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Universit´e Chouaib Doukkali A. Lesfari

Facult´e des Scienceslesfariahmed@yahoo.fr

D´epartement de Math´ematiqueshttp://lesfari.com

El Jadida

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS

Exercice

Soit':R!Rd´efinie par

'(x) =8 e¡1

1¡x2sijxj<1

0 sijxj ¸1

Montrer que'2 D.

Exercice

Soitf:R!Cune fonction de classeC1. Montrer que si

'2 D;alorsf'2 D.

Exercice

Soit':R!R

'(x) =8 e¡1

1¡x2sijxj<1

0 sijxj ¸1

une fonction deDet soit, pourk2N: k(x) ='(kx) R 1

¡1'(kx)dx:

On appelle fonction "porte" la fonction Π(x) d´efinie par

Π(x) =½1 sijxj<1

0 sijxj ¸1

2 a) Exprimer'(x) `a l"aide de la fonction Π(x). b) Trouver une relation simple entre%k(x) et la fonction Π(x). c) Prouver que%k(x)2 Det pr´eciser le support de%k(x). d) CalculerZ1 ¡1 k(x)dx: e) Repr´esenter sur un mˆeme graphique les fonctions%kcorrespondant `ak= 1; k= 2 etk= 3.

A. Lesfari2

Exercice

Pour tout'2 D, on pose

'=nX k=0x k et (n+1)(0) = (n+ 1)!µ(0): a) Montrer que la fonctionµest continue surR. b) on suppose quesupp '½[¡c;c],c >0. Montrer que supjµ(x)j ·Asup x2[¡c;c]¯

¯'(n+1)(x)¯¯;

o`uA >0, est une constante.

Exercice

5. Pour toute fonction'2 D, on consid´ere une application surD, en posant hT;'i= limn!1( nX k=1'µ1 k

¡n'(0)¡'0(0)Log n)

Montrer que cette application d´etermine une distribution surR. Quel est son ordre ?

Exercice

6. Pour toute fonction'2 Det tout" >0, on d´efinit une appli- cation surD, appel´ee valeur principale de Cauchy, en posant vp1 x = lim "!0Z jxj¸"'(x) x dx: Montrer que cette application est une distribution et d´eterminer son ordre.

Exercice

7. Soit f(x) =½1 surfag

0 ailleurs,

la fonction caract´eristique defaget soitfla distribution associ´ee `a cette fonction. D´eterminersupp f(x) etsupp f. Conclusion ?

Exercice

8. D´emontrer que le support de la distributionvp1 x est supp vp 1 x =R:

A. Lesfari3

Exercice

Soit'2 D, on pose

_'(x) ='(¡x):

Une distributionTest dite paire si

D T;_'E =hT;'i; et impaire si D T;_'E =¡hT;'i: a)T´etant une distribution, ´etudier la parit´e des distributionsU,Vd´efinies par

D 3'7¡! hU;'i=hT;'i+D

T;_'E

D 3'7¡! hV;'i=hT;'i ¡D

T;_'E b) En d´eduire que toute distributionTest la somme d"une distribution paire et d"une distribution impaire. c) Etudier la parit´e des distributions±etvp1 x

Exercice

10. SoitG(x) une fonction de la variablexjouissant des propri´et´es suivantes : a) Elle est nulle pourx <¡1 etx >1. b) Elle est ind´efiniment d´erivable dans chacun des intervalles,¡1< x < »,

» < x <1, avec»2]¡1;1[.

c)G(x) et ses d´eriv´ees pr´esentent des discontinuit´es de premi`ere esp`ece aux pointsx=¡1,x=»,x= 1. 1

±) Calculer au sens des distributions,

d 2G dx

2+!2G ; !2R;

en fonction des d´eriv´ees usuelles deG(x). 2 ±) Est-il possible de d´eterminerGet les constantes®et¯pour que l"on ait (1) d2G dx

2+!2G=±»+®±¡1+¯±1;

ad´esignant la distribution de Dirac au pointa? Montrer que, sauf si!est de la formek¼ 2 , o`ukest un entier, le probl`eme admet une solution unique. Calculer alorsGainsi que les constantes®et¯. 3 ±) Soit'2 D, une fonction inconnue, dont on sait qu"elle v´erifie les relations d 2' dx

2+!2'= Ψ(x);

A. Lesfari4

'(¡1) =L; '(+1) =M; la fonction Ψ(x) et les constantesLetM´etant connues. Montrer que la formule (1) permet de calculer'(») pour tout»2]¡1;1[, sauf pour les valeurs exceptionnelles de!.

Exercice

11.

Soitu(x;t) la fonction d´efinie dansR2par

u(x;t) =½®sit2¡x2¸0; t¸0;

0 ailleurs,

a) Montrer queu(x;t) d´efinit une distribution dansR2et d´eterminer son support. b) Calculer, au sens des distributions, l"expression

µ@2

2¡@2

@x u; o`u @2 @t

2¡@2

2est l"op´erateur des ondes.

c) D´eterminer®de fa¸con queu(x;t) soit solution de l"´equation 1 v 2@ 2u @t

2¡@2u

2=±;

o`uvest une constante positive et±=±(x;t) la distribution de Dirac.

Exercice

12.

Soitz=x+iy2Cet

z =1 2 @x +i@ @y l"op´erateur de Cauchy-Riemann. Calculer, au sens des distributions, l"expression z 1 z

Exercice

13. Soit'2 D;une fonction quelconque. On consid´ere une sph`ere Sde centre 0, de rayon'=ret un volumeVdeR3d´efini par

0< ' < r < a <1;

o`uaest choisi assez grand pour que'et ses d´eriv´ees partielles soient nulles pourr=a:D´esignons parnla normale (positive) `aSdirig´ee vers l"int´erieur deV;pardSun ´el´ement d"aire deSet par@ @n la d´eriv´ee normale. Calculer dansR3;le Laplacien de la distributionfassoci´ee `a la fonction f(x;y;z) =1 r ; r´p x

2+y2+z2:

A. Lesfari5

Indication: Montrer d"abord

hΔf;'i= lim½!0Z Z Z ri½fΔ'dxdydz; lim

½!01

Z Z r=½@' @n dS= 0; lim

½!01

2Z Z r=½'dS= 4¼h±;'i:

Montrer qu"en appliquant la formule de Green :

Z Z Z

½hrha(fΔ'¡'Δf)dV=Z Z

r=½µ '@f @n

¡f@'

@n dS; il vient Δ1 r =¡4¼±:

Exercice

14. On d´esigne parH(x) la fonction ´echelon unit´e de Heaviside

H(x) =½1 six¸0;

0 six <0;

et on pose f(x) =H(x)Logjxj; x2R: a) Montrer que cette fonction d´etermine une distribution surR. b) Calculer au sens des distributions (H(x)Log x)0: c) Pour tout'2 D, on pose

PfH(x)

x = lim "!0½ Z1 "'(x) x dx+'(0)Log"¾

Trouver une relation simple entrePfH(x)

x et (H(x)Log x)0:L"application Pf H(x) x est-elle une distribution surR? Justifier votre r´eponse. d) Etudier, au sens des distributions, l"´equation xT=H(x):

A. Lesfari6

Exercice

15. Pour tout'2 Det tout"i0;on d´efinit les distributions parties finies de H x etH x 2par PfH x = lim "!0½ Z1 "'(x) x dx+'(0)Log"¾ PfH x

2;'À

= lim "!0½ Z1 "'(x) x

2dx¡'(0)

+'0(0)Log"¾ o`uH(x) est la fonction d"Heaviside nulle pourx <0 et ´egale `a 1 pourx¸0.

Soitfla fonction d´efinie par

f(x) =8 :Z 1 0e

¡xt

1 +t2dtsix¸0;

0 six <0;

On sait que pour toutx6= 0,

00(x) +f(x) =H(x)

Pour tout¸ >0, on pose

¸(x) =H(x)Z

¡xt

1 +t2dt:

On d´esigne parT¸la distribution r´eguli`ere associ´ee `a la fonctionf¸et parT celle qui est associ´ee `af.

1) Montrer que

PfH x = lim "!0½

H(x¡")

x +±(x)Log"¾

2) R´esoudre l"´equation :

xT=PfH x

3) Calculer

00¸+T¸:

4) Montrer que

Z 1

0'(x)¡'(0)

x dx+Z 1 1'(x) x dx=¿ PfH x

5) V´erifier que

Z 1

01¡e¡¸x

x dx¡Log ¸=Z 1

01¡e¡t

t dt¡Z 1e ¡t t dt:

A. Lesfari7

6) En d´eduire que dansD0,

lim

¸!1µ

1¡e¡¸x

x =PfH x +a±; o`uaest une constante.

7) D´eduire des questions 3) et 6)

00+T=PfH

x +a±+¼ 2

±0:

8) On pose

c=¡Z 1 0 e¡xLog xdx: Ce nombre s"appelle constante d"Euler. Montrer quea=c.

Exercice

16.

Calculer la distribution

x m±(n);(m;n2N); o`u±(n)est la d´eriv´een`emede la mesure de Dirac surR.

Exercice

17.

R´esoudre dansD0, l"´equation

xT=pX k=oc k±(k); ck2C:

Exercice

18.

Soit l"´equation

x mT= 0; m2N: a) Montrer que les distributions v´erifiant cette ´equation s"´ecrivent

T=m¡1X

k=oc k±(k); ck2C: b) En d´eduire l"expression g´en´erale des distributionsTqui v´erifient l"´equation x mT= 1; m2N: c) Trouver toutes les distributionsTv´erifiant

A. Lesfari8

Exercice

19. Soit'2 Detc >0 tel que :Supp '½[¡c;c]:On d´efinit une applicationTsurDen posant hT;'i= lim"!0½ Z1 "'(x) x dx+'(0)Log"¾ a) Montrer que hT;'i=Z c

0'(x)¡'(0)

x dx+'(0)Logc: b) Prouver queTest une distribution surR, qu"on notera

T=PfH(x)

x o`uH(x) est la fonction d"Heaviside. c) D´eterminer l"ordre de cette didtribution ainsi que son support. d) Calculer au sens des distributions : xT 0+T: e) R´esoudre dansD0, l"´equation diff´erentielle : xS

0+S=±:

f) Calculer au sens des distributions : xPf

H(x)Logx

x o`u xPfH(x)Logx x =Z c

0'(x)¡'(0)

Logxdx+'(0)Logc

c g) D´eterminer la solution g´en´erale dansD0de l"´equation diff´erentielle : xS

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Universit´e Chouaib Doukkali A. Lesfari

Facult´e des Scienceslesfariahmed@yahoo.fr

El Jadida

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS

Exercice

Soit':R!Rd´efinie par

1¡x2sijxj<1

0 sijxj ¸1

Montrer que'2 D.

Exercice

Soitf:R!Cune fonction de classeC1. Montrer que si

Exercice

Soit':R!R

1¡x2sijxj<1

0 sijxj ¸1

¡1'(kx)dx:

Π(x) =½1 sijxj<1

0 sijxj ¸1

A. Lesfari2

Exercice

Pour tout'2 D, on pose

¯'(n+1)(x)¯¯;

Exercice

¡n'(0)¡'0(0)Log n)

Exercice

Exercice

0 ailleurs,

Exercice

A. Lesfari3

Exercice

Soit'2 D, on pose

Une distributionTest dite paire si

D 3'7¡! hU;'i=hT;'i+D

D 3'7¡! hV;'i=hT;'i ¡D

Exercice

» < x <1, avec»2]¡1;1[.

±) Calculer au sens des distributions,

2+!2G ; !2R;

2+!2G=±»+®±¡1+¯±1;

2+!2'= Ψ(x);

A. Lesfari4

Exercice

Soitu(x;t) la fonction d´efinie dansR2par

0 ailleurs,

µ@2

2¡@2

2¡@2

2est l"op´erateur des ondes.

2¡@2u

2=±;

Exercice

Soitz=x+iy2Cet

Exercice

0< ' < r < a <1;

2+y2+z2:

A. Lesfari5

Indication: Montrer d"abord

½!01

½!01

Montrer qu"en appliquant la formule de Green :

½hrha(fΔ'¡'Δf)dV=Z Z

¡f@'

Exercice

H(x) =½1 six¸0;

0 six <0;

PfH(x)

Trouver une relation simple entrePfH(x)

A. Lesfari6

Exercice

2;'À

2dx¡'(0)

Soitfla fonction d´efinie par

¡xt

1 +t2dtsix¸0;

0 six <0;

On sait que pour toutx6= 0,

00(x) +f(x) =H(x)

Pour tout¸ >0, on pose

¸(x) =H(x)Z