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Toutes les fonctions a),··· ,h) sont de classe C2 dans R2 parce que elles sont compo- sition de fonctions C2 Les deux points critiques sont P1 = (1,1) et P0 = (0,0) On calcule la Il existe une fonction d'une variable g : R+ ↦→ R telle que :
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Univesit
e Paris Nord { Licence 2 mention Physique-Chimie { Annee 2014-2015 M ethodes Mathematiques pour les Sciences PhysiquesFeuille d'exercices n o5Fonctions de plusieurs variables III : points critiques et extremaExercice 5.1.| Extrema d'une fonction d'une variable
Soit la fonction d'une variable denie par
f(x) = 3x42x6:1.Trouver les points critiques def.
2.Calculer le developpement limite a l'ordre 2 defen chacun de ces points.
3.Parmi les points critiques def, lesquels sont degeneres ?
4.Pour chacun des points critiques non degeneres def, dire s'il s'agit d'un maximum ou d'un
minimum local.5.Le point critique degenere defest-il un maximum local ? un minimum local ?
6.Tracer le tableau de variation def. Est-il coherent avec vos reponses precedentes? Les extrema
locaux sont-ils des extrema absolus ?Exercice 5.2.| Recherche de points critiques de fonctions de deux variables
Trouver les points critiques des fonctions suivantes. f1(x;y) = 1 +x+y+x2xy+y2f2(x;y) =x3+ 3x2y15x12y
f3(x;y) = (1x)(1y)(x+y1)f4(x;y) =1 +y2ex2
f5(x;y) = exp(x2+xy+y2+ 3x)f6(x;y) =x2+x(ey1)
f7(x;y) =xyx+yxy
f8(x;y) =xyln(xy) f9(x;y) = cos(x) + cos(y)f10(x;y) = cos(x+y)cos(xy)Exercice 5.3.| Points critiques de la fonction presqu'^le
On considere une fois de plus la \fonction presqu'^le f(x;y) =x33 xyy2+x+32 Rechercher les points cirtiques def, puis donner la nature (degenere, maximum local, minimum local ou point selle) de chacun de ces points critiques. Verier que ce que vous trouvez est coherentavec l'allure du graphe def.Exercice 5.4.| Nature des points critiques des fonctions de deux variables
Determiner la nature (degenere, maximum local, minimum local ou point selle) des points critiques des fonctions de l'exercice 5.3.Exercice 5.5.| Surface d'une boite de volume xe
On considere la fonction denie par
f(x;y) =xy+2x +2y1.Quel est le domaine de denition def? Trouver les points critiques def.
2.On considere une bo^te en cartonsans couverclede volume 1, dont la base a pour dimensions
xy.a.Montrer que la surface des parois de la boite est donnee parf(x;y).b.Montrer qu'il existe de telles bo^tes (de volume 1 et sans couvercle) avec une surface aussi grande qu'on veut (les dessiner !).c.Pensez-vous alors que le point critique defest un minimum ou un maximum (local ou absolu ?), ou ni l'un ni l'autre?Exercice 5.6.|Etude d'un point critique degenere
On considere la fonction denie parf(x;y) = (x2y)(2x2y). On voudrait savoir si (0;0) est un extremum local.1.Montrer que (0;0) est un point critique.
2. Ecrire la formule de Taylor a l'ordre 2 au point (0;0) : quelle est la nature du point critique (0;0) ? Que peut-on en deduire pour notre probleme? 3. Etudier le signe def(x;y) en fonction dexety: faire un dessin dans le plan (Oxy) en indiquant les regions ouf >0,f= 0,f <0. Repondre a la question initiale : le point (0;0) est-ilun maximum ou un minimum local ?Exercice 5.7.| Nature des points critiques et allure des lignes de niveaux