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CAPES externe 2012 de Mathématiques

Première composition : CORRIGÉ

Martial LENZEN

webmaster@capes-de-maths.com Les mathématiques sont une gymnastique de l"esprit et une préparation à la philosophie-Isocrate

2/21CAPES externe 2012:Première composition

Problème 1 : continuité uniforme

Étant donnée une fonctionfde variable réelle définie sur un intervalleId"intérieur non vide, on dit

quefest uniformément continue surIlorsque :

1.Écrire à l"aide de quantificateurs la proposition "fn"est pas uniformément continue surI».

fn"est pas uniformément continue surIse traduira par :

2.On rappelle qu"une fonctionfest lipschitzienne de rapportk, oùkest un réel strictement positif,

si pour tout couple(x,y)d"éléments deIon a : |f(x)-f(y)|?k|x-y|. Montrer que toute fonction lipschitzienne surIest uniformément continue surI. Soitfune fonction lipschitzienne surIde rapportk>0. Soitε>0. Posonsη=ε/k, de sorte que

η>0 (cark>0). Alors pour tout couple (x,y)?I2,

doncfest bien uniformément surI.

3. 3.1.Montrer que pour tous réelsxetyon a :

|y|-|x|???|y-x|.

Soientx,ydeux réels. Commençons par démontrer la seconde partie de l"inégalité triangu-

laire : |y+x|?|y|+|x|. (?) D"une part,y?|y|etx?|x|impliquentx+y?|x|+|y|. De la même manière,-y?|y|et -x?|x|impliquent-x-y?|x|+|y|. Puisque|x+y|est égal soit àx+y, soit à-x-y, il vient que|x+y|?|x|+|y|.

Notons alors que :

? |y|=|x+(y-x)|(?)?|x|+|y-x|?|y|-|x|?|y-x|; ? |x|=|y+(x-y)|(?)?|y|+|x-y|?|x|-|y|?|x-y|=|y-x|.

Puisque

?|y|-|x|? ?vaut soit|y|-|x|soit|x|-|y|, on en déduit l"inégalité demandée.

CAPES externe 2012:Première composition3/21

3.2.On considère la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x)=1

1+|x|.

Montrer quefest uniformément continue surR.

Soitε>0. On poseη=εet on considère deux réelsx,ytels que|x-y|?η. Alors |f(x)-f(y)| =? ?1

1+|x|-11+|y|?

?(1+|y|)-(1+|x|) (1+|x|)(1+|y|)? ?|y|-|x|? ?(1+|x|)(1+|y|)3.1.?|y-x|(1+|x|)(1+|y|) ?|y-x|?η=ε. On en déduit que la fonctionfest bien uniformément continue surR.

4. 4.1.Montrer que pour tous réels positifsxety, on a :

x+y??x+?yet???x-?y????|x-y|.

Soientx,ydeux réels positifs. On a alors :

0?2? xy?x+y?x+2?xy+y?x+y?(?x+?y)2x,y?0??x+y??x+?y. (?)

Par suite,

Puisque

x-?y? ?vaut soit?x-?y, soit?y-?x, on en déduit que x-?y? ???|x-y|.

4.2.Montrer que la fonctiong:x?→?

xest uniformément continue surR+. Soitε>0. Posons alorsη=ε2>0 de sorte que?

η=ε. Alors

|x-y|?η?? |x-y|??η4.1.? |?x-?y|?ε, donc la fonction racine carrée est bien uniformément continue surR+.

4.3.Montrer que la fonctiongn"est pas lipschitzienne surR+.

Supposons quegsoit lipschitzienne de rapportk>0. Alors pour tousx,y?R+tels quex?=y, on a : x-?y|?k|x-y| ?? x-?y x-y? ??k.

4/21CAPES externe 2012:Première composition

Or? ??x-?y x-y? x-?y (?x+?y)(?x-?y)? ?=1 ?x+?y, et ce dernier n"est pas borné : autrement dit, il existex1,y1?R+tel que (? x+?y)-1>k. On aboutit à une contradiction prouvant quegn"est pas lipschitzienne.

5. 5.1.En considérant les deux suites de réels(xn)n?Net(yn)n?Ndéfinies pour tout entiernpar

x n=? n+1etyn=?n, montrer que la fonctionh:x?→x2n"est pas uniformément continue surR.

Notons que 0?|xn-yn|=|?

n+1-?n|4.1.??n+1-n=1. On prouve aisément que la fonc- tionFdéfinie surR+parF(x)=? x+1-?xréalise une bijection décroissante deR+dans ]0,1]. On a donc que pour toutη>0, il existen?Ntel que|xn-yn|?ηet, en posantε=1/2, |h(xn)-h(yn)|=? n+12-?n2? ?=1>ε. Au final, la fonctionhn"est pas uniformément continue surR+, et ne l"est donc pas surR.

5.2.La fonctionhest-elle lipschitzienne surR?

Par contraposée du résultat démontré à la question 2, on déduit directement quehn"est pas

lipschitzienne surR.

6.SoitFune application uniformément continue deR+dansR. On se propose de montrer qu"il

existe deux réelsaetbtels que, pour toutx?R+:

F(x)?ax+b.

6.1.Justifier l"existence d"un réelη1strictement positif tel que :

Soitx0?R+.

Par hypothèse,

En choisissant en particulierε=1, il existera unηεparticulier (notons-leη1) tel que ?(x,y)?(R+)2,|x-y|?η1?|F(x)-F(y)|?1.

6.2.Soitn0le plus petit entier tel quex0

n0?η1; justifier l"existence den0et exprimern0en fonction dex0et deη1. R +est archimédien :?(a,b)?(R+)2,a?=0? ?n?N|na?b. Cette définition s"applique à notre cas cara=η1>0 etb=x0?0. On en déduit l"existence den0tel queη1n0?x0? x

0/n0?η1.

CAPES externe 2012:Première composition5/21

Par suite,n0est le plus petit entier tel que

x 0 n0?η1?x0?η1n0?n0?x0η1 donc on en déduit que, en utilisant la notation [·] pour la partie entière du nombre·, n 0=?x0

η1?

+1.

6.3.Montrer que :

|F(x0)-F(0)|?n 0-1? k=0????

F?(k+1)x0

n0? -F?kx0n0? En transformantF(x0)-F(0) en somme téléscopique, on trouve que : |F(x0)-F(0)|=? ?n 0-1? k=0F?(k+1)x0 n0? -F?kx0n0? ?(?)?n 0-1? k=0? ?F?(k+1)x0 n0? -F?kx0n0?

6.4.Conclure.Remarquons que?

?(k+1)x0 n0-kx0n0? ?kx 0 n0+x0n0-kx0n0? ?=x0 n0?η1, donc la question 6.1. nous assure que pour tout entierk?{0,...,n0-1}, ?F?(k+1)x0 n0? -F?kx0n0? ??1.

Par suite,

n 0-1? k=0? ?F?(k+1)x0 n0? -F?kx0n0? ??n 0-1? k=01=n06.3.? |F(x0)-F(0)|?n0 ? -n0?F(x0)-F(0)?n0 ?F(0)-n0?F(x0)?F(0)+n0

6.2.?F(x0)?F(0)+?x0

η1?

+1?F(0)+x0η1+2. Le choix dea=1/η1etb=2+F(0) suffit alors à conclure queF(x0)?ax0+b. Autrement dit, une fonction uniformément continue surR+est nécessairement majorée par une fonction affine.

7. 7.1.Les fonctions polynômes de degré supérieur ou égal à 2 sont-elles uniformément continues

surR? Non. L"idée est de prouver qu"une fonction polynômePn"est pas bornée par une fonction affine. Supposons queP, définie pour l"occasion parP(x)=?ni=0aixi(avecan?=0), soit uni- formément continue surR+. D"après la question précédente, il existea,b?Rtels que pour toutx>0,n? i=0a ixi?ax+b?n? i=0a ixi-1?a+b x.

6/21CAPES externe 2012:Première composition

Sian>0, l"égalité précédente devient une contradiction en faisanttendrexvers+∞. Sian<0, puisque pour tousx,y?R+on a|P(x)-P(y)| = |-P(x)+P(y)|, le polynôme-P est uniformément continu. Le coefficient-anétant positif, on montre de la même manière surR+, et doncPnon plus.

7.2.La fonction exponentielle est-elle uniformément continue surR?

Raisonnons par l"absurde en supposant que ce soit le cas. L"idée est toujours de montrer que cette fonction n"est pas majorée par une fonction affine. Il existe alorsa,b?Rtels que pour toutx?R+, e x?ax+b?ex x?a+bx. En faisant tendrexvers l"infini, et par croissances comparées des fonctions exponentielles et x?→x, on aboutit à une contradiction prouvant bien que la fonction exponentielle n"est pas uniformément continue surR+, et donc pas non plus surR.

8.Théorème de HeineSoitI=[a,b] (a une fonctionGest continue surI, alors elle est uniformément continue surI. On suppose dans la suite queGest une fonction continue surI=[a,b]et queGn"est pas uniformément continue surI.

8.1.Justifier qu"il existe un réelε>0et deux suites(xn)n?1et(yn)n?1d"éléments deItels que

pour tout entiern?1: |xn-yn|?1 net|G(xn)-G(yn)|>ε. PuisqueGn"est pas uniformément continue surI, on a :

Soit alorsn?N?. Posonsη=1/n. Pour chaqueη, il existe un couple (x,y) vérifiant l"inégalité

ci-dessus, on peut donc noter ce couple (xn,yn), et on en déduit finalement que :

8.2.Justifier qu"il existe deux sous-suites(xσ(n))n?1et(yσ(n))n?1convergentes telles que pour

tout entiern?1: |xσ(n)-yσ(n)|?1 net|G(xσ(n))-G(yσ(n))|>ε.

1. : Eduard Heine (1821-1881), mathématicien allemand.

CAPES externe 2012:Première composition7/21

Puisque l"intervalleIest borné, les deux suites (xn)n?1et (yn)n?1le sont aussi. Donc d"après le théorème de Bolzano-Weierstrass (" de toute suite bornée, on peut extraire une sous- suite qui converge »), il existe une applicationσ:N?→N?strictement croissante telle que

(xσ(n))n?1et (yσ(n))n?1convergent, et puisqueσ(n)?N?, le résultat de la question précé-

dente est vérifié pour ces sous-suites, à savoir : |xσ(n)-yσ(n)|?1

8.3.Montrer que :

Notons?=limn→∞xσ(n)?IcarIest fermé. On a donc ?N?N|?n?N,|xσ(n)-?|?ε 2. Mais d"après la question précédente, on a aussi |xσ(n)-yσ(n)|?1

σ(n)----→n→∞0,

donc il existe un rentierN?tel que pour toutn?N?, on a |xσ(n)-yσ(n)|?1

σ(n)?ε2.

Finalement,

2+ε2=ε,

ce qui prouve que lim

8.4.Conclure.En gardant les mêmes notations, le fait queGsoit continue surI??assure donc que

lim donc pournsuffisamment grand, on a|G(yσ(n))-G(xσ(n))|?ε, ce qui contredit l"inégalité

de la question 8.2. On en déduit que l"hypothèse de départ est fausse, c"est-à-dire queGest

uniformément continue surI.

9.SoitJun intervalle d"intérieur non vide. Si une fonctionGest uniformément continue sur tout

intervalle[a,b]inclus dansJ,Gest-elle nécessairement uniformément continue surJ?

Non. Il suffit de prendre n"importe quelle fonction polynomiale de degré supérieur ou égal à 2, ou

la fonction exponentielle. Ces fonctions étant continues sur tout intervalle de la forme [a,b] (avec

a continue sur [a,b]. Mais d"après la question 7, elles ne sont pas uniformément continue surR.

8/21CAPES externe 2012:Première composition

Problème 2 : marches aléatoires

Partie A : quelques résultats d"analyse

1.On considère la suite(Hn)n?1définie par :

H n=n? k=11 k.

1.1.Montrer que pour tout entierk?1:

1 k+1?? k+1 k1tdt?1k.

Soitk?1 un entier. Alors

k?t?k+1?1 k+1?1t?1k?? k+1 k1k+1dt?? k+1 k1tdt?? k+1 k1kdt ?t k+1? k+1 k k+1 k1tdt??tk? k+1 k 1 k+1?? k+1 k1tdt?1k.

1.2.En déduire que pour toutn?1:

ln(n+1)?Hn?1+ln(n), puis que H n≂+∞ln(n). tout réelx>-1.fest dérivable sur ]-1,+∞[; sur cet intervalle, on a : f ?(x)=1

1+x-1=1-(1+x)1+x=-x1+x.

En notant quef(0)=0, le tableau de variations defest le suivant : x-10+∞ -x+0- 1+x++ f?(x)+0- f 0

CAPES externe 2012:Première composition9/21

Pour toutx>-1, on a donc bienf(x)?0?ln(1+x)?x. Par suite, pour toutn?1, on a : ln 1+1 n? ?1n?ln?n+1n? ?1n?ln(n+1)-ln(n)?1n?ln(n+1)?ln(n)+1n. (?) La double inégalité de la question 1.1. étant vraie pour tout entierk?1, on a : n-1? k=11 k+1?n-1? k=1? k+1 k1tdt?n-1? k=11k n? k=21 k?? n

11tdt?n-1?

k=11k ?Hn-1?[ln(t)]n1?Hn-1 n ?ln(n)+1 n?Hn?ln(n)+1 (?)?ln(n+1)?Hn?1+ln(n).

Pour toutn?2, on a alors :

ln(n+1) ln(n)?Hnln(n)?1+ln(n)ln(n) ln(n)+ln?1+1 n? ln(n)?Hnln(n)?1+ln(n)ln(n) ?1+ln?1+1 n? ln(n)????----→n→∞1? D"après le théorème d"encadrement, on a finalement : lim n→∞H n ln(n)=1?Hn≂+∞ln(n).

Remarque : puisque lim

n→∞ln(n)=+∞, on a aussi limn→∞Hn=+∞, donc+∞? k=11 kest divergente.

2.On considère la suite(Kn)n?1définie par :

K n=n? k=11 k2. Montrer, à l"aide des outils de terminale scientifique, que la suite(Kn)n?1converge; on noteraK la limite de cette suite (on ne demande pas de calculerK). Montrons que (Kn)n?1est strictement croissante :Soitn?1. Alors : K n+1-Kn=n+1? k=11 k2-n? k=11k2=1(n+1)2>0.

10/21CAPES externe 2012:Première composition

Montrons que (Kn)n?1est majorée :Pour tout entierk?2, on a : k

2?k2-k?0?1

k2?1k2-k=1k(k-1)=1k-1-1k n? k=21 k2?n? k=2?

1k-1-1k?

?1+n? k=21 k2?1+? 1-1n? ?Kn=n? k=1?2-1 n<2. Or toute suite croissante et majorée est convergente, ce qui prouve que (Kn)n?1est convergente.

3.On pose pour tout entier naturelnnon nul :

a n=? n 4n? 2n n?

On admet la formule de Stirling

2: n!≂+∞? n e? n?2πn.

Montrer que la suite(an)n?N?converge vers1

Soitn?N?. On a alors, grâce à la formule de Stirling, l"équivalent suivant : a n=? n 4n? 2n n? n

4n(2n)!n!(2n-n)!=?

n

4n(2n)!(n!)2

n 4n? 2n e?

2n?4πn

?n e?

2n2πn=14n2

2n?n e?

2n?4π

?n e?

2n2π=14n(2

2)n? 4π

2π=1?π.

Par propriété, il vient que lim

n→∞an=1

4.Montrer que, pour tout entiernnon nul, on a :

a n+1 an-1=? n+1-?n?2

2?n?n+1.

Soitnun entier non nul. Alors :

a n+1 an-1=? n+1 4n+1? 2n+2 n+1? ?nquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40