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c) les fonctions arcsin et arccos sont continues sur [−1,1], la fonction arctan est continue sur R la même limite qui est forcément π/4 car pour tout n : u2n+1 

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FiGURe 5 – Fonction ln et ses polynômes de Taylor en 0 jusqu'à l'ordre n = 5 La primitive nulle en 0 est arctan(x) : arctan(x) = x − x3 3

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Exercice 1 Donner le développement limité en x0 `a l'ordre n des fonctions: au voisinage du point x = 0 Exercice 7 Soit g la fonction x → arctan x (sin x)3 −

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Donner le développement limité à l'ordre 5 en 0 de la fonction : g: R → R x ↦→ Arctan(Arcsin(x)) Université Paris 7

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Limites : à droite : lim x→(π 2 +kπ)+ III 2 Les fonctions arccos, arcsin, arctan ( a) La fonction x Dérivée : la fonction arctan est dérivable sur R, et ∀x ∈ R 

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2 Donner le développement limité à l'ordre 5 en 0 de la fonction : f : R → R x ↦→ Arctan(x) Université Paris 7 Année 2008/2009 UFR de Mathématiques MT1

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le résultat avec le théorème liant limite de la dérivée et limite du taux d' accroissement - Enfin, la courbe représentative de Arcsin dans un repère orthonormé ),,(

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entier La fonction inverse (ou encore réciproque) déduite est la fonction arctan: R ]− π Le passage à la limite lorsque b tend vers + ∞ (ou lorsque a tend vers

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Si la fonction f admet un développement limité d'ordre n en 0 (resp x0, resp ±∞) , alors celui-ci Application : Calculons le DL(0) de arctan : arctan x = 1 1 + x2

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f: [´π 2 2 ]ÝÑ[´1,1] xÞÝÑx f f(´π 2 ) =´1f(π 2 ) = 1 f [´π 2 2 ][´1,1] [´1,1][´π 2 2 f: [´π 2 2 ]ÝÑ[´1,1] xÞÝÑx 2 2 ] y=x) 2 2 x xÞÑx[´π 2 2 @xP[´1,1],´π 2 2 2 2 xP[´1,1]

´(x)P[´π

2 2 ] (´(x)) =´((x)) =´x ´(x) 2 2

C8]´1,1[

@xP]´1,1[,()1(x) =1

1´x2

xP]´1,1[ α=(x) αP]´π 2 2 [ α=x

α ()1(α) =(α)‰0 x()1(x) =

1

2α+2α= 1 αą0

α=a

1´2α α=x α=?

1´x2

()1(x) =1

1´x2

]´1,1[ ]´1,1[xÞÑ1

1´x2

C8]´1,1[

C8]´1,1[

]´1,1[()1

ĕ (O,⃗i,⃗j)

2 2 ´1 2 1 2 ´1 2 1 2 [0,π]ÝÑ[´1,1] xÞÝÑx [´1,1][0,π] [0,π]ÝÑ[´1,1] xÞÝÑx @xP[´1,1],@yPR,(y=(x)ðñyP[0,π] y=x)

C8]´1,1[

@xP]´1,1[,()1(x) =´1

1´x2

xP]´1,1[ α=(x) αP]0,π[ α=x

α ()1(α) =´(α)‰0 x()1(x) =

1

´α=´1

1´2α=´1

1´x2

ĕ (O,⃗i,⃗j)

[0,π] ĕ ´1 1 2 ´1 1 2 (0,π 2 @xP[´1,1],(x) +(´x) =π f A(x0,y0)ðñI x0@hP R,( (x0+hPI)ùñf(x0+h)+f(x0´h) 2 =y0) xP[´1,1] (x)P[0,π] ((x)) =x π´(x)P[0,π] (π´(x)) =´((x)) =´x

π´(x) =(´x)π´(x)P[0,π]

Ox π

2 ⃗j @xP[´1,1],(x)+ (x) =π 2 (x) = (´(x)) +π 2 xP[´1,1] (x)P[0,π] 2

´(x)P[´π

2 2 2

´(x))

2 ((x))´(π 2 ((x)) = 1ˆ((x))´0 =x 2

´(x) =(x)

(x) +(x) =π 2 2 2 [ÝÑR xÞÝÑx

R]´π

2 2 @xPR,@yPR,(y=(x)ðñyP] 2 2 y=x) 2 2 x @xPR,´π 2 2 R

´8=´π

2 +8=π 2 C8R @xPR,()1(x) =1 1 +x2 xPR α=(x) αP]´π 2 2 [ α=x

α 1(α) = 1 +2α‰0 x

()1(α) =1

1 +2α=1

1 +x2 2 2 2 2 @xą0,(x) +(1 x 2 @xă0,(x) +(1 x 2 xą0

αP]0,π

2 2

´αP]0,π

2 2

´α) =1

α=1

x 2

´α=(1

x x 2 xă0 ´xą0 (´x)+(1

´x) =π

2

´(x)´(1

x 2 (x) +(1 x 2

R]0,π[ ]0,π[ÝÑR

xÞÝÑx @xPR,@yPR,(y=(x)ðñyP]0,π[ y=x) 2 2 R

´8=π +8= 0

C8R @xPR,()1(x) =´1 1 +x2 @xą0,(x) +(1 x 2 @xă0,(x) +(1 x ) =3π 2 xą0

αP]0,π

2 2

´αP]0,π

2 2

´α) =1

2

´α)=α=1

α=1

x 2

´α=(1

x x 2 xă0

αP]π

2 ,π[ 3π 2

´αP]π

2 (3π 2

´α) =1

(3π 2

´α)=α=1

α=1

x 3π 2

´α=(1

x ) (x) +(1 x ) =3π 2quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9