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30 mar 2018 · régression linéaire multiple, nous ferons un usage intensif des fonctions 3 4 Tableau d'analyse de variance et coefficient de détermination R²

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25 mar 2011 · Résultats retournés par Excel avec l'utilitaire d'analyse Régression linéaire Statistiques de la régression Coefficient de détermination multiple

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Régression avec EXCEL 19 résultats suivants : RAPPORT DÉTAILLÉ Statistiques de la régression Coefficient de détermination multiple 0,409915661

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Il faut noter également que le coefficient de détermination R2 n'est plus La même régression sous EXCEL donne exactement les mêmes résultats (Figure 0 3) 

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Excel 2 Régression multiple 2/5/2011ag 2/45 régression simple Régression multiple introduction Coefficient de détermination R2 (Corrélation multiple)

[PDF] 243 Le coefficient de corrélation multiple (ou coefficient de

Dans le calcul de corrélations simples, tous les facteurs sont confondus Très souvent on est intéressé à éliminer l'effet (linéaire) d'une ou de plusieurs variables 

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Le coefficient de détermination multiple est donné par : ∑ − = = 1 1 ' 2 p j jpj ra R Prenons garde au fait que ce coefficient – dont les a'p-1 constituent en 

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les calculs, dans la seconde nous présentons la régression linéaire multiple comme généralisation de la LA REGRESSION PAR LA METHODE DE FORSYTHE (macro Excel) 83 6 Formule de décomposition, coefficient de détermination

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riables explicatives ne peut que faire croître le coefficient de détermination La quantité R est appelée coefficient de corrélation multiple entre Y et les variables  

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regression simple Regression multipleStatistiques pour sciences sociales : applications

7 - Regression lineaire

Alexis Gabadinho

Universite de Geneve

Departement des sciences economiques

Printemps 2011

2/5/2011ag 1/45regression simple

Regression multipleplan

1regression simple

introduction estimation du modele evaluation du modele Excel

2Regression multiple

2/5/2011ag 2/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelintroduction

Parregressionon entend la prediction d'une variable en fonction de la connaissance d'une (ou plusieurs) autre(s) variable(s),on etudie la dependance statistique d'une grandeur par rapport a une ou plusieurs autresLa regression estlineairelorsque la relation entre la variable dependante et la variable independante est lineaire Par exemple :taille des individus en fonction de celle de leurs parents taux de reussite scolaire en fonction des depenses d'education revenu en fonction de l'^age et du nombre d'annees d'etudes depenses de consommation en fonction du revenu

2/5/2011ag 4/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

ExcelDependance parfaite

Si la dependance est parfaite (et la relation lineaire), les points sont alignes sur une droiteOn peut predire parfaitement la valeur deysi on conna^t la valeur dex:y=ax+bl l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

05101520

0 20 40
60
80
100
x y=ax+b2/5/2011ag 5/45 regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelexemple

Depenses de consommation (C) en fonction du produit interieur brut (PIB), en Suisse, en mia. de francs (1980)x iyi t PIB tCt1981 181.5 108.6

1982 179.8 108.5

1983 182.3 110.3

1984 187.7 112.0

1985 194.2 113.7

1986 196.6 116.9

1987 199.5 119.3

1988 207.0 121.9? = 0.5? + 17.7

104108112116120124

175 180 185 190 195 200 205 210

PIBConsommation)approximer la relation par une droite2/5/2011ag 6/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelrelation de dependance

??u -y=f(x) +u=a+bx+u ^y=f(x) =a+bxyvariable dependante, expliquee, endogene, reponse xvariable independante, explicative, exogene, predicteur ^yvaleur predite par le modele uecart residuel aleatoire (residual) =y^y, (E(u) = 0) aconstante du modele (intercept) bcoecient de regression (slope)2/5/2011ag 7/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelexemple

Regression Statistics

Multiple R 0.9841

R Square 0.9685

Adjusted R Square 0.9632

Standard Error 0.9618

Observations 8

ANOVA df SS MS F Sig. F

Regression 1 170.47 170.47 184.30 0.000

Residual 6 5.55 0.92

Total 7 176.02

Coeff. Std Error t Stat P-value

Intercept 17.67 7.10 2.49 0.047

PIB 0.50 0.04 13.58 0.000But : savoir lire les informations fournies par un logiciel (Excel)

2/5/2011ag 8/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelestimation de la relation

y i=a+bxi+uii= 1;:::;n estimer la relation)estimer les parametresaetb estimeraetbde facon que la droite s'ajuste le mieux aux donnees, que les residusui(ecarts entreyieta+bx) globalement petits l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

05101520

0 20 40
60
80
100

Ajustement optimal

x y=ax+b+u l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

05101520

0 20 40
60
80
100

Résidus importants

x y=ax+b+u2/5/2011ag 9/45 regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

ExcelEstimation

Estimateurs des moindres carres

(least squares, kleinste Fehlerquadrate) min a;bs(a;b) =nX i=1(yiabxi)2^ b=cov(x;y)var(x)=P i(xix)(yiy)P i(xix)2 ^a=y^bx (^at.q. la droite des moindres carres passe par le point moyen)2/5/2011ag 10/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelhypotheses sous-jacentes du modele lineaire

H1: relation lineaire entrexety,aetbidentiques pour toutiH2:E(ui) = 0!residus en moyenne = 0H3: var(ui) =2upour touti!var constante (homoscedasticite)Verier si la dispersion est independante dex

homoscedasticite heteroscedasticite2/5/2011ag 11/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelhypotheses

H4: cov(ui;uj) = 0 pour touti6=j!residus ne pas autocorrelescorr(ui;ui-1) = 0 autocorr´elation positive

autocorr´elation n´egativeH5: cov(xi;ui) = 0 facteurs et residus ne pas correlesH6:uiN(0;2) residus distribues normalement2/5/2011ag 12/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelcalcul

Exemple de calcul de^aet^bix

iy i121 222
333
443
555
x= 3:2y= 2:8var(x) = 1:36var(y) = 1:76cov(x;y) = 1:44^ b=1:441:36= 1:059^a= 2:81:0593:2 =0:588^y=0:588 + 1:059x 1 02 13 45

2 3 4 5

? 1 ??Predictions : x= 2)^y=0:59 + 1:062 = 1:53 x= 5)^y=0:59 + 1:065 = 4:712/5/2011ag 13/45 regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelcalcul

)dans Excel, on peut utiliserla fonction =PENTE(Yi:Yn;Xi:Xn) pour le coecient^bla fonction =ORDONNE.ORIGINE(Yi:Yn;Xi:Xn) pour ^al'option\courbe de tendance"dans l'interface graphique

l'outil\regression"dans la macroanalyse de donnees(!plus tard)Deux exemples :

1exemple precedent

2poids = f(taille) (donnees du questionnaire)

2/5/2011ag 14/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelevaluation du modele

si var(x)6= 0 (xnon constant))droite m.c. existe existence solution6= pertinence de la solution )il faut evaluer laabilitedes resultats :1Qualite globale de l'ajustement : erreur standard de regression coecient de determinationR2StatistiqueF2Test (Student) de signicativite des parametres : H

0:a= 0 etH0:b= 03Analyse des residus :

remise en cause des hypotheses surudetection de donnees atypiques

2/5/2011ag 15/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelcalcul des residus

Residus : exemple de calcul

Residu :ri(= ^ui) =yi^yi, avec ^yi= ^a+^bxi

Droite des moindres carres (m.c.) ^y=0:588 + 1:059xix iyi^yir ir2i12 1 1.529-0.529 0.280

22 2 1.5290.471 0.221

33 3 2.5880.412 0.170

44 3 3.647-0.647 0.419

55 5 4.7060.294 0.087

total16 14 140 1.175 moyenne3.2 2.8 2.80 0.235 variance1.36 1.761.5250.235 ecart type1.167 1.327 1.2350.485 )var(y) = var(^y) + var(r)2/5/2011ag 16/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelerreur standard

Erreur standard de regresssion

= estimation ^ude l'ecart type du terme d'erreuru

(mesure de la dispersion autour de la droite de regresssion)Estimation: estimateur non biaise de2u(regression simple)

^2u=1n2n X i=1r

2iavec ^ui=ri= (yi^yi)Somme des carres des residus divisee par (n2), soitnmoins un degre

de liberte par parametre estime (aetb); exemple : X ir

2i= 50:235 = 1:175^2u=1:1753

= 0:3917^u=p0:3917 = 0:626 erreur standard de la regression2/5/2011ag 17/45 regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

ExcelCoecient de determination

Coecient de determinationR2(Correlation multiple)

mesure la part de la variation deyreproduite par la droite estimee?? variation de ^yvar(^y) =1n P i(^yiy)2 variation residuelle var(r) =1n P i(yi^yi)2variation deyvar(y) =1n P i(yiy)2R

2=var(^y)var(y)= 1var(r)var(y)2/5/2011ag 18/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelcoecient de determination

Autre interpretation deR2On peut montrer que

R

2=var(^y)var(y)=cov2(^y;y)var(y)var(^y)= corr2(y;^y))R2: Carre de la correlation multiple entreyet les facteurs

explicatifs determinant ^ypour la regression simple, on a ^y= ^a+^bx, d'ou R

2= corr2(y;^y) = corr2(y;^a+^bx) = corr2(y;x)2/5/2011ag 19/45regression simple

Regression multipleintroduction

estimation du modele evaluation du modele

Excelcalcul deR2Exemple de calcul deR2ix

iyi^yir i12 1 1.529-0.529

22 2 1.5290.471

33 3 2.5880.412

44 3 3.647-0.647

55 5 4.7060.294

variance1.36 1.761.5250.235 cov(x;y) = 1:44 cov(y;^y) = 1:525R

2=var(^y)var(y)=1:5251:76= 0.87= 1var(r)var(y)= 10:2351:76= 1 - 0.13 = 0.87= corr

2(y;x) =(1:44)21:761:36= 0.87= corr

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