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Fiche élaborée par Elsa Baggenstos, professeur à Numéro 1 Scolarité

5ème Mathématique

Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

Les multiples et les diviseurs

Rappels:

1) Un multiple

Exemple : 48 est un multiple de 8 car il contient 6 fois le nombre 8

6x8 = 48

M8 = { 8; 16; 24; 32; 40 ; 48

2) Un diviseur :

Exemple : 2 est un diviseur de 48 car quand on divise 48 par 2, on obtient un nombre entier 48 : 2= 24

D48 = { 1; 2; 3; 4; 6; 8 ;12 ; 16 ; 24 ; 48}

Ils ne sont pas infinis contrairement aux multiples d'un nombre ! Astuce : pour être plus rapide et pour ne pas en oublier, tu peux faire dans ta tête 1x48, 2x24, 3x16, 4x12, 6x8

3) Un nombre premier a seulement deux diviseurs 1 et lui-même

Exemple: D13 = {1;13}

nombre premier car un nombre premier doit se diviser par 1 et par lui-même!

Critères de divisibilité:

Si son dernier chiffre est un nombre pair.

Si la somme de ses chiffres donne un multiple de 3. Si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.

S'il se termine par 0 ou 5

Sil la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 9.

Si ses deux derniers chiffres sont 00, 25, 50,75.

Si ces deux derniers chiffres sont 00 ou 50.

Si ces deux derniers sont: 00.

4) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers :

Technique :

a) Je divise 18 par le premier nombre premier de ma liste ci-dessous 18 : 2 = 9 Liste des nombres premiers inférieur à 30 = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 b) Je recommence avec 9, j le donc je prends le nombre premier suivant 9 : 3 = 3 c) 3 :3 = 1. d) ai réussi à décomposer 18 en produit de facteurs premiers. 18 2 9 3 3 3 1

18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32

produit facteur premier (le chiffre est un nombre premier) Exercice 1 : Donne les diviseurs communs des nombres suivants

D12 D20 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D48 D36 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 : Décompose chacun des nombres en produit de facteurs premiers.

Note les puissances si nécessaire

48 = . . . . . . . . . . . . . . 70 = . . . . . . . . . . . . . . 45 = . . . . . . . . . . . . . .

90 = . . . . . . . . . . . . . . 120 = . . . . . . . . . . . . . . 625 = . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 3 : Résous ce problème. Toutes tes opérations doivent être notées. Il doit y avoir une phrase de réponse à la question posée. Si tu le désires, tu Chez le marchand de meubles, des tabourets à trois pieds et des chaises à quatre pieds sont entassés les uns sur les autres. Janine compte les pieds et en trouve 60. Elle voit aussi deux fois plus de tabourets que de chaises.

Combien y a-t-il de tabourets et de chaises ?

Les corrections :

Exercice 1 : Donne les diviseurs communs des nombres suivants

D12 D20 = 1 ; 2 ; 4

D48 D36 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

Exercice 2 : Décompose chacun des nombres en produit de facteurs premiers.

Note les puissances si nécessaire

48 = 24 x 3 70 = 2 x 5 x 7 45 = 32 x 5

90 = 2 x 32 x 5 120 = 23 x 3 x 5 625 = 54

Exercice 3 : Résous ce problème. Toutes tes opérations doivent être notées. Il doit y avoir une phrase de réponse à la question posée. Si tu le désires, tu Chez le marchand de meubles, des tabourets à trois pieds et des chaises à quatre pieds sont entassés les uns sur les autres. Janine compte les pieds et en trouve 60. Elle voit aussi deux fois plus de tabourets que de chaises.

Combien y a-t-il de tabourets et de chaises ?

M3 = {3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 ; 27 ; 30 ; 33 ; 36 ; 39 ; 42 ; 45 ; 48 ; 51 ; 54 ; 57 ; 60 M4 = {4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40 ; 44 ; 48 ; 52 ; 56 ; 60

36 + 24 = 60 36 : 3 = 12 et 24 : 4 = 6 12 = 2 x 6

Réponse : Il y a 12 tabourets et 6 chaises.

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