[PDF] [PDF] PUISSANCES ET RACINES CARRÉES - maths et tiques

A = √72 = √9 × 8 ← On fait « apparaître » dans 72 un carré parfait : 9 = √9 x √8 ← On extrait cette racine en appliquant une formule = 3 x √8



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[PDF] PUISSANCES ET RACINES CARRÉES - maths et tiques

A = √72 = √9 × 8 ← On fait « apparaître » dans 72 un carré parfait : 9 = √9 x √8 ← On extrait cette racine en appliquant une formule = 3 x √8



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FRACTIONS, PUISSANCES, RACINES CARRÉES

Tout le cours sur les fractions en vidéo : https://youtu.be/a0Qb812W75c Tout le cours sur les puissances en vidéo : https://youtu.be/XA-JkXirNz4 Tout le cours sur les racines carrées en vidéo : https://youtu.be/8Atxa6iMVsw

Partie 1 : Fractions

1. Calcul avec les fractions (Rappels)

Propriétés :

Méthode : Effectuer des calculs de fractions

Vidéo https://youtu.be/1yV5scwCwvg

5 4 6 16 5 3 6 5 2 -3 -5 11 3 4 -5 8 8 7 4 7 5 3

Correction

5×4

4×4

5×5

3×5

6×3

5×3

2×(-5)

(-3)×11 &3 25
15 18 15 '$3 '&3 20+6 16 $3 8 13 8 8 7 4 7 5 3 8 7 20 21

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21
20 21
4 21

2. Réduire des expressions au même dénominateur

Propriété :

9 9< 9<=;: Méthode : Réduire au même dénominateur

Vidéo https://youtu.be/Id_udNTKsqI

Réduire les expressions suivantes au même dénominateur : 7 -2 5 3 =3+

5

2+1

Correction

7 -2 5 3

7×3

-2 ×3 5 -2 3 -2 21-5
-2 3 -2

21-5+10

3 -2

31-5

3 -2 =3+

5

2+1

3 1

5

2+1

3

2+1

12+1)

5

2+1

3

2+1

+5

2+1

6+3+5

2+1

11+3

2+1

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Partie 2 : Puissances

1. Rappels

De façon générale :

fois est un nombre non nul et est un entier non nul. =1 0 =0 1 =1

2. Attention aux signes !

Ne pas confondre :

-3 et : -3 =-3×3×3×3=-81

Exercice :

Calculer de même en appliquant la règle des signes : -5 ;-1 -1 ;-3 -2 ;-7 -9 ;-9

Réponses : 25;-1;1;-27;4;-49;1;-1

3. Opérations sur les puissances

Avec et entiers relatifs :

1 1

Exemples :

2 =2×2×2 11 =11×11×11×11×11

Exemples :

15 =15 103
=1 0 =0 1 =1

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Effectuer des calculs sur les puissances

Vidéo https://youtu.be/FBmVDGvUtJ4

Vidéo https://youtu.be/cY6xdxT7kLM

Exprimer sous la forme d'une seule puissance :

1 4 =4 ×4 5 5 =7 7 =6 ×9

Correction

=4 ×4 =7 3 7 2 6 =6 ×9 =4 =4 =5 =7 ×7

6×9

=4 =5 =7 ×7 =54 =7 =7 Méthode : Appliquer les formules sur les puissances de 10

Vidéo https://youtu.be/GWz5_veC12U

Vidéo https://youtu.be/EL4dBiBbL-U

a) Écrire sous la forme 10 ou 10 =10

×10

10 10 10 =10 10 b) Écrire en notation scientifique : =4×7×10

×10

)1

7×10

×5×10

1

56×10

)2

32×10

+6×10

2×10

Correction

a) )=4×7×10

×10

)1

7×10

×5×10

1

56×10

)2

32×10

+6×10

2×10

=28×10 )+)1

7×5

56
10

×10

1 10 )2

0,0032+0,006

2×10

=10

×10

=10 =10 10 10 =10 =10 )2 10 =10 =10 =10 10 =10

×10

=10

×10

=10 =10 =10

5 sur 9

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr =28×10 =0,625× 10 10 )2

0,0092

2×10

=2,8×10 =0,625×10

0,0092

2 1 10 =6,25×10 =0,0046×10 =4,6×10

Partie 3 : Racines carrées

1. Définition

Exemples :

• 3 =9 donc 9 =3 • 2,6 =6,76 donc

6,76 =2,6

2 ≈1,4142

3≈1,732

2 et

3 s'écrivent avec un nombre infini de décimales, on les appelle des nombres

irrationnels.

Définition :

La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est .

Racines de carrés parfaits :

0=0 25=5

100=10

1=1 36=6

121=11

4=2 49=7

144=12

9=3 64=8

169=13

16=4 81=9

Remarque :

-5 =? La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5 !

Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d'un nombre

négatif est impossible. -5 n'existe pas !

2. Propriétés sur les racines carrées

Propriétés : et sont des nombres positifs. 9 9 (≠0) F G

6 sur 9

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr + et

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/gzp16wnchaU

• F G =F G ×F G • F ×G =× car a et b sont positifs

Donc F

G =F ×G et donc

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/fkE5KngvcCA

On a par exemple :

• F G =F G +2 +F G =++2 • F +G

Donc F

G >F +G car 2 >0

Et donc

Méthode : Effectuer des calculs sur les racines carrées

Vidéo https://youtu.be/CrTjK3Qa72s

Écrire le plus simplement possible :

32×

2 =

3×

27 =

3×

36×

3 !3 8& = !4 5% $3 (3

Correction

32×

2=

32×2=

64=8
3× 27=

3×27=

81=9
3×

36×

3 =

3×3×

36=
9×

36=3×6=18

49=7
!3 8& !3 8& = !4 5% =4 5% =16×5=80

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32×

10 80
%&×$3 (3 4=2

3. Extraire un carré parfait

Méthode : Extraire un carré parfait

Vidéo https://youtu.be/cz27kb_qTy4

Écrire sous la forme

, avec et entiers et étant le plus petit possible :

72 =

45 = 3

125

Correction

72

36×2 ← On fait " apparaître » dans 72 le carré parfait 36

36 ×

2 ← On extrait cette racine en appliquant une formule

=6

2 ← On simplifie la racine du carré parfait

Pour que soit le plus petit possible, ne doit pas " contenir » de carré parfait. 45

9×5

9× 5 =3 5 =3 125
= 3

25×5

= 3

25×

5 =3×5× 5 = 15 5

Curiosité :

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4. Simplifier les écritures contenant des racines carrées

Méthode : Simplifier une écriture contenant des racines carrées

Vidéo https://youtu.be/8pB5pq2MyDM

Vidéo https://youtu.be/MXJYntzumDo

1) Écrire le plus simplement possible :

= 4 3-2 3+6 3 = 7 2-3quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10