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Il reste alors π que l'on classe dans la catégorie des nombres irrationnels a) Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1

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Définition On considère a et b, deux entiers avec b différent de zéro Le quotient Exemple : Les nombres suivants sont des nombres rationnels 12 4 (entier)

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b ou le numérateur a est un entier et le dénominateur b est un entier • Selon cette définition des nombres rationnels, tous les entiers sont des nombres ra-

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10 371

100

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS

I Nature des nombres :

1) Activité :

En maternelle, on a appris à compter des objets, et on utilisait les nombres 1 , 2 , 3 ....ces nombres sont les

premiers qui sont utilisés " naturellement » , on les nomme les nombres entiers naturels.

Depuis à l"école primaire et au collège, on a découvert d"autres nombres. Voici une liste de nombres :

-27,2 ; 10 371

100 ; 2713 ; 3

2 ; - 2115 ; p ; - 10

5 ; 4721 ; - 15 ; - 10

3 ; 37

Dans cette liste :

a) entoure en bleu les nombres entiers b) entoure en rouge les nombres entiers relatifs (certains nombres peuvent être entourés plusieurs fois) c) entoure en vert les nombres décimaux

Quels nombres reste-t-il ?

il reste 2713 ; 4721 ; - 10

3 et p

Les premiers sont des nombres en écriture fractionnaire appelés nombres rationnels

On remarque que 37 est aussi un nombre rationnel car 37 peut s"écrire sous la forme d"une fraction 37 = 37

Pourquoi un nombre décimal est-il aussi un rationnel ? - 27,2 est aussi un rationnel car - 27,2 = - 272

10 Il reste alors p que l"on classe dans la catégorie des nombres irrationnels.

37 4

2 0 27
13 47
21
- 10 3

0,3333333333333....=

1 3 p

Nombres entiers

naturels notés V

Nombres entiers

relatifs notés

WNombres décimaux

Nombres rationnels

notés X

Nombres irrationnels

2) définitions :

Les nombres entiers naturels sont les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ... Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et négatifs.

Un nombre décimal est le quotient d"un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c"est aussi un nombre

dont la partie décimal s"écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre rationnel est le quotient d"un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n"est pas rationnel.

II Fractions :

1) Somme et différence :

a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs quelconques et si k ¹ 0, alors : a k + b k = a+b k et a k - b k = a-b k

b) Règle n°2 : Si les fractions ne sont pas au même dénominateur, on les réduit au même dénominateur puis on

applique la règle n°1.

Exercice type 1: Ecris A = 3

21
- 5

14 sous la forme d"une fraction irréductible

A = 3´2

21´2 - 5´3

14´3 Etape n°1 : On réduit au même dénominateur

A = 6 42
- 1442 Etape n°2 : On soustrait les numérateurs A = -9 42

Etape n°3 : On simplifie la fraction A = -3

2) Produit :

a) Règle : Pour multiplier deux quotients, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre

eux. b) Rappel de 4 ème : le produit de deux nombres relatifs négatifs est un nombre relatif positif

Exercice type 2 : Ecris B = 21

50 ´ (- 7014 ) sous forme d"une fraction irréductible.

B = - 7´3´7´10

5´10´7´2 Etape n°1 : On met le signe du résultat et On décompose les nombres avant de calculer

Attention on ne réduit pas au même dénominateur.

B = - 7´3

5´2

Etape n°2 : On simplifie

B = - 2110

Etape n°3 : On calcule

3) Division :

a) Définition : Deux nombres sont inverses l"un de l"autre si leur produit est égal à 1 b) Propriété : Si c et d sont deux nombres relatifs non nuls quelconques, alors l"inverse de c d est d c c) Règle : Pour diviser par c d (avec c ¹ 0 et d ¹ 0) on multiplie par son inverse.

Autrement dit : a

bc d = a b ¸c d = a b ´d c avec b, c et d non nul.

Exercice type 3 : Ecris C = - 2221

40
-27 sous la forme d"une fraction irréductible.

C = - 22

21 ´ -27

40 Etape n°1 : on transforme la division en une multiplication

C = +

2´11´9´3

7´3´2´20

Etape n°2 : On s"occupe du signe puis on décompose les nombres C =

11´9

7´20

Etape n°3 : On simplifie

C = 99
140

Etape n°4 : On calcule

4) Priorités opératoires :

a) Priorités n°1: Les parenthèses indiquent les calculs à effectuer en premier. On commence les calculs par ceux qui sont dans les parenthèses les plus intérieures.

Exercice type 4 : Calcule puis écris D =7

´ (2

7 - ( 5

7 + 3

21 )) sous forme d"une fraction irréductible.

D =7

15 ´ (2

7 - ( 5

7 + 3

21 ))
D = 7 15

´ (2

7 - ( 5

7 + 3 ´ 1

3 ´ 7 ))

D = 7 15

´ (2

7 - ( 5

7 + 1

7 D = 7 15

´ (2

7 - 6

7 ) D = 7 15

´ -4

D = -4

b) Priorités n°2 : En l"absence de parenthèses on effectue les opérations dans l"ordre suivants :

- puissance - multiplication - addition et soustraction Exercice type 5 : Ecris E, F et G sous la forme de fractions irréductibles.

E = (2

3 )² - 3 7 F = 5

6 - 7

6 ´ 10

3 E = 4 9 - 3 7 F = 5

6 - 7018 On ne décompose pas 18 car 18 est un multiple de 6

E = 28
63
- 2763 F = 15

18 - 7018

E = 1 63

F = - 5518

G = 3 -

3 4 - 5 2 3 4 + 5 2

G = 3 -( 3

4 - 10

4 ) : ( 3

4 + 10

4 )

G = 3 - (-

7 4 ): 13 4

G =3 +

7 4

´ 4

13 G = 3 1 + 7

13 G = 39

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NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS

I Nature des nombres :

1) Activité :

100 ; 2713 ; 3

5 ; 4721 ; - 15 ; - 10

3 ; 37

Dans cette liste :

Quels nombres reste-t-il ?

3 et p

37 4

0,3333333333333....=

Nombres entiers

Nombres entiers

WNombres décimaux

Nombres rationnels

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2) définitions :

II Fractions :

1) Somme et différence :

Exercice type 1: Ecris A = 3

14 sous la forme d"une fraction irréductible

A = 3´2

21´2 - 5´3

14´3 Etape n°1 : On réduit au même dénominateur

Etape n°3 : On simplifie la fraction A = -3

2) Produit :

Exercice type 2 : Ecris B = 21

50 ´ (- 7014 ) sous forme d"une fraction irréductible.

B = - 7´3´7´10

5´10´7´2 Etape n°1 : On met le signe du résultat et On décompose les nombres avant de calculer

B = - 7´3

5´2

Etape n°2 : On simplifie

B = - 2110

Etape n°3 : On calcule

3) Division :

Autrement dit : a

Exercice type 3 : Ecris C = - 2221

C = - 22

21 ´ -27

40 Etape n°1 : on transforme la division en une multiplication

2´11´9´3

7´3´2´20

11´9

7´20

Etape n°3 : On simplifie

Etape n°4 : On calcule

4) Priorités opératoires :

Exercice type 4 : Calcule puis écris D =7

´ (2

7 - ( 5

7 + 3

21 )) sous forme d"une fraction irréductible.

15 ´ (2

7 - ( 5

7 + 3

´ (2

7 - ( 5

7 + 3 ´ 1

3 ´ 7 ))

´ (2

7 - ( 5

7 + 1

´ (2

7 - 6

´ -4

D = -4

E = (2

6 - 7

6 ´ 10

6 - 7018 On ne décompose pas 18 car 18 est un multiple de 6

18 - 7018

F = - 5518

G = 3 -

G = 3 -( 3

4 - 10

4 ) : ( 3

4 + 10