Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels 1/ Définition Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ℕ ou une partie de ℕ dans ℝ
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Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18 Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison
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5) Toute suite convergente est bornée 6) Suites monotones bornées 7) Exemple des suites récurrentes: un+1 = f(un), o`u f est croissante 8) Limites infinies
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Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels 1/ Définition Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ℕ ou une partie de ℕ dans ℝ
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Exemples : calculer les sommes suivantes : 1) S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + + 99 Nous avons affaire à la somme de termes d'une suite arithmétique de raison r =
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Cours I : SUITES NUMERIQUES
I Quelques rappels
1/ Définition
Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ℕ ou une partie de ℕ dans ℝ qui à chaque
élément
n de ℕ associe un unique élément noté un , appelé terme d'indice n de la suite un.
2/ Comment définir une suite
a/ Définition expliciteDéfinition : Une suite
un est dite explicite s'il est possible de calculer directement un à partir de n.On note alors
un= gn avec g une fonction définie sur ℕ (et le plus souvent sur ℝ+ également).
Ex : :
un = 1 n1 ; (%i49) u[n]:=1/(n+1); (%i50) u[5]; (%o50) 1/6 (%i51) makelist([n,u[n]],n,0,5); (%o51) [[0,1],[1,1/2],[2,1/3],[3,1/4],[4,1/5],[5,1/6]] (%i52) wxplot2d([discrete,makelist(n,n,0,10),makelist(u[n],n,0,10)],[style,points]) b/ Suite définie par récurrence Définition : Une suite est définie par récurrence si le terme un1 peut être défini à partir de un : un1=fun avec f une fonction définie le plus souvent sur ℝEx : Soit un tel que un+1 = 0.5 un +2 et u0=1Lecture graphique de
u1 ; u2... Construire les droites d'équation y=x et y=x2.Déterminer graphiquement u1, u2, u3.
Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 2
(%i56) f(x):=1.5-0.5*x; (%i54) v[0]:2;v[n]:=f(v[n-1]); (%i58) load(dynamics); (%i63) evolution(f(x),2,10);(%i73) f(x):=2-1.1*x; (%i65) staircase(f(x),2,10);(%i77) f(x):=-1+1.5*x;3/ Sens de variation d'une suite
Notation : ∃ signifie " il existe » et ∀ " quelque soit »Définition : - Une suite
un est strictement croissante si :∃N∈ℕ, tel que ∀ nN, un < un1 - Une suite (un) est strictement décroissante si :
Ex : Etudier le sens de variation des suites :
1.un définie sur ℕ par un = n² + n 2. undéfinie sur ℕ par un+1 = un , u0=2
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20 2 4 6 8 10
x(n) n 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5 1 1.5 2 2.5
x(n+1) x(n) -2 -1 0 1 2 3 4 -2-1 0 1 2 3 4 5 x(n+1) x(n) 0 5 10 15 20 2530
0 5 10 15 20 25 30 35 40
x(n+1) x(n)Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 3
II Suites arithmétiques et géométriques (rappels) a. Suite arithmétiques Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique si : " n Î ℕ, un+1 = un + r r est appelé la raison de la suite.Calcul direct de un : On a alors un = u0 + nr
Somme de termes consécutifs, S :
S= u0 + u1 + ....+ un S = nb de termes
2 termederniertermepremier×+×´Cas particulier : S=1+2+...+ n = n×n1 2Ex : Montrer que la suite
un définie par un = 2n+1 est arithmétique. Calculer S=u5...u16. b. Suite géométriques Définition : Une suite (un) est une suite géométrique si : q est appelé la raison de la suite.Calcul direct de un : On a alors un = u0 qn
Somme de termes consécutifs :
S= u0 + u1 + ....+ unS = premier terme
q qtermesnb×11
cas particulier : 1+q+q²+...+qn = 1-qn11-q (q¹1)
Ex : Montrer que la suite (un) définie par un = 2-n/3n-2 est géométrique. Calculer S=u5+...+u16.
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III Limite d'une suite
1/ Notion de limite d'une suite
Définition : Pour une suite numérique (un), il y a 3 types de limites : - (un) converge vers une limite finie L. (un) est dite convergente.un+1 = 2-0,5 un - (un) admet une limite +∞ ou -∞.(un) est dite divergente. un+1= -1+1,5 un - (un) n'admet pas de limite. (un) est dite divergente.
un1=1-un Propriété : Soit une suite (un) définie par un = f(n). Si f(x) admet une limite L en +¥, alors on dit que la suite (un) admet la limite L en +¥Ex : Soit un = ln
11 n . Calculer la limite de (un). 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20 2 4 6 8 10
x(n n 0 5 10 15 20 2530
35
0 2 4 6 8 10
x(n) n 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 2 4 6 8 10
x (n nAgrocampus OuestENIHP 1ère année p. 5
2/ Application aux suites géométriques
Propriété : Soit une suite géométrique (un) définie par sa raison q (q>0) et son premier terme u0=1,
un = qn. On a alors :· si q > 1,
+ ¥®nlimqn = +¥ · si q=1, + ¥®nlimqn = 1 · si |q| <1, + ¥®nlimqn = 0
Remarque : On retrouve ces limites en écrivant : qn = e nln(q). Si q>1, ln(q) >0 ...Ex : Soit un=
nae22 définie sur ℕ. Calculer sa limite et déterminer le plus petit entier n tel que un<10-3
3/ Suites croissantes majorées
Propriété 1 : Si une suite (un) est croissante et majorée alors elle converge. Propriété 2 : Si une suite (un) est décroissante et minorée alors elle converge.Ex : Soit un=1+ +...
n ae 21. Démontrer que un est croissante et majorée. Conclure.
III Ordre et comparaison de limites de suites
1/ Compatibilité avec l'ordre.
Théorème : Soit deux suites (un) et (vn) telles que : limn∞un=Let limn∞vn=L' Si à partir d'un certain rang N, on a toujours : un£ vn alors L £ L'
2/ Théorèmes de comparaison
Théorème 1 : Soit un réel L.
Si à partir d'un certain rang N on a ∣un-L| £ vn et limn∞vn=0alors limn∞un=L