21 sept 2015 · 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) 10 1 Page 2 Chapitre : Limites et continuité Terminale S 1 Limites à l'infini 1 1 Limites
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LIMITES ET CONTINUITÉ
Ph DEPRESLE
21 septembre 2015
Tabledes matières
1 Limites à l"infini2
1.1 Limites infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Limites finies-Asymptotes horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Limites en un réel3
2.1 Limites infinies en un réel-Asymptotes verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Limite en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Règles opératoires concernant les limites4
3.1 limite d"une somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 limite d"un produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 limite d"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 Limite d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Limites de fonctions usuelles5
5 Théorème d"encadrement (des gendarmes)5
6 Continuité6
6.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.2 Théorème des valeurs intermédiaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 QCM8
8 EXERCICES: Les exercices debase9
9 EXERCICES: Les exercices debase ( corrigés)10
1Chapitre : Limites et continuitéTerminale S
1 Limites à l"infini
1.1 Limitesinfinies
Définition 1.Soit f une fonction définie sur un intervalle]A,+∞[.On ditque f(x)tend vers+∞lorsque x tend vers+∞quand toutintervalle]M,+∞[contienttoutesles
valeurs f(x)pour x assez grand.On notelimx→+∞f(x)=+∞.
2462 4 6 ?MCf? x 0 On définit de la même façon les autres notions de limites infinies en+∞ou-∞.
1.2 Limitesfinies-Asymptoteshorizontales
Définition 2.Soit f une fonction définie sur un intervalle]A,+∞[et?un nombre réel.On dit que f admet?comme limite en+∞lorsque tout intervalle ouvert de centre?contient toutes
les valeurs f(x)pour x assez grand.Cette définition peut se traduire :εétant un réel strictement positif arbitrairement choisi, on peut
trouver un réel x0tel que, dès que x>x0on a?-ε On notelimx→+∞f(x)=?.
24
-22 4 6 8 10 12 14 Cf ?x0?? Ph Depresle : Notes de coursPage 2 sur12
Chapitre : Limites et continuitéTerminale S
Définition 3.Silimx→+∞f(x)=?(??R), ondit quela droite d"équation y=?estasymptotehorizontale
à la courbeCfen+∞.
1234
1 2 3 4 5 6
CfIci limx→+∞f(x)=3
Ladroite d"équationy=3 est asymptote àCf
en+∞. 2 Limites en un réel
2.1 Limitesinfinies en un réel-Asymptotesverticales
Soitaun réel et une fonctionfdéfinie sur un intervalle de la forme ]a-ε,a[ ou ]a,a+ε[ . Danschacun descassuivants on dit que ladroite d"équationx=aest asymptote verticaleà la courbe représentative def. 1234
-11 2 3 4 5 Cf Ici limx→x>22f(x)=+∞
la droite d"équationx=2 est asymptote àCf 12345
-1 -21 2 3 4 5-1-2-3 La droite d"équationx= -1 est asymptote
verticale à la courbe. et la droite d"équationy=3 est asymptote horizontale à la courbe. Ph Depresle : Notes de coursPage 3 sur
12 Chapitre : Limites et continuitéTerminale S
2.2 Limite en un point
Définition 4.On dit que f admet?comme limite en a lorsque tout intervalle de centre?contient toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment proche de a. On notelimx→af(x)=?.
3 Règles opératoires concernant les limites
Tous les résultats suivants sont admis.fetgsont deux fonctions données. adésigne un réel, ou+∞ou-∞, etLetL?sont deux nombres réels. 3.1 limite d"une somme
Si limx→af(x) =???+∞-∞+∞
Si limx→ag(x) =??+∞-∞+∞-∞-∞ alors limx→a(f+g)(x) =?+??+∞-∞+∞-∞???? 3.2 limite d"un produit
Si limx→af(x) =??non nul0+∞ou-∞
Si limx→ag(x) =??+∞ou-∞+∞ou-∞+∞ou-∞ alors limx→a(f g)(x) =?.??±∞????±∞ 3.3 limite d"un quotient
Si limx→af(x) =???=0?±∞0±∞
Si limx→ag(x) =???=0
??=0 etg(x) garde un signe constant au voisinage dea ±∞??0±∞
alors limx→a(fg)(x) = Remarque :Il y a 4 formes indéterminées :+∞-∞; 0×∞;00;∞∞ 3.4 Limite d"une fonction composée
Théorème 1.admisa,b et c désignantdes réels,ou+∞ou-∞. silimx→af(x)=b et silimX→bg(X)=c alorslimx→ag(f(x))=c. Ph Depresle : Notes de coursPage 4 sur
12 Chapitre : Limites et continuitéTerminale S
4 Limites defonctions usuelles
246810
-22 4-2-4y=x2 limx→-∞x2=+∞ lim x→+∞x2=+∞ 246810
-2 -4 -62-2-4 y=x3 limx→-∞x3=-∞ lim x→+∞x3=+∞ 246810
-2 -4 -62 4-2-4y=1x limx→-∞1x=0 limx→x>001x=+∞ lim x→+∞1 x=0 limx→x<001x=-∞ ?n?N?: limx→+∞xn=+∞
limx→+∞?
x=+∞ Sinnon nul est pair : limx→-∞xn=+∞. Sinest impair : limx→-∞xn=-∞.
5 Théorème d"encadrement (des gendarmes)
Théorème 2.a désigne un réel, ou+∞ou-∞.?est un réel. Si f?g?h et si les fonctions f et h ont la même limite?en a, alors il en est de même pour g. Exemple :On considère la fonctionf:x?→cos4x x2. Étudier les limites defen+∞et en donner une interprétation graphique. ?x?R?:-1?cos4x?1 etx2>0 donc -1 x2?cos4xx2?1x2. On a donc :
-1 x2?f(x)?1x2. lim x→+∞1 x2=limx→+∞-1x2=0 , le théorème des gendarmes per- met de conclure que lim x→+∞f(x)=0. présentative defau voisinage de+∞ 24
-22 4-2-4 Ph Depresle : Notes de coursPage 5 sur12
Chapitre : Limites et continuitéTerminale S
quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6
On notelimx→+∞f(x)=?.
24-22 4 6 8 10 12 14 Cf ?x0??
Ph Depresle : Notes de coursPage 2 sur12
Chapitre : Limites et continuitéTerminale S
Définition 3.Silimx→+∞f(x)=?(??R), ondit quela droite d"équation y=?estasymptotehorizontale
à la courbeCfen+∞.
12341 2 3 4 5 6
CfIci limx→+∞f(x)=3
Ladroite d"équationy=3 est asymptote àCf
en+∞.2 Limites en un réel
2.1 Limitesinfinies en un réel-Asymptotesverticales
Soitaun réel et une fonctionfdéfinie sur un intervalle de la forme ]a-ε,a[ ou ]a,a+ε[ . Danschacun descassuivants on dit que ladroite d"équationx=aest asymptote verticaleà la courbe représentative def. 1234-11 2 3 4 5 Cf
Ici limx→x>22f(x)=+∞
la droite d"équationx=2 est asymptote àCf 12345-1 -21 2 3 4 5-1-2-3
La droite d"équationx= -1 est asymptote
verticale à la courbe. et la droite d"équationy=3 est asymptote horizontale à la courbe.Ph Depresle : Notes de coursPage 3 sur
12Chapitre : Limites et continuitéTerminale S
2.2 Limite en un point
Définition 4.On dit que f admet?comme limite en a lorsque tout intervalle de centre?contient toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment proche de a.On notelimx→af(x)=?.
3 Règles opératoires concernant les limites
Tous les résultats suivants sont admis.fetgsont deux fonctions données. adésigne un réel, ou+∞ou-∞, etLetL?sont deux nombres réels.3.1 limite d"une somme
Si limx→af(x) =???+∞-∞+∞
Si limx→ag(x) =??+∞-∞+∞-∞-∞ alors limx→a(f+g)(x) =?+??+∞-∞+∞-∞????3.2 limite d"un produit
Si limx→af(x) =??non nul0+∞ou-∞
Si limx→ag(x) =??+∞ou-∞+∞ou-∞+∞ou-∞ alors limx→a(f g)(x) =?.??±∞????±∞3.3 limite d"un quotient
Si limx→af(x) =???=0?±∞0±∞
Si limx→ag(x) =???=0
??=0 etg(x) garde un signe constant au voisinage dea±∞??0±∞
alors limx→a(fg)(x) = Remarque :Il y a 4 formes indéterminées :+∞-∞; 0×∞;00;∞∞3.4 Limite d"une fonction composée
Théorème 1.admisa,b et c désignantdes réels,ou+∞ou-∞. silimx→af(x)=b et silimX→bg(X)=c alorslimx→ag(f(x))=c.Ph Depresle : Notes de coursPage 4 sur
12Chapitre : Limites et continuitéTerminale S
4 Limites defonctions usuelles
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-22 4-2-4y=x2 limx→-∞x2=+∞ lim x→+∞x2=+∞246810
-2 -4 -62-2-4 y=x3 limx→-∞x3=-∞ lim x→+∞x3=+∞246810
-2 -4 -62 4-2-4y=1x limx→-∞1x=0 limx→x>001x=+∞ lim x→+∞1 x=0 limx→x<001x=-∞ ?n?N?: limx→+∞xn=+∞
limx→+∞?
x=+∞ Sinnon nul est pair : limx→-∞xn=+∞.Sinest impair : limx→-∞xn=-∞.
5 Théorème d"encadrement (des gendarmes)
Théorème 2.a désigne un réel, ou+∞ou-∞.?est un réel. Si f?g?h et si les fonctions f et h ont la même limite?en a, alors il en est de même pour g. Exemple :On considère la fonctionf:x?→cos4x x2. Étudier les limites defen+∞et en donner une interprétation graphique. ?x?R?:-1?cos4x?1 etx2>0 donc -1 x2?cos4xx2?1x2.On a donc :
-1 x2?f(x)?1x2. lim x→+∞1 x2=limx→+∞-1x2=0 , le théorème des gendarmes per- met de conclure que lim x→+∞f(x)=0. présentative defau voisinage de+∞ 24-22 4-2-4