonctions circulaires
1 cos2 x −1−cotan 2 x = −1 sin2 x 2 Valeurs remarquables +π/2 dont l' image par sinus vaut x (Arcsin est une fonction) On a donc les relations suivantes :
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La bijection réciproque de f est appelée « fonction arctangente » 1 Arctan : ; 2 2 Arctan On utilise une lecture inverse du tableau des valeurs remarquables
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On peut donner explicitement quelques valeurs remarquables : cos(0) = 1 ; cos 2, arctan ( 1 x) + arctan(x) = signe(x) π 2 arctan(x) + arctan(y) = arctan ( x + y
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Les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de 2 FONCTIONS ARCSINUS, ARCCOSINUS ET ARCTANGENTE cos Arcsin x = sin Arccos x = 1 − x2
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I 1 Valeurs particulières θ 0 π 6 π III 2 Les fonctions arccos, arcsin, arctan N B : Il faut Dérivée : la fonction arcsin est dérivable sur ] − 1,1[, et ∀x ∈] − 1
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2 arctan ( 1 3 ) Correction exercice 2 1 0
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Ensemble de définition et valeurs de cos(Arctan x) et sin(Arctan x) Ce qu'il y a de remarquable, c'est qu'à l'époque, le calcul infinitésimal (dérivée, tangente à
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arcsin(x) ] - 1; 1[ 1 / 1 - x2 arctan(x) R 1 1 + x2 Opération Dérivée f + g f + g f · g f · g + f · g sin(x) cos(x) Valeurs spéciales des fonctions trigonométriques
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Soit x ∈ R On pose t = Arctan (x) de sorte que x = tan(t) et −π 2
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Chapitre II
Fonctions circulaires et applications
r´eciproquesA Fonctions circulaires
A.1 Rappels de trigonom
´etrie?Les fonctions sinus, cosinus et tangenteLes fonctionscosinusetsinussont d´efinies surR, `a valeurs dans [-1,1], 2π-p´eriodiques et d´erivables surRavec pour toutx?R cos ?x=-sinxet sin?x= cosx. Par ailleurs, la fonction cosinus est paire et la fonc- tion sinus est impaire. On appellefonction tangentela fonction not´ee tan d´efinie surR\?π2 +πZ?par tanx=sinxcosx Il s"agit d"une fonction impaire,π-p´eriodique, in- finiment d´erivable surR\?π2 +πZ?et qui v´erifie pour toutx?? -π2 ,π2 tan ?(x) =1cos2x= 1 + tan2x.x
cosx sinx tanx28Chapitre II- Fonctions circulaires et applications r´eciproques?Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangentex0π
6π 4π 3π22π33π45π6π
sinx012⎷2
2⎷3
21⎷3
2⎷2
2120 cosx1⎷3
2⎷2
2120- 12- ⎷2 2- ⎷3
2-1tanx01⎷31⎷3-
⎷3-1-1⎷30
Beaucoup d"autres valeurs remarquables se retrouvent ais´ement `a partir de celles qui pr´ec`edent en
utilisant les relations entre sinus et cosinus.A.2 Variations de la fonction sinusPuisque la fonction sinus est 2π-p´eriodique et impaire, il suffit de connaˆıtre ses variations sur l"intervalle
[0,π] pour en d´eduire les variations surR.x0π2π sin?x= cosx1 + 0- -1 sinx1 0 0 0π 2π3π22π-π2-π-3π2-2π
-11 | | | |||||y= sinxA.3 Variations de la fonction cosinusLa fonction cosinus est 2π-p´eriodique et paire, il suffit donc de connaˆıtre ses variations sur l"intervalle
[0,π] pour en d´eduire les variations surR. x0π2π cos?x=-sinx0- -1-0 cosx 1 -1 0A- Fonctions circulaires290π
2π3π22π-π2-π-3π2-2π
-11 | | | |||||y= cosxA.4 Variations de la fonction tangenteLa fonction tangente estπ-p´eriodique et impaire donc il suffit donc de connaˆıtre ses variations sur
l"intervalle?0,π2 ?. Pour toutx??0,π2 ?, on a tan?x= 1 + tan2x >0 donc la fonction tangente est strictement croissante sur l"intervalle?0,π2 ?. Il faut prendre garde au fait que la fonction tangente n"est pas globalement croissante puisqu"il s"agit d"une fonction p´eriodique! x0π2 tan?x= 1 + tan2x1 + tanx+∞ 0 | | | ||||0π4π2π
3π2-π2-π-3π21y= tanx
30Chapitre II- Fonctions circulaires et applications r´eciproquesB Fonctions r
´eciproques des fonctions circulairesB.1 La fonction arcsinus ?D´efinitionLa fonction sinus est continue surRet strictement croissante sur l"intervalle?-π2 ,π2 ?, elle r´ealise doncune bijection de cet intervalle sur son image [-1,1] et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.1.1 D´efinition
On appellefonction arcsinus, et on note
Arcsin : [-1,1]→?
-π2 ,π2,x?→Arcsinx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction sinus `a l"intervalle
-π2 ,π2 .B.1.2 Remarques ?Pour toutx?[-1,1], Arcsinxest la mesure d"anglecompriseentre-π2 etπ2 dont le sinus vautx.?Pour toutx?[-1,1], on a sin?Arcsinx?=x.?Pour toutθ??-π2 ,π2 ?, on a Arcsin?sinθ?=θ.Il faut prendre garde au fait que l"expression Arcsin?sinθ?est d´efinie pour toutθ?Rmais ne vaut
exactementθque lorsqueθ??-π2 ,π2En effet, comme on l"a pr´ecis´e ci-dessus, Arcsin?sinθ?d´esigne la mesure d"angle entre-π2
etπ2 dont le sinus vaut sinθi.e.il s"agit de l"unique r´eelθ0??-π2 ,π2 ?tel qu"il existek?Zavecθ=θ0+2kπ.Par exemple, on a Arcsin?sin?17π8
??=π8´Etude des variations de la fonction arcsinusLes variations de la fonction arcsinus sur l"intervalle [-1,1] sont les mˆemes que celles de la fonction
sinus sur l"intervalle? -π2 ,π2 .x-1 0 1Arcsinx
2 -π2 00 1-1π
22y= Arcsinx
B- Fonctions r´eciproques des fonctions circulaires31B.1.3 Proposition
La fonction arcsinus est d´erivable sur ]-1,1[ et pour toutx?]-1,1[,Arcsin?(x) =1⎷1-x2.D´emonstrationEn effet, pour toutx?]-1,1[, on a
Arcsin
?(x) =1sin ?(Arcsinx)=1cos(Arcsinx).Mais Arcsinx??-π2 ,π2?et la fonction cosinus est positive sur cet intervalle donc cos(Arcsinx)?0.Par cons´equent, on peut ´ecrire
Arcsin
?(x) =1?cos2(Arcsinx)=1?1-sin2(Arcsinx)et la conclusion vient du fait que sin(Arcsinx) =x.B.1.4 Remarque
Le graphe de la fonction arcsinus ayant ´et´e obtenu par sym´etrie, on sait qu"il admet des tangentes
verticales pourx=-1 etx= 1 ainsi qu"une tangente de pente 1 pourx= 0. On retrouve cela avec la d´eriv´ee de Arcsin puisqueArcsin
?(0) = 1,limx→-1+1⎷1-x2= +∞et limx→1-1⎷1-x2= +∞.B.2 La fonction arccosinus
?D´efinitionLa fonction cosinus est continue surRet strictement d´ecroissante sur l"intervalle [0,π], elle r´ealise donc
une bijection de cet intervalle sur son image [-1,1] et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.2.1 D´efinition
On appellefonction arccosinus, et on note
Arccos : [-1,1]→[0,π],x?→Arccosx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction cosinus `a l"intervalle [0,π].B.2.2 Remarques
?Pour toutx?[-1,1], Arccosxest la mesure d"anglecompriseentre 0 etπdont le cosinus vautx.?Pour toutx?[-1,1], on a cos?Arccosx?=x.
32Chapitre II- Fonctions circulaires et applications r´eciproques?Pour toutθ?[0,π], on a Arccos?cosθ?=θ.
Il faut prendre garde au fait que l"expression Arccos?cosθ?est d´efinie pour toutθ?Rmais ne vaut
exactementθque lorsqueθ?[0,π].En effet, comme on l"a pr´ecis´e ci-dessus, Arccos?cosθ?d´esigne la mesure d"angle entre 0 etπdont
le cosinus vaut cosθi.e.il s"agit de l"unique r´eelθ0?[0,π] tel qu"il existek?Zavecθ=θ0+ 2kπ.
Par exemple, on a Arccos?cos?12π5
??=2π5´Etude des variations de la fonction arccosinusLes variations de la fonction arccosinus sur l"intervalle [-1,1] sont les mˆemes que celles de la fonction
cosinus sur l"intervalle [0,π].x-1 0 1Arccosx
2 -π2 00 1-1π
2πy= ArccosxB.2.3 Proposition
La fonction arccosinus est d´erivable sur ]-1,1[ et pour toutx?]-1,1[,Arccos?(x) =-1⎷1-x2.D´emonstrationEn effet, pour toutx?]-1,1[, on a
Arccos
?(x) =1cos?(Arccosx)=1-sin(Arccosx).Mais Arccosx?[0,π] et la fonction sinus est positive sur cet intervalle donc sin(Arccosx)?0. Parcons´equent, on peut ´ecrire
Arccos
?(x) =-1?sin2(Arccosx)=-1?1-cos2(Arccosx)et la conclusion vient du fait que cos(Arccosx) =x.
B- Fonctions r´eciproques des fonctions circulaires33B.2.4 Remarque
Le graphe de la fonction arccosinus ayant ´et´e obtenu par sym´etrie, on sait qu"il admet des tangentes
verticales pourx=-1 etx= 1 ainsi qu"une tangente de pente-1 pourx= 0. On retrouve cela avec la d´eriv´ee de Arccos puisqueArccos
?(0) =-1,limx→-1+-1⎷1-x2=-∞et limx→1--1⎷1-x2=-∞.B.3 La fonction arctangente
?D´efinitionLa fonction tangente est continue et strictement croissante sur ?-π2 ,π2 ?, elle r´ealise donc une bijectionde cet intervalle sur son imageRet on peut d´efinir son application r´eciproque.B.3.1 D´efinition
On appellefonction arctangente, et on note
Arctan :R→?
-π2 ,π2,x?→Arctanx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction tangente `a l"intervalle
-π2 ,π2 .B.3.2 Remarques ?Pour toutx?R, Arctanxd´esigne donc la mesure d"anglecompriseentre-π2 etπ2 dont la tangente vautx.?Pour toutx?R, on a tan?Arctanx?=x.?Pour toutθ??-π2 ,π2 ?, on a Arctan?tanθ?=θ.Il faut prendre garde au fait que l"expression Arctan?tanθ?est d´efinie pour toutθ?Rmais ne vaut
exactementθque lorsqueθ??-π2 ,π2En effet, comme on l"a pr´ecis´e ci-dessus, Arctan?tanθ?=θd´esigne la mesure d"angle entre-π2
et π2 dont la tangente vaut tanθi.e.il s"agit de l"unique r´eelθ0??-π2 ,π2 ?tel qu"il existek?Zavec θ=θ0+ 2kπ. Par exemple, on a Arctan?tan?15π7 ??=π7´Etude des variations de la fonction arctangenteLes variations de la fonction arctangente surRsont les mˆemes que celles de la fonction tangente sur
l"intervalle?-π2 ,π2 ?.x-∞0 +∞Arctanx
2 -π2 034Chapitre II- Fonctions circulaires et applications r´eciproques-π20π
2y= ArctanxB.3.3 Proposition
La fonction arctangente est d´erivable surRet
pour toutx?R,Arctan?(x) =11 +x2.D´emonstrationPour toutx?R, on a
Arctan
?(x) =1tan ?(Arctanx)=11 + tan2(Arctanx)=11 +x2.B.3.4 Remarque
Le graphe de la fonction arctangente ayant ´et´e obtenu par sym´etrie, on sait qu"il admet une tangente
de pente 1 pourx= 0. On retrouve cela avec la d´eriv´ee de Arctan puisque Arctan ?(0) = 1.B.4 Deux relations remarquables entre les fonctions trigonom´etriquesAu vu de l"analogie entre les graphes des fonctions arcsinus et arccosinus, il est naturel de se demander
s"il n"existe pas un lien entre ces deux fonctions. Ce lien tr`es simple est donn´e par le r´esultat suivant :B.4.1 Proposition
Pour toutx?[-1,1], on a : Arcsin(x) + Arccos(x) =π2 .D´emonstrationOn propose deux d´emonstrations.
?Pour toutx?[-1,1], on posef(x) = Arcsin(x) + Arccos(x). Comme les fonctions arcsinus etarccosinus sont toutes deux d´erivables sur ]-1,1[, la fonctionfest elle-aussi d´erivable sur ]-1,1[
B- Fonctions r´eciproques des fonctions circulaires35 et on a f?(x) = Arcsin?(x) + Arccos?(x) =1⎷1-x2+-1⎷1-x2= 0.Il s"ensuit que la fonctionfest constante sur ]-1,1[. On af(0) = Arcsin(0)+Arccos(0) = 0+π2
=π2doncf(x) =π2pour toutx?]-1,1[.Enfin, les fonctions arcsinus et arccosinus sont toutes deux continues `a droite en-1 doncfestaussi continue `a droite en-1i.e.f(-1) = limx→-1+f(x) =π2
. De mˆeme, les fonctions arcsinus etarccosinus sont toutes deux continues `a gauche en 1 doncfest aussi continue `a gauche en 1i.e.f(1) = limx→1-f(x) =π2
. On a donc bienf(x) =π2 pour toutx?[-1,1].?Soitx?[-1,1], on noteα= Arcsin(x) etβ= Arccos(x), alors sinα= sin?Arcsin(x)?=xcosβ= cos?Arccos(x)?=xOn a donc sinα= cosβd"o`u (c"est une formule de trigonom´etrie classique) sinα= sin?π2
-β?.La fonction arcsinus est `a valeurs dans ?-π2 ,π2 ?doncα??-π2 ,π2 ?. La fonction arccosinus est `avaleurs dans [0,π] doncβ?[0,π], d"o`uπ2 -β??-π2 ,π2 ?.Ainsi, on a sinα= sin?π2 -β?alors queαetπ2 -βsont dans l"intervalle?-π2 ,π2 ?sur lequel lafonction sinus est bijective. Par cons´equentα=π2 -βi.e.α+β=π2 .Voici une autre relation remarquable impliquant cette fois-ci la fonction arctangente.B.4.2 Proposition
Arctan(x) + Arctan?1x
??π2 six >0 π2 six <0D´emonstrationPour toutx >0, on posef(x) = Arctan(x)+Arctan?1x
?. La fonctionfest d´erivable sur chacun desintervalles ]- ∞,0[ et ]0,+∞[ et on a f ?(x) = Arctan?(x) + Arctan??1x -1x 2? =11 +x2+11 + 1x2×?
-1x 2?= 0.Il s"ensuit que la fonctionfest constantesur chacun des intervallessur lesquels elle est d´efiniei.e.il existe une constantectelle que l"on aitf(x) =cpour toutx >0 et il existe une constantedtelleque l"on aitf(x) =dpour toutx <0.On af(1) = Arctan(1) + Arctan?11
?=π4 +π4 =π2 doncf(x) =π2 pour toutx >0.D"autre part, on af(-1) = Arctan(-1) + Arctan1-1=-π4 -π4 =-π2 doncf(x) =-π2 pour toutx <0.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40