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Écriture décimale des nombres • Définition d'un nombre rationnel (rappel) : On appelle nombre rationnel un nombre qui peut s'écrire comme quotient de deux

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Il reste alors π que l'on classe dans la catégorie des nombres irrationnels a) Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1

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Définition On considère a et b, deux entiers avec b différent de zéro Le quotient Exemple : Les nombres suivants sont des nombres rationnels 12 4 (entier)

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b ou le numérateur a est un entier et le dénominateur b est un entier • Selon cette définition des nombres rationnels, tous les entiers sont des nombres ra-

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Nombres rationnels et irrationnels

Cycle 1

Séance 1

Écriture décimale des nombres

Définition d'un nombre rationnel (rappel) :

On appelle nombre rationnel un nombre qui peut s'écrire comme quotient de deux entiers relatifs. On dit qu'un réel a est un nombre rationnel s'il peut s'écrire sous la forme p q où p et q sont deux entiers relatifs (q 0).

Propriété (admise sans démonstration) :

- Tout nombre réel peut s'écrire sous la forme d'une suite décimale illimitée.

- Si la suite décimale illimitée est périodique, le nombre réel est un nombre rationnel (quotient de deux

entiers).

Exemples de nombre rationnels :

7 = 0,714285714285...

La barre placée sous la période signifie qu'elle est répétée indéfiniment. 7

11 = 0,63636363...

104

77 = 0,350649350649...

La suite des décimales peut être périodique seulement à partir d'un certain rang. Un exemple très important de nombre irrationnel ʌ

ʌ,141592653589...

La suite des décimales du nombre ʌériode.

Le mathématicien Lambert a démontré au XVIIIe siècle que ʌ est un nombre irrationnel. Par conséquent

l'écriture décimale du nombre ʌne possède pas de période. Nous parlerons ultérieurement des fractions associés au nombre ʌ. 4 Il y a un poème permettant de retenir les décimales de ʌ : " Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages,

Ô immortel Archimède... »

Un autre nombre irrationnel important : 2

2 = 1,414213...

On a démontré dès l'antiquité (Euclide) que 2 est un nombre irrationnel. Par conséquent, l'écriture décimale de 2 ne comporte pas de période. Quelques précisions sur les nombres décimaux et rationnels

Nombre décimal : écriture décimale illimitée constituée de 0 à partir d'un certain rang ; on dit que son écriture

décimale est finie (écriture périodique ave une période de longueur 1 constituée de 0).

Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et n'est pas constituée de 0 à partir

d'un certain rang.

Appendice : adjectifs avec préfixe en -ir

- irréfutable - irréprochable - irrécupérable - irresponsable - irrégulier - irréel - irrespirable - irréductible - irremplaçable - irrattrapable - irrémissible - irrémédiable - irréversible - irréalisable - irréaliste - irréparable - irrésistible - irréfragable - irrévocable - irrespectueux - irrésolu - irréprochable - irrévérencieux - irraisonné

Observer les différentes orthographes (rationalité n'a qu'un seul n alors que rationnel en a deux)

RATION RATIONNEL RATIONALITE

Séance 2

Autour de la période des nombres rationnels

1. Un nombre bizarre....

Taper 10

81 sur une calculatrice et observer les différentes décimales :

81 = 0,123456790123...

2. Retrouver un nombre à partir de son écriture décimale illimitée

Énoncé :

1°) On considère le nombre x = 3,7777... (le 7 souligné signifie qu'il se répète indéfiniment dans le

développement décimal) a) Donner l'écriture décimale de 10x sans utiliser de calculatrice, b) En remarquant que 9x = 10x - x et en utilisant le a), démontrer que 9x est un entier naturel, En déduire la valeur exacte de x (en fraction irréductible).

2°) En adaptant la méthode du 1°), déterminer la valeur exacte du nombre y = 5,141414...

Résolution :

1°) x = 3,7777...

10x = 37,777...

9x = 10x - x

= 34

9x est donc un nombre entier naturel.

9x = 34

x = 34 9 x est bien un rationnel

2°) y = 5,141414...

100y = 514,1414...

N.B. : La puissance de 10 par laquelle on multiplie le nombre est choisie en fonction de la période du nombre.

99y = 100y - y

= 509

99y = 509

On en déduit que y = 509

99.
6

3. Trouver un nombre x tel que x = 0,1234567891234...

x = 0,1234567891234...

109x = 123456789,123456789123...

999 999 999x = 109x - x

= 123 456 789

999 999 999x = 123 456 789

On a donc x = 123 456 789

999 999 999 et en simplifiant on obtient x = 13 717 421

111 111 111.

Appendice :

Lors de cette séance, des élèves se sont amusés sur la calculatrice et ont fait quelques découvertes que je livre

ici.

Hugues Graut (1ère S3) :

1111 1111 = 1234321

11111 11111 = 123454321

111111 111111 = 1,2345654321 1010 (c'est évidemment un résultat obtenu avec la calculatrice)

etc.

Jean-Baptiste Vergnes (1ère S1) :

211 = 121

2111= 12321

21111= 1234321

211111= 123454321

Plus le nombre de 1 est grand, plus le palindrome est grand. 7

Victor Spender (1ère S1) :

81 = 0,0123456790123...

(Victor Spender a en fait écrit : 20,0123456790123...162 sans voir que c'était très proche de l'exemple

donné).

Utilisation de la calculatrice :

Exemple : 0,333 entrer

= 0,333

Puis Maths

1 : Frac entrer

Rep Frac entrer

= 1 3 Exemple : calcul de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

3 ((1 - (1/3) ^5) / (1/3)) = 4,48140...

Maths 1 : Frac rep Frac

121/27

Séance 3

Démonstrations de l'irrationalité de 2.

1. Étude d'une démonstration

Existe-t-il un nombre rationnel a positif tel que 2a = 2 ?

Nous allons faire un raisonnement par l'absurde.

Supposons qu'il existe un rationnel a tel que22a.

a peut s'écrire sous la forme de fraction irréductible c b.

On a alors :

2 2c b soit 2 22c
b ou encore 2 22c b. Donc 2c est pair* (puisque c'est un multiple de 2) et par conséquent c est pair.** c est pair donc il existe un naturel k tel que c = 2k.

2 22c b et que c = 2k donc 2 2(2 ) 2k b soit 2 24 2k b d'où 2 22k b.

Donc 2b est pair et b est pair.**

c et b sont pairs, donc c b n'est pas irréductible, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse***.

Donc a = c

b n'existe pas. * Les entiers pairs sont les nombres qui s'écrivent sous la forme 2k où k est un entier.

** En effet, si un entier est pair alors son carré est pair ; si un entier est impair, son carré est impair (ce résultat

se démonte aisément, nous l'admettons ici).

*** On devrait plutôt dire " supposition » car le mot " hypothèse » a un sens précis en mathématiques (il signifie

" donnée ») et ce n'est pas ce sens qui est employé ici (c'est le sens courant). 9

2. Une autre démonstration

Deux rappels utiles :

On dit que deux entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Un entier naturel est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.

Le but de cet exercice est de démontrer que racine de 2 est un nombre irrationnel. Pour cela, on va utiliser un

raisonnement par l'absurde, c'est-à-dire que l'on suppose que racine de 2 est un nombre rationnel et on

démontre alors que ce n'est pas possible parce que l'on aboutit à une contradiction.

On suppose que 2 est un nombre rationnel ; il existe donc deux entiers naturels non nuls p et q premiers entre

eux tels que racine de 2p q (1) (on ne cherche pas les valeurs de p et q !)

1°) Démontrer que l'on a : 2 22q p (1').

2°) Recopier et compléter les tableaux suivants

Chiffre des unités de p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de

Chiffre des unités de q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de

2 2q

3°)

a) Quel doit être le chiffre des unités de 2p et 22q pour que l'égalité (1') puisse être vérifiée ?

b) Quelles sont alors les possibilités pour le chiffre des unités de p et pour celui de q ? c) Les entiers p et q peuvent-ils alors être premiers entre eux?

4°) Conclure.

Solution :

1°)

(1) donne successivement 2q p

222q p

2 22q p (1')

2°)

Chiffre des unités de p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de

2p 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Chiffre des unités de q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de

2 2q 0 2 8 8 2 0 2 8 8 2

3°)

a) Le chiffre des unités de 2p et 22q doit être le même pour que l'égalité (1') puisse être vérifiée.

b) Il n'y a qu'une possibilité pour le chiffre des unités de p et pour celui de q : 0.

c) Les entiers p et q ne peuvent alors pas être premiers entre eux puisqu'ils sont tous les deux divisibles par 10.

(Par définition, deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1).

4°) On a supposé que 2 était rationnel c'est-à-dire que 2 pouvait s'écrire sous la forme p

q avec p et q entiers naturels premiers entre eux.

On a alors abouti à une contradiction puisque nous avons vu qu'alors p et q ne pouvaient pas être premiers entre

eux. On en déduit que l'hypothèse était absurde.

2 n'est pas un nombre rationnel ; 2 est donc un nombre irrationnel.

Séance 4

Afficher les décimales connues par la calculatrice

1. Autour de 2

Lorsque l'on tape 2, la calculatrice affiche

1,414213562

La calculatrice donne une valeur décimale approchée de 2.

Le nombre 2 est irrationnel donc son écriture

décimale illimitée n'est pas périodique.

On peut écrire : 2 1,414213562.

Il est bien important de distinguer les " = » des " ". On fait toujours attention à bien distinguer " valeur exacte » et " valeur approchée ». Toutes les décimales affichées sont justes sauf peut-être la dernière. Question : La dernière décimale affichée est-elle exacte ou non ?

On calcule (2- 1,41421356) 910.

Faire attention à bien positionner les parenthèses.

La calculatrice affiche : 2,3731.

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Nombres rationnels et irrationnels

Cycle 1

Séance 1

Écriture décimale des nombres

Définition d'un nombre rationnel (rappel) :

Propriété (admise sans démonstration) :

Exemples de nombre rationnels :

7 = 0,714285714285...

11 = 0,63636363...

77 = 0,350649350649...

ʌ,141592653589...

Ô immortel Archimède... »

Un autre nombre irrationnel important : 2

2 = 1,414213...

Appendice : adjectifs avec préfixe en -ir

Séance 2

Autour de la période des nombres rationnels

1. Un nombre bizarre....

Taper 10

81 sur une calculatrice et observer les différentes décimales :

81 = 0,123456790123...

2. Retrouver un nombre à partir de son écriture décimale illimitée

Énoncé :

1°) On considère le nombre x = 3,7777... (le 7 souligné signifie qu'il se répète indéfiniment dans le

2°) En adaptant la méthode du 1°), déterminer la valeur exacte du nombre y = 5,141414...

Résolution :

1°) x = 3,7777...

10x = 37,777...

9x = 10x - x

9x est donc un nombre entier naturel.

9x = 34

2°) y = 5,141414...

100y = 514,1414...

99y = 100y - y

99y = 509

On en déduit que y = 509

3. Trouver un nombre x tel que x = 0,1234567891234...

109x = 123456789,123456789123...

999 999 999x = 109x - x

999 999 999x = 123 456 789

On a donc x = 123 456 789

999 999 999 et en simplifiant on obtient x = 13 717 421

111 111 111.

Appendice :

Hugues Graut (1ère S3) :

1111 1111 = 1234321

11111 11111 = 123454321

111111 111111 = 1,2345654321 1010 (c'est évidemment un résultat obtenu avec la calculatrice)

Jean-Baptiste Vergnes (1ère S1) :

211 = 121

2111= 12321

21111= 1234321

211111= 123454321

Victor Spender (1ère S1) :

81 = 0,0123456790123...

Utilisation de la calculatrice :

Exemple : 0,333 entrer

Puis Maths

1 : Frac entrer

Rep Frac entrer

3 ((1 - (1/3) ^5) / (1/3)) = 4,48140...

Maths 1 : Frac rep Frac

121/27

Séance 3

Démonstrations de l'irrationalité de 2.

1. Étude d'une démonstration

Nous allons faire un raisonnement par l'absurde.

Supposons qu'il existe un rationnel a tel que22a.

On a alors :

2 22c b et que c = 2k donc 2 2(2 ) 2k b soit 2 24 2k b d'où 2 22k b.

Donc 2b est pair et b est pair.**

Donc a = c

2. Une autre démonstration

Deux rappels utiles :

1°) Démontrer que l'on a : 2 22q p (1').

2°) Recopier et compléter les tableaux suivants

Chiffre des unités de p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de

Chiffre des unités de q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9