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2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)1/ 9
Devoir maison sur les suites - Exemples d"applicationVoici la liste des exercices corrigés :
Exercice 1 :(niveau 2)
Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= (??)2.Exercice 2 :(niveau 1)
Étudier la suite(??)définie par{
0≥0
?+1= ln(1 +??)Exercice 3 :(niveau 4)
Étudier la suite(??)définie par?0>-1et par la relation de récurrence??+1=11 +??.
Exercice 4 :(niveau 4)
Étudier la suite(??)définie par?0∕=-1et par la relation de récurrence??+1=3??+ 2 ??+ 1.Exercice 5 :(niveau 7)
Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= 3??2(1-??).
Remarque : pour cet exercice, il est nécessaire d"avoir une calculatrice ou un ordinateur pour visualiser la suite
et des courbes et émettre de bonnes conjectures.Voici la liste des exercices facultatifs :
Exercice 6 :(niveau 4)
Étudier la suite(??)définie par?0∕=-1
2et par la relation de récurrence??+1=4??2??+ 1.
Exercice 7 :(niveau 1)
Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1=12???+ 1.
Exercice 8 :(niveau 3)
Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= 1 +1 4?2?.Exercice 9 :(niveau 5)
Étudier la suite(??)définie par?0∕= 1et par la relation de récurrence??+1=??2+ 1 ??-1.Exercice 10 :(niveau 2)
Étudier la suite(??)définie par?0>0et par la relation de récurrence??+1= 2 + ln(??).2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)2/ 9
Exercice 1 :Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= (??)2.
Solution :
Soit?la fonction définie surℝpar la relation?(?) =?2. ∙Étude de la fonction?:?est dérivable en tant que fonction polynomiale. Et?′(?) = 2?. Par conséquent, on a le tableau de variations
suivant : signe de?′(?) variations de?-∞ +∞0 00+∞
1 2 3-1-2-3
1234-1 -2 ∙Recherche des points fixes de?: ?(?) =?⇔?2=?⇔?2-?= 0⇔?(?-1) = 0. Les solutions de l"équation?(?) =?sont?= 0et?= 1.
Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il y a deux
limites éventuelles :ℓ= 0ouℓ= 1. ∙Recherche des intervalles stables par?:On a?(0) = 0et?(1) = 1; connaissant les variations de?et les limites aux bornes, on peut conclure que les
intervalles[0;1]et]1;+∞[sont stables par?.On a?(-1) = 1donc connaissant les variations de?et les limites aux bornes, on peut conclure que l"image de
l"intervalle[-1;0]est l"intervalle[0;1]. Et l"image de l"intervalle]- ∞;-1]est l"intervalle[1;+∞[.
∙Position de la courbe de?par rapport à la première bissectrice : ∙Conséquence sur l"étude de la suite(??): ?∈[0;1]. Par conséquent, la suite récurrente(??)est décroissante.Il y a alors deux sous-cas :
- Si?0= 1, point fixe de?, la suite(??)est constante.- Si?0∈[0;1[,(??)est décroissante et minorée par0(puisque pour tout?∈ℕ,??∈[0;1]). Donc elle converge
vers une limiteℓ≥0. Sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Et puisque pour tout?on a
∙Si?0∈]1;+∞[, intervalle stable par?, on a alors pour tout?∈ℕ,??∈]1;+∞[. On a de plus?(?)≥?pour
tout?∈]1;+∞[. Par conséquent, la suite(??)est croissante.La suite(??)est croissante. Soit elle est majorée et elle converge vers un point fixe de?(car?est continue).
Soit elle est non majorée, et elle tend vers+∞(suite croissante non majorée).En supposant(??)majorée, on aurait(??)croissante et majorée; donc convergente. Elle convergerait vers un
1< ℓ. Or les deux seuls points fixes de?sont0et1. Contradiction.
Donc(??)est non majorée. C"est une suite croissante non majorée. Elle tend donc vers+∞.∙Si?0∈]-1;0[alors?1∈]0;1[intervalle stable, et d"après ce qui précède, on peut affirmerque la suite est
décroissante à partir de?1et converge vers0.∙Si?0=-1alors?1= 1, point fixe, et d"après ce qui précède, on peut affirmer que la suite est stationnaire.
∙Si?0∈]- ∞;-1[alors?1∈]1;+∞[intervalle stable, et d"après ce qui précède, on peut affirmerque la suite
est croissante à partir de?1et tend vers+∞.2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)3/ 9
Exercice 2 :Étudier la suite(??)définie par{0≥0
?+1= ln(1 +??)Solution :
Soit?la fonction définie sur[0;+∞[par la relation?(?) = ln(?+ 1). ∙Étude de la fonction?:?est définie et dérivable sur[0;+∞[en tant que composée d"une fonction polynomiale par la fonctionln. Et
′(?) =1 ?+ 1. Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de?′(?) variations de?00+∞
1 2 3-1
1234-1 ∙Recherche des points fixes de?:
?(?) =?⇔ln(1 +?) =?⇔ln(1 +?)-?= 0. Équation que l"on ne sait pas résoudre de façon exacte.
On introduit donc la fonction?définie par?(?) =?(?)-?= ln(1 +?)-?. ?est définie et dérivable sur[0;+∞[avec?′(?) =?′(?)-1 =11 +?-1 =-?1 +?. On a?′(?)<0pour tout
?∈]0;+∞[. La fonction?est donc strictement décroissante sur[0;+∞[, et puisque?(0) = 0, on a0comme
seul point fixe de?.L"unique solution de l"équation?(?) =?est?= 0.
Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il n"y a qu"une
seule limite éventuelle :ℓ= 0. ∙Recherche des intervalles stables par?:On a?(0) = 0et?est croissante sur[0;+∞[; connaissant les limites aux bornes, on peut conclure que l"intervalle
[0;+∞[est stable par?. ∙Position de la courbe de?par rapport à la première bissectrice : La courbe de?est toujours située en dessous de la première bissectrice. ∙Conséquence sur l"étude de la suite(??):∙Si?0∈[0;+∞[, intervalle stable par?, on a alors pour tout?∈ℕ,??∈[0;+∞[. On a vu que pour tout
Ainsi, la suite(??)est décroissante et minorée par0(puisque pour tout?∈ℕ,??∈[0;+∞[). Donc elle
converge vers une limiteℓ≥0. Sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Puisqu"il n"y a qu"un
seul point fixe :?= 0, c"est queℓ= 0. Dans tous les cas, la suite(??)est donc décroissante et converge vers0. ∙Avec le cas particulier?0= 0auquel cas la suite est constante.2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)4/ 9
Exercice 3 :Étudier la suite(??)définie par?0>-1et par la relation de récurrence??+1=11 +??.Solution :
Soit?la fonction définie sur]-1;+∞[par la relation?(?) =11 +?. ∙Étude de la fonction?:?est dérivable en tant que fraction rationnelle qui ne s"annule pas sur l"intervalle]-1;+∞[. Et?′(?) =-1
(1 +?)2. Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de?′(?) variations de?-1 01 2 3 4-1
1234-1 -2 ∙Recherche des points fixes de?:
Sur]-1;+∞[,?(?) =?⇔1
52car? >-1.
5 2.Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il y a une seule
52.∙Recherche des intervalles stables par?:
Au vu des variations de?, on peut affirmer que si?0>-1alors?1∈]0;+∞[et que?2∈]0;1]. Et l"intervalle
[0;1]est stable par?. ∙Conséquence sur l"étude de la suite(??):L"intervalle[0;1]est stable par?donc la suite(??)définie par?0∈]-1;+∞[et??+1=?(??)est donc définie
et à valeurs dans l"intervalle[0;1], au moins à partir de?2. On supposera par commodité que c"est?0qui
appartient à[0;1].De plus,?est décroissante sur l"intervalle[0;1]donc la suite des termes d"indice pair(??) = (?2?)et la suite
des termes d"indice impair(??) = (?2?+1)sont monotones, de monotonie contraire. ∙Étude de?=?∘?. 0; 5 2[) 5 2;1] et?(] 5 2;1]) 0; 5 2[Donc l"intervalle[
0; 5 2[ est stable par?=?∘?; de même l"intervalle] 5 2;1] est stable par?.Sur[0;1], on a?(?) =1
1 +11 +?=
?+ 1 ?+ 2et?(?)-?=-?2+?-1?+ 2. De sorte que?(?)≥?ssi?∈[ 0; 5 2]2, point fixe de?alors la suite est constante.
∙Si?0∈[ 0; 2[ , alors?1∈] 5 2;1] La suite(??) = (?2?)est définie par?0=?0∈[ 0; 5 2[ et??+1=?(??), avec?croissante sur l"intervalle stable[ 0; 5 2[ . De plus?(?)≥?sur cet intervalle. Par conséquent la suite(??)est monotone croissante. La suite(??) = (?2?+1)est définie par?0=?1∈] 5 2;1] et??+1=?(??), avec?croissante sur l"intervalle stable] 5 2;1] 5 5 2. 5 5 2.2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)5/ 9
Par continuité de?,ℓ1etℓ2dont deux points fixes de?. D"après ce qui précède,?(?) =?⇔?2+?-1 = 0et
5 2. 5 2. 5 2.Remarque :il existe une autre façon de conclure en utilisant l"inégalité des accroissements finis, mais nous
n"avons pas encore abordé ce théorème.2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)6/ 9
Exercice 4 :Étudier la suite(??)définie par?0∕=-1et par la relation de récurrence??+1=3??+ 2??+ 1.Solution :
Soit?la fonction définie sur]- ∞;-1[∪]-1;+∞[par la relation?(?) =3?+ 2?+ 1. ∙Étude de la fonction?:?est dérivable en tant que fraction rationnelle qui ne s"annule pas sur l"ensemble]- ∞;-1[∪]-1;+∞[. Et
′(?) =1 (1 +?)2. Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de?′(?) variations de?-∞ 3 +∞-1 31 2 3-1-2-3-4
12345-1 -2 ∙Recherche des points fixes de?: Sur]- ∞;-1[∪]-1;+∞[,?(?) =?⇔3?+ 2
Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il n"y a que deux
∙Recherche des intervalles stables par?:3;+∞[est lui aussi stable par?.
∙Conséquence sur l"étude de la suite(??): (??)est croissante.3. Elle est donc convergente vers un point fixeℓde?, car?est
3. décroissante.3. Elle est donc convergente vers un point fixeℓde?, car?est
3.∙L"image de l"intervalle]-∞;-1[est l"intervalle]3;+∞[donc si?0∈]-∞;-1[alors?1∈]3;+∞[. Et puisque
3.si?0=-3/4alors?1=-1et la suite n"est pas définie en "entier"); on suppose donc quepour tout?∈ℕon
a??∕=-1(on reporte à la fin de la question ce problème et la discussioncorrespondante). Montrons par l"absurde qu"il existe un entier?tel qu??<-1.2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)7/ 9
3. Au vu des calculs de points
fixes effectués précédemment, ceci est contradictoire.Ainsi, il existe un entier?tel que??<-1. Et on a alors??+1∈]-∞;-1[et donc??+2∈]3;+∞[. Et d"après
3.Remarque :Pour savoir quelles valeurs ne permettraient pas de définir proprement la suite(??), il faut savoir
s"il existe un entier?tel que??=-1.On cherche donc la suite des antécédents de-1: d"après le graphe, on voit qu"il faut retirer une infinité de
3[. Plus précisément, on a?(?) =?ssi?=2-??-3. Il faut donc
retirer de l"ensemble des valeurs de?0toutes les valeurs de la suite(??)définie par?0=-1et??+1=2-??
??-3. auquel cas la suite est constante.2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)8/ 9
Exercice 5 :Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= 3?2?(1-??).
Solution :
Soit?la fonction définie surℝpar la relation?(?) = 3?2(1-?) =-3?3+ 3?2. ∙Étude de la fonction?:?est définie et dérivable surℝen tant que fonction polynomiale. Et?′(?) =-9?2+ 6?=-3?(3?-2). Par
conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de?′(?) variations de?-∞+∞0 0 02 3 0 49+∞
1 2 3-1-2-3
1234-1 -2 ∙Recherche des points fixes de?: ?(?) =?⇔ -3?3+ 3?2=?⇔?(-3?2+ 3?-1) = 0.
Le discriminant du polynôme-3?2+ 3?-1est strictement négatif donc l"équation-3?2+ 3?-1 = 0n"a pas
de solution réelle. On a donc0comme seul point fixe de?.L"unique solution de l"équation?(?) =?est?= 0.
Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il n"y a qu"une
limite éventuelle :ℓ= 0. ∙Recherche des intervalles stables par?:On a?(2
3) =49, connaissant les variations de?, on peut conclure que l"intervalle[0;23]est stable par?.
Les autres intervalles où?est monotone n"ont pas la propriété de stabilité. ∙Position de la courbe de?par rapport à la première bissectrice : 3]. La courbe de?est située toujours en dessous de la première bissectrice sur l"intervalle[0;23].∙Conséquence sur l"étude de la suite(??):
∙Si?0∈[0;23], intervalle stable par?, on a alors pour tout?∈ℕ,??∈[0;23]. Et on a vu que pour tout
?∈[0;2Par conséquent, la suite(??)est décroissante et minorée par0(puisque pour tout?∈ℕ,??∈[0;2
3]). Donc
elle converge vers une limiteℓ≥0. Sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Puisqu"il n"y a
qu"un seul point fixe :?= 0, c"est queℓ= 0.Dans le cas où?0∈[0;2
3], la suite(??)est donc décroissante et converge vers0.∙Avec le cas particulier?0= 0auquel cas la suite est constante.
∙Il reste cependant à étudier le cas où?0∕∈[0;23]. Puisque?ne laisse pas d"intervalles sympathiques stables,
on va étudier?=?∘?. 1 2-1 12 -1 ?(?) = 27?4(?-1)2(1-3?2+ 3?3);?est dérivable et ′(?) = 27?3(?-1)(3?-2)(9?3-9?2+2). De sorte que l"on a le tableau de variations suivant : variations de?-∞ ?(?)0023 ?(23)10+∞
?(?)-?= 81?9-243?8+ 243?7-54?6-54?5+ 27?4-?. Une étude de?montre que?admet trois points fixes :?= 0; ?=?1≃ -0,5010752797et?=?2≃1,130653894.Et on a la propriété suivante :[0;1]est stable par?.[?2;+∞[est stable par?.]- ∞;?1]est stable par?.
2009-2010 HKBL suites récurrentes??+1=?(??)9/ 9
On a de plus?(?1) =?2et?(?2) =?1de telle sorte que l"image de l"intervalle]-∞;?1[est l"intervalle]?2;+∞[.
Par conséquent, si?0=?1ou si?0=?2, alors la suite est périodique de période 2.∙Si?0∈]-∞;?1[, intervalle stable par?et sur lequel?est croissante et en dessous de la première bissectrice,
alors la suite des termes pairs(??) = (?2?)est décroissante. Ou bien elle est minorée et alors convergevers une
On a alors?1=?(?0)∈]?2;+∞[, intervalle stable par?et sur lequel?est croissante et au dessus de la première
bissectrice, alors la suite des termes impairs(??) = (?2?+1)est croissante. Ou bien elle est majorée et alors
converge vers une limiteℓ≥?0> ?2. Contradiction. La suite(??)est donc non majorée, et étant croissante,
elle tend vers+∞.∙Si?0∈]?2;+∞[, intervalle stable par?et sur lequel?est croissante et au dessus de la première bissectrice,
alors la suite des termes pairs(??) = (?2?)est croissante. Ou bien elle est majorée et alors converge vers une
limiteℓ≥?0> ?2. Contradiction. La suite(??)est donc non majorée, et étant croissante, elle tend vers+∞.
On a alors?1=?(?0)∈]- ∞;?1[, intervalle stable par?et sur lequel?est croissante et en dessous de la
première bissectrice, alors la suite des termes pairs(??) = (?2?+1)est décroissante. Ou bien elle est minorée
décroissante, elle tend vers-∞. ∙On a alors à étudier le cas où?0∈]?1;?2[. - Si on suppose que?0∈[0;23]alors on sait déjà que la suite(??)converge vers0.
- Si on suppose que?0∈[2 aura alors??+1=?(??)∈[0;23]et donc d"après ce qui précède, la suite(??)converge vers0.
- Si on suppose que?0∈]?1;0[alors montrons par l"absurde qu"il existe un rang?pour lequel??≥0, et plus
précisément que??∈[0;1]; et donc d"après ce qui précède, la suite(??)converge vers0.
Preuve de ce qui précède :
Si on suppose que?0∈[2
3;?2[, on s"intéresse à la suite des termes pairs(??) = (?2?). D"après ce qui précède,
on peut affirmer que[0;?2[est stable par?. Et donc pour tout?∈ℕon a??∈[0;?2[.(par récurrence). Mais alors(??)devient décroissante et minorée par 1. Donc elle converge vers un point fixe
de?compris entre 1 et?0< ?2. Contradiction.3]et donc d"après ca qui
précède, la suite(??)converge vers0.Si on suppose que?0∈]?1;0[, on s"intéresse à la suite des termes pairs(??) = (?2?). D"après ce qui précède, on
peut affirmer que]?1;?2[est stable par?. Et donc pour tout?∈ℕon a??∈]?1;?2[.Si on suppose qu"il n"existe aucun rang?pour lequel??≥?, alors cela implique que??∈]?1;?[pour tout
?∈ℕ. Et puisque?est croissante sur]?1;?[et puisque?(?)≥?sur cet intervalle alors(??)est croissante (par
récurrence). Mais alors(??)devient croissante et majorée par?. Donc elle converge vers un point fixeℓde?
Ainsi, il existe un rang?pour lequel??≥?. On aura alors??+1=?(??)∈[0;23]et donc d"après ca qui
précède, la suite(??)converge vers0.Le bilan est donc le suivant :
Si?0∈]- ∞;?1[, alors la suite des termes pairs(??) = (?2?)est décroissante et tend vers-∞; et la suite des
termes impairs(??) = (?2?+1)est croissante et tend vers+∞.Si?0∈]?2;+∞[, alors la suite des termes pairs(??) = (?2?)est croissante et tend vers+∞; et la suite des
termes impairs(??) = (?2?+1)est décroissante et tend vers-∞.Si?0∈]?1;?2[, alors la suite converge vers0et est décroissante à partir d"un certain rang (dès que??∈[0;2
3]).Si?0=?1ou?0=?2[, alors la suite est périodique de période2et prend alternativement les valeurs?1et?2.
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