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produit de convolution : c'est la distribution de Dirac, qui satisfait `a δ ∗ T = T ∗ δ Exercice 25 Montrer que si Tλ est la distribution associée `a la fonction sin λx, on a lim λ→∞ On a vu, dans le cours d'intégration, que lorsque la répartition

Exercices corrigés Pierre-Jean Comme le note Roger Godement : « La théorie générale des distributions, qui valut à Je renvoie aux cours de Schwartz

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Montrer que cette application détermine une distribution sur R Quel est son ordre ? Exercice 6 Pour toute fonction ϕ ∈ D et tout ε > 0, on définit une appli

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On appelle "distribution" sur R toute application linéaire et continue de Les résultats de l'exercice 3 de la séance 4 s'écrivent : Corrigé de l'Exercice 1

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xT + T = 0 Exercice 4 On note Tn, pour tout n ∈ N, la distribution associée `a la fonction localement intégrable t ↦→

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Ce cours est une introduction à un chapitre important et relativement récent de applications de la théorie de distributions aux équations de la physique Généralisation (exercice): Si g ∈ Lp(Rn), avec 1 ≤ p < ∞ et f ∈ L1(Rn) alors f ∗ g ∈

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δ(q−p) si p ≤ q 1 Page 2 Exercice 2 Calculer la dérivée au sens des distributions de la fonction localement

Chapitre 3

Distributions

3.1 Introduction

Il y a plusieurs raisons pour introduire la notion de distribution. Certaines sont d"ordre purement physique (exp´erimental mˆeme ) alors que d"autres sont des raisons plus math´ematiques.

3.1.1 Unit´e pour la convolution.

Comme nous l"avons remarqu´e lors de l"´etude de la convolution des fonctions int´egrables, il

n"y a pas de fonction int´egrable Δ qui puisse servir d"unit´e pour le produit de convolution de ces

fonctions. Dans l"espace des distributions, il y a effectivement une telle distribution unit´e pour le

produit de convolution : c"est la distribution de Dirac, qui satisfait `a

δ?T=T?δ=T.

3.1.2 Densit´e de charge d"une charge ponctuelle

En ´electrostatique, le potentiel ´electriqueV(?r) en un point?rdonn´e de l"espace, pour une

distribution de charge de densit´eρ(?r) donn´ee est solution de l"´equation de Laplace ∂2∂x

2+∂2∂y

2+∂2∂z

2)V(?r) =14π?0ρ(?r).

La question qu"on se pose est de savoir ce que signifie cette ´equation dans la limite o`u la charge,

source du potentiel, peut d"une mani`ere physiquement raisonnable ˆetre assimil´ee `a une charge

ponctuelle. On sait que dans ce cas le potentiel cr´e´e (mesur´e physiquement) est un potentiel en

L"´equation de Laplace pose par contre dans ce cas un probl`eme math´ematique s´erieux : quelle est

la densit´e de charge d"une charge ponctuelle? La r´eponse la plus simple se trouve naturellement

dans la th´eorie des distributions. La densit´e d"une telle charge est en fait proportionnelle `a une

distribution de Dirac situ´ee au point o`u se trouve la charge ´electrique.

3.1.3 Mesure d"une grandeur physique

Consid´erons la mesure d"une grandeur physique relativement courante comme la temp´erature

d"un fil rectiligne "en un point donn´e". On peut se convaincre que pour des raisons ´evidentes,

une telle mesure n"est jamais r´ealisable parfaitement. Tout thermom`etre, quel que soit le principe

physique utilis´e pour la mesure, poss`edeune extension spatialequ"il est impossible de r´eduire `a

celle d"un point : ce qu"il faudrait r´ealiser pour pouvoir mesurer la temp´erature enun pointx0. On

peut cependant admettre, dans le cas d"une mesure r´ealiste de temp´erature, que le thermom`etre

prend en compte toutes les temp´eratures dans un "voisinage" du pointx0selon une fonction de

sensibilit´eφ0(fig.1.) de telle sorte que pour une fonction de r´epartitionT(x) de la temp´erature le

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS2 HE?MOCOU?LEFIL0

x00Fig.3.1 - Mesure d"une temp´erature le long d"une barre long de la barre (fonction dont on ignorea priorice qu"elle vautvraimenten un point pr´ecis de la barre), on puisse dire que la temp´erature mesur´eeTsera en fait T 0=?

T(x)φ0(x)dx.

Si on effectuait la mesure en un autre pointx1on obtiendrait T 1=?

T(x)φ1(x)dx

etc...

On voit que la temp´erature mesur´eeT, dans l"hypoth`ese o`u les fonctionsT(x),φ0,φ2etc...

sont suffisamment r´eguli`eres, se pr´esente sous la forme d"un expression lin´eaire en la fonction de

sensibilit´eφ. On peut noter aventageusement cette expression sous la forme < T,φ >=?

T(x)φ(x)dx

Lorsque le produitx?→T(x)φ(x) est int´egrable Lebesgue, cette ´ecriture est parfaitement jus-

tifi´ee. Cependant, dans beaucoup de cas concrets, la grandeur physique en question (ici il s"agirait

deT(x) ) se r´ev`ele ˆetre tropsinguli`erepour que l"int´egrale ´ecrite puisse avoir un sens quelconque

avec un choix r´ealiste pour la fonctionφ.

Partant de cet ´echec, on a progressivement abstrait l"id´ee de concepts math´ematiques qui ne

pr´eserveraient que l"indispensable de l"expression < T,φ >=?

T(x)φ(x)dx,

partant d"un ensemble de fonctionsφrepr´esentant de mani`ere suffisante toutes les mesures d"une

grandeur physique donn´ee qu"il est possible d"effectuer. L"ensemble des fonctionsφprend alors naturellement le nom d"ensemble defonctions "test" ou fonctions "d"essai". La mesure d"une grandeur physiqueTest alors repr´esent´ee par le "crochet" < T,φ >

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS3

ind´ependamment d"une forme int´egrale ou non pour cette expression. L"ensemble des grandeursT "mesurables" par les fonctions d"essai prend alors le nom g´en´erique dedistributions. Quel doit ˆetre le minimum exig´e pour les objets ainsi consid´er´es?

1. L"ensemble des fonctions d"essai constitue unespace vectoriel de fonctions. C"est-`a-dire que

toute combinaison lin´eaire `a coefficients complexes de fonctions d"essai est encore une fonction

d"essai.

2. L"ensemble des distributions est l"ensemble desformes lin´eairessur l"espace vectoriel des

fonctions d"essai.

3. Le r´esultat de la mesure deTparφest alors le nombre complexe< T,φ >.

Remarque.Dans un esprit d"utilisation pratique (et ´el´ementaire) des distributions, nous

r´eduisons ici, les consid´erations d"analyse fonctionnelle au minimum. Pour cette raison, nous

consid´ererons quetoutesles formes lin´eaires sur nos espaces de fonctions test sont des formes

lin´eairescontinues. Math´ematiquement on sait que de telles formes lin´eares non continues existent,

mais comme personne n"a r´eussi, `a ce jour, `a les ´ecrire explicitement, nous ferons comme si elles

n"existaient pas!

3.2 L"espace des fonctions d"essaiD

Choisissons pour commencer un espace de fonctions test qui pr´esente toutes les caract´eristiques

n´ecessaires aussi bien physiques que math´ematiques.

D´efinition 1Les fonctions testx?→φ(x)sont d´efinies pourxr´eelet sont `a valeurs complexes.

On exige d"elles qu"elles soient ind´efiniment d´erivables pourtoutesles valeurs dex(elles sont donc

∞). Elles sont de plus, nulles en dehors d"un intervalle born´e. L"ensemble de ces fonctions est

d´esign´e parD(R)ou simplementD. L"ensemble des fonctions test deDconstitue un espace vectoriel surC. On peut se convaincre

que ce sont l`a des propri´et´es raisonnables pour des fonctions de sensibilit´e d"appareil.

Exemple 2La fonctionξad´efinie par

a(x) =?exp(-a2a

2-x2)si|x|< a

0si|x| ≥a

est poura >0une fonction d"essai.

Exemple 3Siαest une fonction ind´efiniment d´erivable et siφest une fonction deD, alors leur

produitαφest une fonction deD. On montre (voir au paragraphe 3.11.1) que la classe de toutes les fonctionsαtelles queαφ

est une fonction deDquel que soitφappartenant `aD, est pr´ecis´ement l"ensemble de toutes les

fonctionsC∞. Remarque 4Pour ceux qui veulent en savoir plus , il faut dire qu"il est possible de d´efinir une notion de proximit´e entre deux fonctions deD. C"est ce qu"on d´esigne sous le nom detopologie surD(voir au paragraphe 3.11.2. Exemple 5Soientfune fonction int´egrable surR, nulle en dehors d"un intervalle born´e etφ une fonction deD. Alors leur produit de convolution (f?φ)(x) =? R f(t)φ(x-t)dt est une fonction deD.

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS4

Exemple 6Soitφune fonction deD. Alors les fonctions translat´eeτaφet dilat´eedλφsont aussi

dansD. On rappelle que (τaφ)(x) =φ(x-a) o`uaest r´eel et que (dλφ)(x) =φ(xλ o`uλest un nombre r´eel diff´erent de 0.

Exemple 7Les fonctions d"essai deDainsi que toutes leurs d´eriv´ees sontint´egrablesetborn´ees.

Ces deux propri´et´es sont souvent utilis´ees dans les calculs.

3.3 L"espace des distributionsD?

En accord avec la discussion de l"introduction, nous d´efinissons les distributions de la fa¸con

suivante. D´efinition 8Une distribution est une applicationTqui `a chaque fonction deDfait correspondre un nombre complexeT(φ)FINI qui v´erifie la propri´et´e suivante

T(aφ+bψ) =aT(φ) +bT(ψ)

pour tous nombres complexesaetbet toutes fonctions d"essaiφetψdansD. Remarque 9En termes alg`ebriques, on voit donc qu"une distributionTest uneforme lin´eaire sur l"espace vectorielD. D"o`u la notationD?qui indique que l"espace des distributions est en fait un espace dualde l"espace vectoriel des fonctions d"essai (voir au paragraphe 3.11.3).

En th´eorie des distributions on note en g´en´eralT(φ) sous la forme< T,φ >et on dit que la

distributionTest appliqu´ee `aφ. Ceci est en conformit´e avec notre notation de l"introduction qui

exprime le fait qu"on peut dire que physiquement< T,φ >est le r´esultat d"une mesure "parφ" de la distributionT. L"espace des distributionsD?est aussi unespace vectorielsurC, il suffit pour cela de d´efinir la sommeT1+T2de deux distributions ainsi que le produitaTd"un nombre complexeaet d"une distributionT. On d´efinit < T

1+T2,φ >=< T1,φ >+< T2,φ >

pour toutφdansD, et < aT,φ >=a < T,φ > . pour tout nombre complexeaet toutφdansD. La distribution nulle, quant `a elle, est d´efinie par

T= 0??< T,φ >= 0

pour toutφdansD. Remarquons qu"une telle d´efinition est parfaitement raisonnable du point de vue exp´erimental

puisqu"elle veut dire qu"une quantit´e physique est nulle si et seulement si n"importe quelle mesure

repr´esent´ee parφdonne un r´esultat nul. Mise en garde.Il n"est pas question de d´efinir le produit de deux distributions quelconques entre elles car cela, on le verra par la suite, ne peut se faire que dans des casextrˆemements

limit´es. Ce dernier point est bien entendu une des tares principale de la th´eorie des distributions

et limite ainsi leur utilisation auxprobl`emes lin´eaires. Il touche d"ailleurs aux aspects les plus

fondamentaux de la physique quantique moderne.

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS5

3.3.1 Les distributions r´eguli`eres

D´efinition 10Une fonctionfest ditelocalement int´egrablesi elle est int´egrable sur tout intervalle born´e (fini). On notef?L1loccette propri´et´e.

Exemple 11

`A toute fonction localement int´egrable on peut associer une distribution d´efinie par < T f,φ >=? R f(x)φ(x)dx, pour toute fonction d"essaiφdansD.

Exemple 12

´Etant donn´ees deux fonctions localement int´egrablesfetg´egales presque partout, i.e. f(x) =g(x)pour presque toutx, les distributions associ´ees sont ´egales, T f=Tg. La r´eciproque est aussi vraie (voir au paragraphe 3.11.4). D"o`u

Th´eor`eme 1

T f= 0??f(x) = 0pour presque toutx.

D´efinition 13Une distributionTestr´eguli`eresi elle est associ´ee `a une fonction localement

int´egrablef. Notation 14Lorsque le contexte ne prˆete `a aucune confusion, il est tr`es souvent plus simple de noterTftout simplementf. Par contre la notationf(x), tol´er´ee pour une fonctionfl"est moins pour la distributionTf,

car elle laisse croire `a tort qu"il est possible de connaˆıtre la valeur d"une distribution en un point

pr´ecisx(elle est cependant utilis´ee!). Exemple 15C"est ainsi que nous d´efinissons la distribution (r´eguli`ere) constanteCpar < C,φ >=? R

Cφ(x)dx=C?

φ(x)dx,

pour toute fonction d"essaiφ. En particulierC= 0d´efinit la distribution (r´eguli`ere) nulle.

Exemple 16De mˆeme, la fonction de Heaviside

H(x) =?

1,six≥0;

0,sinon.

d´efinit la distribution de HeavisideHpar < H,φ >=? R

H(x)φ(x)dx=?

R +φ(x)dx, et la fonction2H(x)-1 =sgn(x)d´efinit la distribution?, qui est aussi not´eesgnx.

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS6

3.3.2 Distributions non r´eguli`eres

D´efinition 17Toute distribution qui n"est pas r´eguli`ere est dite non r´eguli`ere. Exemple 18La distribution de Dirac `a l"origineδest d´efinie par < δ,φ >=φ(0) pour toute fonction d"essaiφ.

Elle n"est pas r´eguli`ere.

Exemple 19La distribution de Diracδx0au pointx0?Rest d´efinie par x0,φ >=φ(x0) pour toute fonction d"essaiφ. Mise en garde.Les ouvrages de Physique et d"´Electronique utilisent dans leur grande majorit´e

la notationδ(x) pour la distributionδetδ(x-x0) pour la distributionδx0. Cette notation est

une source d"erreur constante dans les calculs, puisqu"elle laisse supposer que ces distributions ont

une valeur donn´ee en un point donn´e. Pour ´eviter les erreurs, il est donc fortement recommand´e

d"effectuer les calculs au sens des distributions, quitte `a pr´esenter ensuite les formules finales comme

le font traditionnellement les physiciens et les ´electroniciens.

Exemple 20La forme lin´eairevp1x

d´efinie par < vp 1x ,φ >= limε→0+[? x<-εφ(x)x dx+? x>εφ(x)x dx] pour toute fonction d"essaiφ, est une distribution non r´eguli`ere.

3.4 Suites et s´eries de distributions

3.4.1 Limite d"une suite de distributions.

D´efinition 21On dit que la suite de distributions{Tn}∞0deD?, converge vers la distributionT si lasuite de nombres complexes< Tn,φ >tend vers le nombre complexe< T,φ >pourtoute fonction d"essaiφdeD.

On ´ecrit cela sous la forme

limn→∞(D)Tn=T. Ce qui, d"apr`es la d´efinition est ´equivalent `a lim n→∞< Tn,φ >=< T,φ > pourtoutefonction d"essaiφdeD. Remarque 22Si cette distribution limiteTexiste, elle est unique. Remarque 23Si on peut trouver un nombreK(φ)qui d´epend de la fonction d"essaiφchoisie et qui est tel que limn→∞< Tn,φ >=K(φ) Alors la suite de distributionsTntend vers la distributionT, et on a < T,φ >=K(φ).

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS7

Remarque 24Du point de vue exp´erimental, cettelimite au sens des distributionsveut dire que pournsuffisamment grand la mesure parφde la grandeurTndonne pratiquement la

mˆeme valeur que celle deT. Il ne devient plus possible de distinguer exp´erimentalement ces deux

distributions.

Noter qu"une suite de distributionsr´eguli`erespeut avoir comme limite unedistribution r´eguli`ere.

Exercice 25Montrer que siTλest la distribution associ´ee `a la fonctionsinλx, on a lim

λ→∞(D?)Tλ= 0.

Noter qu"une suite de distributionsr´eguli`erespeut avoir comme limite unedistribution non r´eguli`ere.

Exercice 26On d´efinit lafonction porteΠpar

Π(x) =?

0,sinon.

et on posegk(x) =kΠ(kx). Montrer que l"on a lim k→∞(D?)gk=δ.

3.4.2 S´eries de distributions

D´efinition 27On consid`ere la suite de distributions{Tn}∞1. On dit que la s´erie de distributions

n=1T n d´efinit une distributionTdeD?, si la suite dessommes partielles S N=N? n=1T n converge au sens des distributions versT, c"est-`a-dire, lorsqu"on a lim

N→∞(D?)SN= limN→∞(D?)N?

n=1T n=T. Dans la pratique, on a tr`es souvent des s´eries du type n=-∞Tn. Dans ce cas la d´efinition de la

convergence est tout `a fait analogue au cas pr´ec´edent : il suffit en fait de consid´erer la convergence

de la suite des sommes partielles "sym´etriques"SN=?N n=-NTn.

Exemple 28La suiteΔN=?N

n=-Nδnconverge dansD?vers une distribution not´ee? n?Zδn, qu"on appelle Cha et qu"on noteIII(lettre de l"alphabet cyrillique). En physique on l"appelle aussi "Peigne de Dirac".

3.4.3 Suites de fonctions convergeant versδ

Deux th´eor`emes sont d"un usage courant et permettent de reconnaˆıtre si une suite dedistribu-

tions r´eguli`eresconverge versδ. Th´eor`eme 2Soit{fn}∞n=0une suite de fonctionspositivesint´egrables telles que?

Rfn(x)dx= 1

et quefn(x)soit nulle en dehors d"un intervalle[-εn,+εn]aveclimn→∞εn= 0. Alors la suite de

distributions r´eguli`eres d´efinies parfntend versδ, lim n→∞(D?)fn=δ.

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS8

Th´eor`eme 3Soitfune fonction int´egrable v´erifiant?

Rf(x)dx= 1. On consid`ere, pourε >0la

distribution r´eguli`ere d´efinie par la fonction f

ε(x) =1ε

f(xε

Alorsfεtend versδlorsqueε→0,

limε→0(D?)fε=δ. Exercice 29D´emontrer quelimk→∞(D?)gk=δpour g k(x) =kΠ(kx) et pour g k(x) =ξa(kx)?

Rξa(kx)dx

o`uΠetξaont ´et´e d´efinis pr´ec´edemment. Exercice 30D´emontrer quelimk→∞(D?)gk=δpour g k(x) =sin2kxπkx 2 et pour g k(x) =1kπ 1x 2+1k 2. Exercice 31En admettant (voir au paragraphe 3.11.5) que l"on a pourλ >0(avec des notations incorrectes!) lim

λ→∞(D?)sinλxx

donner une interpr´etation correcte de la formule des physiciens

δ(k) =?

R e-2iπkxdx. Remarque 32On voit donc sur ces derniers exemples qu"il est possible d"approcher une dis-

tribution aussi "singuli`ere" queδpar des distributions "extrˆemement" r´eguli`eres. Le cas le plus

spectaculaire ´etant celui qui est fourni par le deuxi`eme exemple de l"exercice 30, o`u les distributions

approchantδsont associ´ees `a des fonctionsgk(x)qui se trouvent ˆetre des fonctions d"essai dans

Ceci est en fait une propri´et´e g´en´erale. On d´emontre qu"on peut approchertoutedistribution

deD?par une suite de distributions r´eguli`eres associ´ees `a des fonctions d"essai deD. On dit que

l"espaceDestdensedansD?.

3.5 Op´erations ´el´ementaires sur les distributions

Exercice 33D´esignons parfetgles distributions r´eguli`eres associ´ees aux deux fonctionsloca-

lement int´egrablesfetg. Montrer que l"on a, pour toute fonction d"essaiφ a)< f+g,φ >=< f,φ >+< g,φ > b)< λf,φ >=λ < f,φ >pourλ?Cquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Chapitre 3

Distributions

3.1 Introduction

3.1.1 Unit´e pour la convolution.

δ?T=T?δ=T.

3.1.2 Densit´e de charge d"une charge ponctuelle

2+∂2∂y

2+∂2∂z

2)V(?r) =14π?0ρ(?r).

3.1.3 Mesure d"une grandeur physique

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS2 HE?MOCOU?LEFIL0

T(x)φ0(x)dx.

T(x)φ1(x)dx

T(x)φ(x)dx

T(x)φ(x)dx,

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS3

1. L"ensemble des fonctions d"essai constitue unespace vectoriel de fonctions. C"est-`a-dire que

2. L"ensemble des distributions est l"ensemble desformes lin´eairessur l"espace vectoriel des

3. Le r´esultat de la mesure deTparφest alors le nombre complexe< T,φ >.

3.2 L"espace des fonctions d"essaiD

Exemple 2La fonctionξad´efinie par

2-x2)si|x|< a

0si|x| ≥a

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS4

3.3 L"espace des distributionsD?

T(aφ+bψ) =aT(φ) +bT(ψ)

1+T2,φ >=< T1,φ >+< T2,φ >

T= 0??< T,φ >= 0

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS5

3.3.1 Les distributions r´eguli`eres

Exemple 11

Exemple 12

Th´eor`eme 1

Cφ(x)dx=C?

φ(x)dx,

Exemple 16De mˆeme, la fonction de Heaviside

H(x) =?

1,six≥0;

0,sinon.

H(x)φ(x)dx=?

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS6

3.3.2 Distributions non r´eguli`eres

Elle n"est pas r´eguli`ere.

Exemple 20La forme lin´eairevp1x

3.4 Suites et s´eries de distributions

3.4.1 Limite d"une suite de distributions.

On ´ecrit cela sous la forme

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS7

λ→∞(D?)Tλ= 0.

Exercice 26On d´efinit lafonction porteΠpar

Π(x) =?

0,sinon.

3.4.2 S´eries de distributions

N→∞(D?)SN= limN→∞(D?)N?

Exemple 28La suiteΔN=?N

3.4.3 Suites de fonctions convergeant versδ

Rfn(x)dx= 1

CHAPITRE 3. DISTRIBUTIONS8

Rf(x)dx= 1. On consid`ere, pourε >0la

ε(x) =1ε

Alorsfεtend versδlorsqueε→0,

Rξa(kx)dx

λ→∞(D?)sinλxx

δ(k) =?

3.5 Op´erations ´el´ementaires sur les distributions