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Fonctions de Bessel
Les fonctions de Bessel peuvent servir µa illustrer un grand nombre des thµemes qui
1. La fonction de BesselJ0
0essaie de montrer pourquoi les
8(x;y)2R2; f(x;y) =eiy:
et faisons subir µa la fonctionfune rotation (d'angle¡®) pour obtenir la fonctionf®
8M2R2; f®(M) =f(R®M)
oµu R
8(x;y)2R2; f®(x;y) =ei(xsin®+ycos®):
F = Z 2¼ 0 f
®d®
2¼,
c'est-µa-dire
8(x;y)2R2;F(x;y) =Z
2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)d®
2¼.
r=p x y=rsinµ, on a
F(x;y) =Z
2¼ 0 eir(cosµsin®+sinµcos®)d®
2¼=Z
2¼ 0 eirsin(µ+®)d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)d¯
2¼= J0(r);
J
0(r) =Z
2¼ 0 eirsinudu
2¼.
1
8r >0;J000(r) +1
r
J00(r) =¡J0(r):
surRpar
8t2R;J0(t) =Z
2¼ 0 eitsinµdµ
2¼.
Nous venons d'expliquer que J
de paramµetre 0, (B
0)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) +t2y(t) = 0:
0 e itsinµ= exp¡(t=2)(eiµ¡e¡iµ)¢= exp¡seiµ¢exp¡
¡seiµ¢
= exp
¡seiµ¢
exp
¡¡seiµ¢;
de sorte que J
0(t) appara^³t comme le produit scalaire dans L2(0;2¼) des deux fonctions
µ!exp(seiµ) etµ!exp(¡seiµ),
J
0(t) =Z
2¼ 0 eitsinµdµ D +1X k=0s k k!eikµ;+1X k=0(¡s)k k!eikµi=+1X k=0(t=2)k k!(¡t=2)k k!=+1X k=0(¡1)kt2k 4 k(k!)2. rayon de convergence in¯ni (on pourrait facilement calculer ce rayon avec les critµeres sur le plan complexeCtout entier.
Vibrations d'un tambour
D, nulles
des ondes sous la forme
8(x;y)2D;8t¸0; u(x;y;t) =g(x;y) cos(¹t):
2u @t
2= ¢u;
2 oµu le laplacien est pris dans les variables d'espace (x;y). On verra plus loin que la fonction J et introduisons une fonctiongsurR2en posant
8(x;y)2R2; g(x;y) = F(¹x;¹y) = J0(¹r):
(¢g)(x;y) =¹2(¢F)(¹x;¹y) =¡¹2g(x;y); ce qui montre que ¢g=¡¹2g. On trouve unhhmode propreiide vibration pour chaque sont de la forme u k(x;y;t) = J0(¹0;kr) cos(¹0;kt); r=p x 2+y2: tambour, qui est l'analogue du cas oµu une corde de guitare ou de violon vibre en un seul fuseau. En e®et, J
0est>0 sur [0;¹0;0[; la solutionu0ci-dessus est donc>0 µa l'instant
2. Les autres fonctions de Bessel
F n=Z 2¼ 0 f
®e¡in®d®
2¼,
c'est-µa-dire
8(x;y)2R2;Fn(x;y) =Z
2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)¡in®d®
2¼.
n=¡Fn. La fonction F nn'est plus une fonction radiale : si on posex=rcosµ,y=rsinµ, on a F n(x;y) =Z 2¼ 0
2¼=Z
2¼ 0 eirsin(µ+®)¡in®d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)¡in(¯¡µ)d¯
2¼=einµJn(r);
8t2R;Jn(t) =Z
2¼ 0 eitsinue¡inudu
2¼.
d 2 dr 2+1 r d dr +1 r 2d 2 dµ 2 J
00n(r) +1
r
J0n(r)¡n2
r
2Jn(r) =¡Jn(r):
3
Nous trouvons ainsi que J
paramµetren, (B n)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) + (t2¡n2)y(t) = 0: analogue µa ce qu'on a fait pour J
0: il su±t d'y translater denpas vers la droite le
8t2R;Jn(t) =+1X
k=0(¡1)k(t=2)2k+n k!(k+n)!. On voit µa nouveau que le rayon de convergence est in¯ni. On note que J n(0) = 0 pour nobtenue en exprimant (k+n)! comme ¡(k+n+ 1),
8t >0;Jº(t) =+1X
k=0(¡1)k(t=2)2k+º k!¡(k+º+ 1). fonction J ºest solution det2y00+ty0+ (t2¡º2)y= 0 sur (0;+1). Ainsi, Jºet J¡º pournentier<0 on a Jn= (¡1)nJ¡n; les fonctions Jºpermettent aussi de trouver une n). Par exemple, dans le casn= 0, on prendra Y
0= limº!0J
º¡J0
de Bessel BY intervalle.
¡tJ0(t)2'0(t)¢0= 0:
multiples de J 0. 4 L
8x2(0;1];(Tf)(x) = ln(x)Z
x 0 f(t)tdt+Z 1 x ln(t)f(t)tdt: Montrer que T est hermitien, Hilbert-Schmidt, µa image dense donc injectif; montrer que 0). forment, aprµes normalisation, une base hilbertienne de L
2([0;1];¹).
Problµeme de Dirichlet, suite
g(x;y) = Fn(¹x;¹y) = Jn(¹r)einµ de fonctions propres pour le problµeme de Dirichlet dans H J
On remarque que J
j n(s) =+1X k=0(¡1)ksk 2
2k+nk!(k+n)!,
donc F n(x;y) =jn(x2+y2)rneinµ=jn(x2+y2)(x+iy)n 5
8µ;eitsin(µ)=X
n2ZJ n(t)einµ:
G(u;t) = exp³t
2 u¡1 u
G(u;t) =X
n2Za n(t)un
8u2Cn f0g;8t2R;exp³t
2 u¡1 u =X n2ZJ n(t)un: J n(t) =1
2i¼Z
°(½)G(u;t)
u ndu u avec la fonction entiµere J njJn(t)j ·maxfjG(u;t)j:juj=½g: t2C, toutn2Z, R jnjjJn(t)j ·maxfjG(u;t)j: 1=R· juj ·Rg:
Quanduest dans cette couronne, le module de1
2 jG(u;t)j ·eRjtj; on obtient pour toust2C,n2Zet R>1 jJn(t)j ·R¡jnjeRjtj:
8u2Cn f0g;8t2C;exp³t
2 u¡1 u =X n2ZJ n(t)un: 6 g(u;t) =1 2 u¡1 u exp³t 2 u¡1 u
Pbn(t)un; les arguments de
jbn(t)j ·R¡jnjReRjtj t. Ces lignes justi¯ent beaucoup des calculshhformelsiiqu'on peut faire sur la fonction Exercice(facile). Montrer que 2J0n= Jn¡1¡Jn+1. de la fonction ch(t) : elle est paire, croissante sur [0;+1[, tend vers l'in¯ni plus vite que
Exercice.Montrer que pour tout entiern¸0, on a
tJn+1(t) =nJn(t)¡tJ0n(t): coe±cients entierstels que t kJn+k(t) = A(t)Jn(t) +tB(t)J0n(t): J
3. Comportement µa l'in¯ni des fonctions de Bessel
3.1.
Voir Chatterji volume 3, sections 2.6 et 2.7.
On suppose quenest un entier¸0 et queyest solution sur l'intervalle ouvert (B n)8t >0; t2y00(t) +ty0(t) + (t2¡n2)y(t) = 0:
Si on posez(t) =p
(1)z00(t) +³
1¡n2¡1=4
t 2´ z(t) = 0: q(t) = 1¡n2¡1=4 t 2 section. 7 n, qui est {µa un multiple prµes{ quandt!0. tinue sur un intervalle ouvert I½R, six00(t)+q(t)x(t) = 0 pour toutt2I, et si la fonction xn'est pas identiquement nulle sur I, on voit que le vecteur X(t) = (x0(t);x(t))2R2 n'est jamais nul. En e®et, l'ensemble
A =ft2I :x(t) =x0(t) = 0g
q
1etq2surItelles que
q
1·q2;
8t2I; x001(t) +q1(t)x1(t) = 0; x002(t) +q2(t)x2(t) = 0:
Six2ne s'annule pas surIet six1n'est pas identiquement nulle surI, alorsx1possµede la fonctionx2(t) =etest une solution dex00¡x= 0 qui ne s'annule pas surR; la solution x b= infft > a:x1(t) = 0g l'intervalle ouvert (a;b). Elle y a donc un signe constant, par exemplex1>0 sur (a;b). x
01(a) = limh!0;h>0h¡1¡x1(a+h)¡x1(a)¢= limh!0;h>0h¡1x1(a+h)¸0;
garde un signe constant sur (a;b)½I, par exemplex2>0. L'outil de la preuve est le wronskien
W(t) =x01(t)x2(t)¡x1(t)x02(t);
X
1(t) = (x01(t);x1(t)) et X2(t) = (x02(t);x2(t)); en tout pointt0oµux1(t0) = 0, on a
W(t0) =x01(t0)x2(t0). Ainsi
W(a) =x01(a)x2(a)>0;W(b) =x01(b)x2(b)<0:
8
Mais par ailleurs on voit que
8t2(a;b);W0(t) =x001(t)x2(t)¡x1(t)x002(t) = (q2(t)¡q1(t))x1(t)x2(t)¸0;
ce qui contredit le fait que W(b)
Corollaire.Soit(a(n) 0< a(n)
k< a(n) k+1etnentier¸0; sin= 0, on aa(n) k+1¡a(n) k< ¼pour toutket sin >0, on aa(n) k+1¡a(n) k> ¼. On a de plus pour toutn¸0, lim k!+1¡a(n) k+1¡a(n) k¢=¼: 0, et posonsak=a(0)
kpour simpli¯er; si z(t) =p tJ0(t), on a z 00(t) +³
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[PDF] Formulaire fonctions de Bessel