La relation de Chasles est un outil fondamental pour montrer que des vecteurs sont colinéaires par exemple Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] Ces deux équivalences sont fondamentales en géométrie car elles s'utilisent très souvent AC
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AC est la somme des vecteurs AB et BC Remarque On peut interpréter la relation de Chasles de la façon suivante : le vecteur AB représente un
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fonction de BC nction de AB et AC de [AB] et N le milieu de [AC] MN = BC en utilisant la relation de Chasles
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Maths – Seconde EXERCICES : VECTEURS Exercice 1 Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : 1) AB AC CB - - =
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(non détaillées) aux questions sont disponibles à la fin du document Exercice 1 : Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : 1)
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Définition
Un vecteur?udont un représentant est le vecteur-→AB , est une classe d"équivalence définie par : une direction : celle de la droite (AB) un sens : de A vers B une longueur appelé norme du vecteur?uet notée ?u||ou||-→AB||.Il s"agit de la distance AB?0
AB u? u uRemarque :
Par abus de langage, on dira indistinctement
le vecteur ?uou le vecteur-→ABSomme de deux vecteurs - Relation de Chasles
Pour additionner deux vecteurs?u=-→AB et?v=-→BC on utilise la relation de Chasles : AB BC AC ?u? v u+?v AB CRègle du parallélogramme
OA OB OC --→OA+-→OBOA B CL"addition de deux vecteurs est :commutative
:?u+?v=?v+?uassociative
possède unélément neutre
:?0 tout vecteur-→AB possède un opposé -→BA=--→AB .Application de la relation de Chasles
La relation de Chasles permet :
d"" éclater » un vecteur en introduisant un point : AB AC CB de réduire une somme : --→MN+--→NA? ?+-→AP=--→MA+-→AP? ?=--→MP La relation de Chasles est un outil fondamental pour montrerquedesvecteurs sontcolinéaires parexemple. Égalité de deux vecteurs - Milieu d"un segment -→AB=--→CD?ABDC parallélogramme
AB C DI milieu du segment [AB]
???A I B -→AI=12-→AB ou-→AI=-→IB ou-→AI+-→IB=?0
Les vecteurs
Le point de vue géométrique
Milieu d"un segment
Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC].
=2-→AI+-→IB+-→IC? ?0=2-→AIOn retient :
-→AI=12(-→AB+--→AC)
Centre de gravité d"un triangle
Soit ABC un triangle alors ses trois médianes sont concourantes au centre de gravité G.Soit I le milieu de [BC], on a alors :
G centre de gravité --→AG=23-→AI
--→GA+-→GB+--→GC=?0 CA B I GMultiplication par un scalaire
Soitkun réel, le vecteurk?ucorrespond :
à un vecteur de longueur|k| × ||?u||
de même sens que?usik>0 de sens contraire à?usik<0 La multiplication par un réel est bilinéaire : k(?u+?v) =k?u+k?vet(k+k?)?u=k?u+k??uApplication du produit par un scalaire
On dit que?uet?vsont colinéaire ssi?v=k?u,k?R
A, B, C alignés?-→AB et--→AC colinéaires(AB)//(CD)?-→AB et--→CD colinéairesCes deux équivalences sont fondamentales en géométriecar elles s"utilisent très souvent!
PAUL MILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE2 juillet 2018 à 11:39PREMIÈRE SUn exemple d"application de la colinéarité
Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :-→AE=13-→BC ,-→CI=2
3-→CB et-→AF=1
3--→AC .
Démontrer que I, E et F sont alignés
Exprimons-→EI et-→EF en fonction de-→AB .-→CI=2
3-→CB donc-→BI=1
3-→BC .
On en déduit que
-→AE=-→BI donc que AEIB est un parallélogramme.On a alors :
-→EI -→AB-→EF
=-→EA+-→AF 13-→CB+1
3--→AC
13(--→AC+-→CB) =
13-→AB
A B CE I FOn en déduit alors :-→EF=1
3-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc les
points E, F et I sont alignés.Pour aller plus loin - Notion de barycentre
On appelle
barycentre de deux points A et B associés aux coefficientsαetβ, le pointG tel que :
α--→GA+β-→GB=?0 avecα+β?=0
(1) On note alors G barycentre des points pondérés(A,α)et(B,β)Remarque :
Lorsque
, on dit que G est l" isobarycentre des points A et B.Le point G est alors le
milieu du segment [AB].De cette définition (1), on montre que
--→AG=βα+β-→AB
(2)Exemple :
Soient A et B deux points.
Placer le barycentre G
1des points pondérés respectifs (A, 2), (B, 1).
D"après (2), on a :--→AG1=12+1-→AB=1
3-→AB
??AB ?G1Formule de réduction :
Si G est le barycentre de (A,α) et (B,β) alors?M : α--→MA+β--→MB= (α+β)--→MG Cette formule de réduction permet de déterminer les lignes de niveau c"est à dire de déterminer puis tracer l"ensemble des points M qui vérifientune relation vectorielle.Exemple : Déterminer l"ensemble des points M qui vérifient :||2--→MA+3--→MB||=10 Soit G barycentre de (A, 2) et (B, 3), on a alors : 2 --→MA+3--→MB=5--→MGL"égalité devient :||5--→MG||=10?MG=2
L"ensemble demandé est donc le cercle de centre G est de rayon2.De même, on définit le
barycentre G de 3 points pondérés (A,α), (B,β) et (C,γ) : α--→GA+β-→GB+γ--→GC=-→0 avecα+β+γ?=0Remarque :
L"isobarycentre
de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.On généralise avecnpoints pondérés :Le barycentre G de(A1,α1),(A2,α2), ...,(An,αn)est défini par :
n∑ i=1α i--→GAi=-→0 avecn∑ i=1α i?=0