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La bijection réciproque de f est appelée « fonction arctangente » 1 Arctan : ; 2 2 Arctan On utilise une lecture inverse du tableau des valeurs remarquables



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1 cos2 x −1−cotan 2 x = −1 sin2 x 2 Valeurs remarquables +π/2 dont l' image par sinus vaut x (Arcsin est une fonction) On a donc les relations suivantes :



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La bijection réciproque de f est appelée « fonction arctangente » 1 Arctan : ; 2 2 Arctan On utilise une lecture inverse du tableau des valeurs remarquables



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La fonction Arctangente

I. Rappels sur la fonction tangente

1°) Définition

xxx x existe pour tout réel x qui n'est pas de la forme ,2k k .

2°) Étude de la fonction tangente

On va s'intéresser à la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ;2 2 car elle périodique de période Sur cet intervalle, la fonction tangente est continue et strictement croissante.

De plus,

2 tan xx et 2 tan xx x 2 2 tanx

3°) Représentation graphique

La courbe de la fonction " tangente » ressemble à un électrocardiogramme. On vérifie le tracé sur la calculatrice graphique.

II. Généralités

1°) Définition

D'après le théorème de la bijection, la fonction tangente établit une bijection de ;2 2 dans . La bijection réciproque de f est appelée " fonction arctangente ».

1Arctan: ;2 2

Arctan

f x x

2°) Exemples

Arctan14

Arctan 14

Arctan 0 0

Arctan 33

3°) Visualisation sur le cercle trigonométrique

Il est possible de faire apparaître Arctan y sur le cercle trigonométrique. Soit C le cercle trigonométrique dans le plan orienté.

On note A1;0, B0;1, A'-1;0, B'0; -1.

On place le point T de coordonnées 1;y situé sur la tangente en A à C. On trace la droite OT. Cette droite coupe l'arc BB' contenant A en un point M Arctan y est la mesure en radians dans l'intervalle ;2 2 de l'angle orienté OA;OM .

4°) Commentaires

1°) Il n'existe pas d'expression de l'Arctangente d'un réel à l'aide des symboles usuels. On dit que la fonction

Arctangente est une fonction transcendante.

2°) La calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée de l'Arctangente de n'importe quel réel.

Sur la calculatrice on doit se placer en mode " radian ». Puis on tape 2nde tan . Si la calculatrice est en français, il apparaît à l'écran " arctan( ». Si la calculatrice est en français, il apparaît à l'écran " tan-1 »

(Cette notation est une notation de calculatrice qui n'est pas utilisée à l'écrit en dépit d'une similitude manifeste

avec la notation d'une bijection réciproque).

Sur la calculatrice, la procédure précédente marche encore lorsqu'on est en mode " degré ». Elle ne correspond

pas à la définition de l'Arctangente. Le résultat renvoyé par la calculatrice est dans l'intervalle 90;90.

Elle est utilisée couramment depuis le collège. Pour le calcul, la calculatrice utilise l'algorithme CORDIC.

5°) Valeurs remarquables

On utilise une lecture inverse du tableau des valeurs remarquables. Nous pouvons également obtenir les valeurs

des arctangentes de (cf. voir V). x 0 6 4 3 2 tanx 0 1 3 1 3 x 0 1 3 1 3

Arctanx 0 6

4 3 En dehors de ces valeurs et de quelques autres (12 , 5 , 8 ...) il n'est pas possible de calculer un arctangente

" à la main ». On est obligé d'utiliser la calculatrice. Il fut un temps pas si lointain puisque nos parents et

grands-parents étaient encore en vie ! Fin des années 60 et début des années 1970, nous n'avions pas de

calculatrice, on utilisait alors les tables de trigonométrie.

III. Propriétés

1°) tan Arctany y y

2°) ; Arctan tan2 2x x x

3°) x et y sont tout deux réels

tan

Arctan ;2 2

y x y xy

4°) Arctan Arctany y y

Démonstration :

Graphiquement

Algébriquement

Soit y un réel fixé. Démontrons que Arctan Arctany y

Posons Arctanx y.

On calcule tanx :

sintan tancos xx xx

Or tanx y donc tany x d'où et tany x .

Or ;2 2x donc ;2 2x .

Or Arctanx y .

D'où Arctan Arctany y .

Il en résulte que la fonction Arctan est impaire.

IV. Étude de la fonction Arctangente

1°) Propriété fondamentale [dérivabilité et dérivée]

On peut démontrer que la fonction Arctan est dérivable sur et que sa dérivée est donnée par :

21 Arctan '1x xx .

Cette formule résulte de la formule générale de dérivation d'une bijection réciproque.

On dit que la fonction Arctan est une fonction transcendante à dérivée rationnelle.

2°) Dérivée de Arctan u où u est une fonction dérivable sur un intervalle I

u est une fonction dérivable sur un intervalle I.

2' Arctan '1

ux uu

3°) Limites de la fonction Arctangente

Arctan2xx

Arctan2xx

4°) Représentation graphique de la fonction arctangente

La fonction Arctangente est la bijection réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle

;2 2

Donc sa représentation graphique est la symétrique de la fonction tangente dans l'intervalle ;2 2

dans un repère orthonormé par rapport à la droite d'équation y x. O 2y 2y

2x 2x

Arctany x

tany x i jquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40