Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue 9 Exercice 2 7 Soit f : R → R une fonction dérivable, et telle qu'il existe M satisfaisant f (x)
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Fonctions continues et uniformement continues
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues 6 2 3 Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes 10 3 2 Il s'agit de montrer tout élément λ de [y1, y2] est élément de ƒ(I) Comme y1 et y2
[PDF] 2007-2008 Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1
Montrer que la fonction f(x) = x2 n'est pas uniformément continue sur [0, +∞[ Corrigé 1 On écrit la négation de l'uniforme continuité ∃ε0 > 0 tq ∀α > 0, ∃x
[PDF] Continuité sur un intervalle - Maths-francefr
3 Fonctions uniformément continues sur un intervalle 2) Montrer que la fonction f : x ↦→ x2 n'est pas uniformément continue sur [0, +∞[ Solution 2
[PDF] Analyse 2 - Département de mathématiques et de statistique
Montrer qu'une fonction f : (a, b) → R admettant une dérivée bornée est uniformément continue Solution En vertu du théor`eme des accroissements finis , on a
[PDF] Fonctions continues entre espaces métriques - Licence de
Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue 9 Exercice 2 7 Soit f : R → R une fonction dérivable, et telle qu'il existe M satisfaisant f (x)
[PDF] 1 Fonctions périodiques - Licence de mathématiques Lyon 1
Si de plus est f est continue et non constante, montrer que l'ensemble de ses Proposition 4 Toute fonction périodique continue est uniformément continue
[PDF] SMIA 1 ANALYSE 1 FONCTIONS REELLES : Limite, Continuité et
Prolongement d'une fonction uniformément continue 30 2 5 Fonctions 4 2 Comment étudier une suite récurrente La caractérisation séquentielle est intéressante lorsque l'on veut montrer que la limite d'un fonction en un certain
[PDF] Chapitre 8 :Fonctions continues
La composée, quand elle est définie, de deux fonctions continues est une fonction continue montrer Maintenant : On construit par dichotomie deux suites )(n a et )(n Df : Si f est uniformément continue sur D, alors f est continue sur D
[PDF] Convergence uniforme
6 jan 2012 · devons montrer que la suite (am)n∈N converge elle aussi vers l Si la convergence d'une suite de fonctions continues est uniforme, la limite est qui, à présent, est le mathématicien qui sait comment doivent être traitées
[PDF] continuité uniforme graphiquement
[PDF] fonction uniformément continue non lipschitzienne
[PDF] difference entre continue et uniformement continue
[PDF] fonction continue mais pas uniformément continue
[PDF] plan histoire des arts
[PDF] sciences des aliments cours pdf
[PDF] qualité organoleptique des aliments définition
[PDF] cours de sciences des aliments
[PDF] exercice corrigé convexité terminale es
[PDF] exercice convexité mpsi
[PDF] connexité exercices corrigés
[PDF] exercices convexité
[PDF] ensemble convexe exercices corrigés
[PDF] tp mps sciences et aliments
Maintenant qu"on sait ce qu"est une distance, on peut définir la continuité pour des fonctions entre espaces
métriques, plutôt que deRdansR; c"est essentiellement la même chose, en remplaçant|x-y|(qui n"a a priori
pas de sens dans un espace métrique) pard(x,y). Définition 2.1.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques,f:X→Yetx?X. On dit quefestcontinue enxsi : ?ε >0?δ >0?x??X d(x,x?)< δ?D(y,y?)< ε . On dit quefestcontinue surXsi elle est continue enxpour toutx?X, autrement dit : ?x?X?ε >0?δ >0?x??X d(x,x?)< δ?D(f(x),f(x?))< ε . Ou encore (l"ordre dans lequel on écrit les deux?ne change pas le sens de l"énoncé) : ?ε >0?x?X?δ >0?x??X d(x,x?)< δ?D(f(x),f(x?))< ε .Il faut bien comprendre que, ci-dessus,δdépend deεet du pointxoù l"on se place. Une définition plus
forte imposerait que le mêmeδfonctionne pour tous lesx?Xsimultanément; dans ce cas, on dit quefest
uniformément continue.Définition 2.2.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques, etf:X→Y. On dit quefestuniformément
continue surXsi ?ε >0?δ >0?x?X?x??X d(x,x?)< δ?D(f(x),f(x?))< ε .Par rapport à la définition de la continuité, on a remplacé "?x?X?δ >0" par "?δ >0?x?X" :δdépend
toujours deε, mais ne dépend plus dex. Toute fonction uniformément continue est continue, mais la réciproque
est fausse. Exercice 2.3.Montrer que la fonctionx?→x2n"est pas uniformément continue surR.Exercice 2.4.Pour chacun des énoncés suivants, déterminer toutes les fonctionsf:R→Rqui le satisfont :
1.?δ >0?ε >0?x?X?x??X|x-x?[< δ? |f(x)-f(x?)|< ε.
2.?ε >0?x?X?x??X?δ >0|x-x?[< δ? |f(x)-f(x?)|< ε.
Définition 2.5.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques. On dit quef:X→Yestlipschitziennes"il
existeK >0tel que Exercice 2.6.Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. x?R. Montrer quefest lipschitzienne.Théorème 2.8.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques,f:X→Yune fonction etx?X. Les propriétés
suivantes sont équivalentes : -fest continue enx. Pour toute suit e(xn)d"éléments deXqui converge versx, la suite(f(xn))converge versf(x).Preuve:
Supposons tout d"abord quefest continue enx, et fixons une suite(xn)qui converge versxainsi ce qui prouve que(f(xn))converge versf(x). Réciproquement, supposons quefne soit pas continue enx: ?ε >0?δ >0?y?X d(x,x?)< δetd(f(x),f(y))≥ε . Fixonsε >0comme ci-dessus, et appliquons la propriété pourδ=1n : ceci nous donne une suite(yn) telle qued(x,yn)<1n pour toutn?N?(en particulier,(yn)converge versx) maisd(f(yn),f(x))≥ε (par conséquent,f(yn)ne converge pas versf(x)).Théorème 2.9.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques etf:X→Yune fonction. Les propriétés
suivantes sont équivalentes :1.fest continue.
2.Pour tout ouvert OdeY,f-1(O)est un ouvert deX.
3. Pour tout fermé FdeY,f-1(F)est un fermé deX. On rappelle quef-1(A) ={x?X:f(x)?A}désigne l"image inversedeAparf.Preuve:
Supposons quefest continue, et soitOun ouvert deY. Fixonsx?f-1(O), et considérons une suite (xn)qui tend versx. Alorsf(xn)tend versf(x)puisquefest continue, doncf(xn)appartient àO pournsuffisamment grand puisquef(x)?OetOest ouvert. Par conséquent,xn?f-1(O)pourn suffisamment grand, ce qui nous montre quef-1(O)est ouvert, et on a montré que (1)?(2). Si (2) est vrai etFest fermé dansY, alorsY\Fest ouvert et par hypothèse on obtient que f -1(Y\F) =X\f-1(F)est ouvert dansX, autrement ditf-1(F)est fermé dansX. Ceci éta- blit l"implication (2)?(3), et en fait le même argument de passage au complémentaire donne l"implication réciproque (3)?(2).Il nous reste à prouver que (2)?(1); supposons donc de nouveau que (2) soit vérifié, et considérons
x?Xetε >0. PuisqueB(f(x),ε)est un ouvert contenantf(x), son image inverse est par hypothèseun ouvert contenantx, par conséquent il existeδ >0tel queB(x,δ)?f-1(B(f(x),ε)), c"est-à-dire :
?x??X d(x,x?)< δ→D(f(x),f(x?))< ε .On a bien montré quefest continue.
On voit dans cette preuve qu"il vaut mieux être à l"aise avec les propriétés de l"image inverse par une
fonction... Ce sera aussi très important dans la partie du cours consacrée à la théorie de la mesure!
Exercice 2.10.SoitX,Ydeux ensembles,f:X→Yune fonction. Montrer que, pour toutA,B?Yon a f -1(A?B) =f-1(A)?f-1(B)etf-1(A∩B) =f-1(A)∩f-1(B).Exercice 2.11.Déterminer des images inverses?
Proposition 2.12.Soit(X,dX),(Y,dY)et(Z,dZ)trois espaces métriques, ainsi quef:Y→Zetg:X→Y
deux fonctions continues. Alorsf◦g:X→Zest continue.Preuve:
10 Fixonsε >0. Commefest continue, il existeδ1>0tel que pour touty,y??Yon aitdY(y,y?)<1?dZ(f(y),f(y?))< ε. Puis, commegest continue, il existeδ2tel que pour toutx,x??Xon ait
d X(x,x?)< δ2?dY(g(x),g(x?))< δ1. On a alors, pour toutx,x??X: d X(x,x?)< δ2?dY(g(x),g(x?))< δ1?dZ(f(g(x)),f(g(x?))< ε .On vient de prouver quef◦gest continue.
Exercice 2.13.On munitR2de la distance induite par? · ?∞, etRde sa distance usuelle. Montrer que les
fonctions(x,y)?→x+yet(x,y)?→xysont continues.Exercice 2.14.Soit(X,d)un espace métrique etf,g:X→Rdeux fonctions continues. Montrer que la somme
f+get le produitfgsont également des fonctions continues. Exercice 2.15.Soit(X,dX),(Y,dY)et(Z,dZ)trois espaces métriques, ainsi quef:Y→Zetg:X→Y deux fonctions uniformément continues. Montrer quef◦g:X→Zest uniformément continue.Tout comme la continuité, les notions de convergence simple/uniforme de suites de fonctions qu"on connaît
pour des fonctions deRdansRs"étendent sans difficultés aux fonctions entre espaces métriques.
Définition 2.16.Soit(X,d),(Y,D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions deXdansY. On
dit que(fn)convergesimplementvers une fonctionf:X→Ysi pour toutx?Xla suite(fn(x))converge versf(x); autrement dit : ?x?X?ε >0?N?N?n≥N D(fn(x),f(x))< ε .Ci-dessus,Ndépend à la fois deεet dex; comme dans la définition de la continuité, on pourrait demander
queNne dépende que deε, et on obtient ainsi la définition de la convergenceuniforme.Définition 2.17.Soit(X,d),(Y,D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions deXdansY. On
dit que(fn)convergeuniformémentvers une fonctionf:X→Ysi ?ε >0?N?N?x?X?n≥N D(fn(x),f(x))< ε .Bien entendu, la convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque est fausse, comme le
montre l"exercice suivant. Exercice 2.18.Pour toutn?N?, on définitfn: [0,1]→[0,1]en posant f n(x) =?0six≥1n
Pourn?N?, représenter le graphe de la fonctionfn, puis montrer que(fn)converge simplement vers une
fonctionfque l"on déterminera. La convergence est-ele uniforme?fest-elle continue?On voit donc que la convergence simple ne préserve pas la continuité (ce qui sera une bonne raison, plus
tard, pour travailler avec des fonctionsmesurablesplutôt que des fonctions continues).Proposition 2.19.Soit(X,d)et(Y,D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions continues de
XdansY. Si(fn)converge uniformément versf:X→Yalorsfest continue.Preuve:
toutx?X. Fixons un telN; commefNest continue, il existeδ >0tel que pour toutx??X, d(x,x?)< δ?D(fN(x),fN(x?))< ε.11Alors on a, pour toutx??Xtel qued(x,x?)< δ:
= 3ε . Commeεétait quelconque, ceci suffit à démontrer quefest continue enx.Exercice 2.20.Montrer qu"une limite uniforme de fonctions uniformément continues est uniformément conti-
nue.Exercice 2.21.Soit(X,d)un espace métrique etf:X→[0,1]une fonction uniformément continue. Montrer
quefest une limite uniforme de fonctions lipschitziennes. 12quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40