[PDF]

[PDF] Les fonctions de Bessel - Promenades maths - Free

6-a : T ransform ée de Laplace des fonctions de Bessel O n définit alors la fonction de Bessel Jν de première espèce d'ordre ν par le choix de 0 1 2 (1 )

[PDF] chapitre 3 fonctions de bessel - Analyse fonctionnelle - Université de

14 Approximations de la fonction f1 définie sur [0,1] par f1(t) = t si t < 1/2 et f1(t) = t − 1 sinon, par la somme de fonctions de Bessel (46) tronquée à l'ordre N

[PDF] Fonction Gamma et fonctions de Bessel

Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 2 Chapitre I I 1 Détermination de la fonction Gamma La fonction Gamma est très simple à déduire à partir de 

[PDF] Formulaire fonctions de Bessel

Formulaire fonctions de Bessel Equations différentielles de Bessel et de Bessel modifiée y + 1 x y + (1 − ν2 x2 )y = 0 Solutions : y(x) = a0Jν(x) + a1Nν(x),

[PDF] CALCUL DINTEGRALES DE QUELQUES FONCTIONS DE

CALCUL D'INTEGRALES DE QUELQUES FONCTIONS DE BESSEL rooe~xt Sommaire L'intégrale I est une transformée de Bessel de la fonction u^ par la  

[PDF] Tutorat no 4

à la fonction de Bessel d'ordre 0 et 1 Dans la seconde partie nous manipulons les fonctions de Bessel (développement en série entière etc ) et calculons leur 

[PDF] Fonctions de Bessel - Jean-Romain Heu

Si n ∈ Z, J−n = (−1)nJn et il faut trouver une autre solution Ainsi, pour n ∈ Z, on appelle fonction de Bessel de seconde espèce la fonction définie par Yn(x) =  

[PDF] TD 8 Fonctions de Bessel

Fonctions de Bessel Exercice 8 1 Montrer a) Montrer que u(z) = z−nJn(z) est une fonction entière qui vérifie l'équation différentielle zu + (2n + 1)u + zu = 0

[PDF] INTRODUCTION AUX FONCTIONS SPÉCIALES Vadim

Polynômes d'Euler et fonction hypergéométrique Fonctions de Bessel Ceci permet de prolonger Γ(s) en une fonction meromorphe sur C, avec des poles

[PDF] table de 13

[PDF] fonction de bessel pdf

[PDF] fonction de bessel modifiée

[PDF] introduction ? la microéconomie varian pdf

[PDF] cours microeconomie 1 pdf

[PDF] cours de microéconomie licence 1 pdf

[PDF] corrélation multiple

[PDF] correlation multiple r

[PDF] exercice fonction cout de production

[PDF] corrélation multiple définition

[PDF] corrélation multiple spss

[PDF] coefficient de détermination multiple excel

[PDF] definition fonction de cout total

[PDF] corrélation entre plusieurs variables excel

[PDF] corrélation multiple excel

Fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel peuvent servir µa illustrer un grand nombre des thµemes qui

1. La fonction de BesselJ0

0essaie de montrer pourquoi les

8(x;y)2R2; f(x;y) =eiy:

et faisons subir µa la fonctionfune rotation (d'angle¡®) pour obtenir la fonctionf®

8M2R2; f®(M) =f(R®M)

oµu R

8(x;y)2R2; f®(x;y) =ei(xsin®+ycos®):

F = Z 2¼ 0 f

®d®

2¼,

c'est-µa-dire

8(x;y)2R2;F(x;y) =Z

2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)d®

2¼.

r=p x y=rsinµ, on a

F(x;y) =Z

2¼ 0 eir(cosµsin®+sinµcos®)d®

2¼=Z

2¼ 0 eirsin(µ+®)d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)d¯

2¼= J0(r);

J

0(r) =Z

2¼ 0 eirsinudu

2¼.

1

8r >0;J000(r) +1

r

J00(r) =¡J0(r):

surRpar

8t2R;J0(t) =Z

2¼ 0 eitsinµdµ

2¼.

Nous venons d'expliquer que J

de paramµetre 0, (B

0)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) +t2y(t) = 0:

0 e itsinµ= exp¡(t=2)(eiµ¡e¡iµ)¢= exp¡seiµ¢exp¡

¡seiµ¢

= exp

¡seiµ¢

exp

¡¡seiµ¢;

de sorte que J

0(t) appara^³t comme le produit scalaire dans L2(0;2¼) des deux fonctions

µ!exp(seiµ) etµ!exp(¡seiµ),

J

0(t) =Z

2¼ 0 eitsinµdµ D +1X k=0s k k!eikµ;+1X k=0(¡s)k k!eikµi=+1X k=0(t=2)k k!(¡t=2)k k!=+1X k=0(¡1)kt2k 4 k(k!)2. rayon de convergence in¯ni (on pourrait facilement calculer ce rayon avec les critµeres sur le plan complexeCtout entier.

Vibrations d'un tambour

D, nulles

des ondes sous la forme

8(x;y)2D;8t¸0; u(x;y;t) =g(x;y) cos(¹t):

2u @t

2= ¢u;

2 oµu le laplacien est pris dans les variables d'espace (x;y). On verra plus loin que la fonction J et introduisons une fonctiongsurR2en posant

8(x;y)2R2; g(x;y) = F(¹x;¹y) = J0(¹r):

(¢g)(x;y) =¹2(¢F)(¹x;¹y) =¡¹2g(x;y); ce qui montre que ¢g=¡¹2g. On trouve unhhmode propreiide vibration pour chaque sont de la forme u k(x;y;t) = J0(¹0;kr) cos(¹0;kt); r=p x 2+y2: tambour, qui est l'analogue du cas oµu une corde de guitare ou de violon vibre en un seul fuseau. En e®et, J

0est>0 sur [0;¹0;0[; la solutionu0ci-dessus est donc>0 µa l'instant

2. Les autres fonctions de Bessel

F n=Z 2¼ 0 f

®e¡in®d®

2¼,

c'est-µa-dire

8(x;y)2R2;Fn(x;y) =Z

2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)¡in®d®

2¼.

n=¡Fn. La fonction F nn'est plus une fonction radiale : si on posex=rcosµ,y=rsinµ, on a F n(x;y) =Z 2¼ 0

2¼=Z

2¼ 0 eirsin(µ+®)¡in®d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)¡in(¯¡µ)d¯

2¼=einµJn(r);

8t2R;Jn(t) =Z

2¼ 0 eitsinue¡inudu

2¼.

d 2 dr 2+1 r d dr +1 r 2d 2 dµ 2 J

00n(r) +1

r

J0n(r)¡n2

r

2Jn(r) =¡Jn(r):

3

Nous trouvons ainsi que J

paramµetren, (B n)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) + (t2¡n2)y(t) = 0: analogue µa ce qu'on a fait pour J

0: il su±t d'y translater denpas vers la droite le

8t2R;Jn(t) =+1X

k=0(¡1)k(t=2)2k+n k!(k+n)!. On voit µa nouveau que le rayon de convergence est in¯ni. On note que J n(0) = 0 pour nobtenue en exprimant (k+n)! comme ¡(k+n+ 1),

8t >0;Jº(t) =+1X

k=0(¡1)k(t=2)2k+º k!¡(k+º+ 1). fonction J ºest solution det2y00+ty0+ (t2¡º2)y= 0 sur (0;+1). Ainsi, Jºet J¡º pournentier<0 on a Jn= (¡1)nJ¡n; les fonctions Jºpermettent aussi de trouver une n). Par exemple, dans le casn= 0, on prendra Y

0= limº!0J

º¡J0

de Bessel BY intervalle.

¡tJ0(t)2'0(t)¢0= 0:

multiples de J 0. 4 L

8x2(0;1];(Tf)(x) = ln(x)Z

x 0 f(t)tdt+Z 1 xquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40