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Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Fonctions importantes

FONCTIONS IMPORTANTES

I fonction Gamma (FONCTION FACTORIELLE)

Définition : 0)>(z dxxe)z(

01zx

Propriétés :

&$%)21( )z(z)1z(%$'% )(n !n)1n(N($'% )1!0($ p

21.3).....1p2()21p2(

&&$#%%psin)p1()p(

Série de Stirling :

....x2881 x1211exx2)1x( 2xx

Formule de Stirling

nn enn2!n

II fonction BETA B(m,n)

##1 01n1m

0n,0mdt)t1(t)n,m(B

)nm()n()m()n,m(B'%%%$

000$'$

02/

01n21m2

nm1m dcossin2dt)t1(t)n,m(B.

III fonction D'ERREUR ET LOI DE LAPLACE-GAUSS

III 1 Fonction d'erreur

Définition : !

x 0u due2)x(Erf 2 1

0n1n2n

!n)1n2(x)1(2)x(Erf

1)(Erf,0)0(Erf),x(Erf)x(Erf$"$#$#.

Fonction d'erreur complémentaire : !

xu due2)x(Erf1)x(Erfc 2

III 2 Loi normale ou de Laplace Gauss

Définition :

22
2)xx( e21)x(f 2## &2$

Moyenne :

xdx)x(xf! 33
45
66
78

2xde0x

Variance :

2$#$ 22
dx)x(f)xx(v Si on effectue le changement d'origine et d'échelle :

2#$/)xX(Y on obtient la loi normale centrée réduite (

0y$, 1

y $2) : 2y 2 e21)y(f

Fonction de répartition

de la loi normale centrée réduite : x2u due21)x(F 2 Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Fonctions importantes

F(x) est reliée à la fonction d'erreur par

9:;<=>

'$)2x(Erf121)x(F

IV EQUATION DIFFERENTIELLE de Bessel

0)( 0y)x(yxyx

222
?@$@#'A'AA Les solutions sont les fonctions de Bessel d'ordre @ : )x(BY)x(AJy )x(J est une fonction de Bessel de 1

ère

espèce 1 0kk2k )1k(!k)2/x()1()x(J )x(Y est une fonction de Bessel de 2

ème

espèce @B@ psin)x(Jpcos)x(Jlim)x(Y pp p (c'est la fonction de Neumann )x(N Pour sin)x(Jcos)x(J)x(Yentiernon

Si @ est non entier alors )x(J

et )x(J sont linéairement indépendantes et ).x(J)x(Jy C'D$

Pour n entier :

)x(J)1()x(J nnn et

00#0&$

0n .d)sinxncos(1)x(J

Fonction génératrice :

1 nn n2/)t/1t(x t)x(Je.

Formules de récurrence :

EF)x(J)x(J21)x(J)x(J)x(Jx2)x(J

1111
#$A#

Fonctions de Bessel d'ordre demi-entier :

xcosx2)x(Jxsinx2)x(J

2/12/1

)xsinxxcos(x2)x(J)xcosxxsin(x2)x(J

2/32/3

V EQUATION DIFFERENTIELLE de Bessel MODIFIEE

0)( 0y)x(yxyx

222
?@$@'#A'AA Les solutions sont les fonctions de Bessel modifiées d'ordre @ : )x(BK)x(AIy )x(I est une fonction de Bessel modifiée de 1

ère

espèce ).ix(Je)x(I

2/i@@&#@

)x(K est une fonction de Bessel modifiée de 2

ème

espèce EF @B@ psin2)x(I)x(Ilim)x(K pp p . Pour @ non entier EF sin2)x(I)x(I)x(K

Si @ est non entier alors )x(I

et )x(I sont linéairement indépendantes et ).x(I)x(Iy C'D$

Pour n entier :

)x(I)x(I nn

Fonction génératrice :

1 nn n2/)t/1t(x t)x(Ie.

Formules de récurrence :

EF)x(I)x(I21)x(I)x(Ix2)x(I)x(I

1111
'$A@ Fonctions de Bessel modifiées d'ordre demi-entier : chxx2)x(Ishxx2)x(I

2/12/1

Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Fonctions importantes )xchxshx(x2)x(I)xshxchx(x2)x(I

2/32/3

VI EQUATION DIFFERENTIELLE DE LEGENDRE

0y)1(yx2y)x1(

2 $'@@'A#AA#

VI 1 Cas général

Les solutions sont les fonctions de Legendre d'ordre @ : )x(BV)x(AUy '$ où

1x ...x)!p2()1p2)...(3)(1)(2p2)...(2()1(...x!2)1(1)x(U

p2p2

G#'@'@'@'#@#@@#'''@@#$

1x ..x)!1p2()p2)...(4)(2)(1p2)...(3)(1()1(..x!3)2)(1(x)x(V

1p2p3

G''@'@'@'#@#@#@#'''@#@#$

VI 2 Cas où n est entier

Si n est un nombre entier une des séries a un nombre fini de termes et est, à une constante multiplicative près, un polynôme de

Legendre P

(x) ; l'autre série est, à une constante multiplicative près, une fonction de Legendre de deuxième espèce Q

n (x) d'ordre n ,-.$impairn)1(V/)x(Vpairn)1(U/)x(U)x(Pnnnnn et #$impairn)x(U/)1(Vpairn)x(V)1(U)x(Qnnnnn avec )pairn(!n/!2n2)1()1(U 2 n2/nn !9:;<=>

345678#$ )impairn(!n/!21n2)1()1(V

1n2/)1n(n

9:;<=>

345678

Fonctions de Legendre de 2

ème

espèce particulières : 2x3 x1x1ln41x3)x(Q1x1x1ln2x)x(Qx1x1ln21)x(Q 2 210
#33456678 #'#$#33456678 #'$33456678

VI 3 Polynômes de Legendre

Formule de Rodriguès :

n2 nn n n )1x(dxd !n21)x(P#$.

Polynômes de Legendre particuliers :

)x3x5(21)x(P)1x3(21)x(Px)x(P1)x(P

332210

Polynomes de Legendre en fonction de 0 :

)3cos5cos3(81)(cosP)2cos31(41)(cosPcos)(cosP1)(cosP 3210

0'0$00'$00$0$0

Fonction génératrice :

1 0nn n2 t)x(P ttx211.

Orthogonalité :

)1x1dansxorthogonauditssont)x(Pet)x(P(1n22dx)x(P)x(P nmn,mnm1 1

HH#I'$

Formules de récurrence :

)x(P)1n()x(Px)x(P0)x(nP)x(xP)1n2()x(P)1n( nn1n1nn1n '$A#A$''#' Résultats particuliers : )x(P)1()x(P)1()1(P1)1(P nnnnnn pairn n.......642)1n(......531)1(impairn0 )0(P 2/nn J,J

KKK#KKKK#$

1)x(P n H. Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Fonctions importantes

VII EQUATION DIFFERENTIELLE DE LEGENDRE ASSOCIEE

)Nn,m(0yx1m)1n(nyx2y)x1( 22
2 ($J)J J ,J ##''A#AA# Les solutions sont les fonctions de Legendre associées d'ordre n : )x(BQ)x(APy nmmn

VII 1 Fonctions de Legendre associées de 1

ère

espèce Px nm n2 nmnm n2/m2 n mm

2/m2mn

)1x(dxd !n2)x1()x(Pdxd)x1()x(P##$#$ On a .nmsi0)x(Pet)x(P)x(P mnn0n

Fonctions de Legendre associées de 1

ère

espèce particulières :

2/122132222/12122/1211

)x1)(1x5(23)x(P)x1(3)x(P)x1(x3)x(P)x1()x(P##$#$#$#$.

Fonction génératrice :

1 mnnmn2/1m2mm2/m2 t)x(P)ttx21(!m2t)x1()!m2(

Orthogonalité :

l,nmlmn1 1 )!mn()!mn(

1n22dx)x(P)x(PI#'

Formule de récurrence : 0)x(P)mn()x(xP)1n2()x(P)m1n( m1nmnm1n

VII 2 Fonctions de Legendre associées de 2

ème

espèce Qx nm )x(Qdxd)x1()x(Q nmm

2/m2mn

VIII HARMONIQUES SPHERIQUES

HL0#$L0?0'#

&'#$L0 #L m),(Y)1(),(Y)0m,l(e)(cosP)!m()!m(

412)1(),(Y

*mmmimmmm

Orthogonalité : )ddsind(d),(Y),(Y

m,m,m*m

L00$MII$ML0L0

AAAA

Fermeture :

11 0L

A#LI0A#0I$LA0AL0

0m mm*m sin)()(),(Y),(Y Soit

NLN#$99

NLN

0'N0N0N0N

0#$##iLetsin1)(sinsin1L

z22 222

On a :

J,J

L0$L0L0'$L0

),(mY),(YL),(Y)1(),(YL mmzm2m2

Harmoniques sphériques particulières :

LOO

0&$0&$&$

i110100 esin83Ycos43Y41Y$.

LOOLOO

0&$00&$#0&$

i2222i12202 esin3215Yecossin815Y)1cos3(165Y$.

IX EQUATION DIFFERENTIELLE D'HERMITE

0ny2yx2y$'A#AA

Si n est entier alors les solutions sont les polynômes d'Hermite H n (x) donnés par la formule de Rodriguès : Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Fonctions importantes 22
xquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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FONCTIONS IMPORTANTES

I fonction Gamma (FONCTION FACTORIELLE)

Définition : 0)>(z dxxe)z(

Propriétés :

21.3).....1p2()21p2(

Série de Stirling :

Formule de Stirling

II fonction BETA B(m,n)

0n,0mdt)t1(t)n,m(B

000$'$

01n21m2

III fonction D'ERREUR ET LOI DE LAPLACE-GAUSS

III 1 Fonction d'erreur

Définition : !

0n1n2n

1)(Erf,0)0(Erf),x(Erf)x(Erf$"$#$#.

Fonction d'erreur complémentaire : !

III 2 Loi normale ou de Laplace Gauss

Définition :

Moyenne :

2xde0x

Variance :

2#$/)xX(Y on obtient la loi normale centrée réduite (

0y$, 1

Fonction de répartition

F(x) est reliée à la fonction d'erreur par

9:;<=>

IV EQUATION DIFFERENTIELLE de Bessel

0)( 0y)x(yxyx

ère

ème

Si @ est non entier alors )x(J

Pour n entier :

00#0&$

Fonction génératrice :

Formules de récurrence :

EF)x(J)x(J21)x(J)x(J)x(Jx2)x(J

Fonctions de Bessel d'ordre demi-entier :

2/12/1

2/32/3

V EQUATION DIFFERENTIELLE de Bessel MODIFIEE

0)( 0y)x(yxyx

ère

2/i@@&#@

ème

Si @ est non entier alors )x(I

Pour n entier :

Fonction génératrice :

Formules de récurrence :

EF)x(I)x(I21)x(I)x(Ix2)x(I)x(I

2/12/1

2/32/3

VI EQUATION DIFFERENTIELLE DE LEGENDRE

0y)1(yx2y)x1(

VI 1 Cas général

1x ...x)!p2()1p2)...(3)(1)(2p2)...(2()1(...x!2)1(1)x(U

G#'@'@'@'#@#@@#'''@@#$

1x ..x)!1p2()p2)...(4)(2)(1p2)...(3)(1()1(..x!3)2)(1(x)x(V

G''@'@'@'#@#@#@#'''@#@#$

VI 2 Cas où n est entier

Legendre P

345678#$ )impairn(!n/!21n2)1()1(V

1n2/)1n(n

9:;<=>

345678

Fonctions de Legendre de 2

ème

VI 3 Polynômes de Legendre

Formule de Rodriguès :

Polynômes de Legendre particuliers :

332210

Polynomes de Legendre en fonction de 0 :

0'0$00'$00$0$0

Fonction génératrice :

Orthogonalité :

HH#I'$

Formules de récurrence :

KKK#KKKK#$

VII EQUATION DIFFERENTIELLE DE LEGENDRE ASSOCIEE