Quelques corrigés de TD 5 et TD6 1 Feuille d'exercices N ◦ 5 Exo 10 Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples dans C(X),
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Fractions rationnelles Exercice 1 Correction exercice 1 1 Décomposer en éléments simples, sur ℂ puis sur ℝ, les fractions rationnelles suivantes : a
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Corrigé Il s'agit d'un exercice classique d'analyse Raisonnons par l'absurde en niant la On cherche par exemple ∫ R(x, √ x2 + 1)dx On pose x = sinht et on obtient ∫ R(sinht,cosht) coshtdt, qui est l'intégrale d'une fraction rationnelle
Fractions rationnelles : corrigé Exercice no 1 1) Soit F = X2 + 3X + 5 X2 − 3X + 2 = X2 + 3X + 5 (X − 1)(X − 2) 1 et 2 ne sont pas racines du polynôme X2
Imputation rationnelle des charges fixes/ Direct costing simple/Direct costing évolué Cette production correspond ; en fait, à un emploi de 75 de la capacité
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MHT201
Quelques corrigés de TD 5 et TD6
1 Feuille d"exercices N
◦5 Exo. 10.Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples dansC(X), et puis dansR(X): 1. 1
X(X2+1)2
2. X X
4+X2+1
Corrgié :1).Décomposition dansC(X):
On calcule d"abord la factorisation dansC[X]du dénominateur de cette fraction ration- nelle :
X(X2+ 1)2=X(X+i)2(X-i)2:
Donc la décomposition en éléments simples de cette fraction rationnelle s"écrit sous la forme suivante : 1
X(X2+ 1)2=a
X +b1
X+i+b2
(X+i)2+c1
X-i+c2
(X-i)2;(1) aveca;b1;b2;c1;c2des coefficients à déterminer (la partie entier est0puisque le degré du numérateur= 0
X, on trouve 1 (X2+ 1)2=a+X·(b1 x+i+b2 (X+i)2+c1 X-i+c2
(X-i)2) Puis en remplaçantXpar0dans l"identité ci-dessus, on aa= 1. Ensuite, en multipliant l"indentité (1) par(X+i)2, on trouve 1 X(X-i)2=b2+b1(X+i) +(a
x +c1 X-i+c2
(X-i)2) ·(X+i)2:
Posons
f(X) =1 X(X-i)2;etq(X) =a
x +c1 X-i+c2
(X-i)2: En particulier,q(X)est un fonction continue et dérivable enx=-i. Par conséquent, on a f(-i) =b2+ (-i+i)·q(-i) =b2 1 et f ′(-i) =( b 2+b1(X+i) +(a
x +c1 X-i+c2
(X-i)2) ·(X+i)2)
X=-i=b1:
D"oùb1=f′(-i) =-1=2, etb2=-i=4. De la même manière, on peut calculer les coeffi- cientsc1etc2, et on trouvec1=-1=2,c2=i=4. On obtient donc enfin la décomposition suivante :1 X(X2+ 1)2=1
X +-1=2 X+i+-i=4
(X+i)2+-1=2 X-i+i=4
(X-i)2 Décomposition dansR(X)
Il faut calculer d"abord la factorisation du dénominateur dansR[X]: puisque le polynôme X 2+1est irréductible dansR[X], la factorisation du dénominateur estX(X2+1)2. Donc,
la décomposition de cette fraction rationnelle dansR(X)s"écrit sous la forme suivante : 1 X(X2+ 1)2=a
X +b1X+b2 X 2+ 1+c1X+c2
(X2+ 1)2(2) aveca;b1;b2;c1;c2des coefficients à déterminer. En multipliant l"identité (2) ci-dessus par X, et puis en remplaçantXpar0, on obtienta= 1. Ensuite, on muitiplie l"identité (2) parX, on a 1 (X2+ 1)2=a+X(b1X+b2) X 2+ 1+X(c1X+c2)
(X2+ 1)2: Donc on trouve
0 = lim
X→∞1
(X2+ 1)2= limX→∞( a+X(b1X+b2) X 2+ 1+X(c1X+c2)
(X2+ 1)2) =a+b1 Doncb1=-a=-1. De façon similaire, on a
0 = lim
X→∞X
(X2+ 1)2= limX→∞(( a+X(b1X+b2) X 2+ 1+X(c1X+c2)
(X2+ 1)2) ·X)
=b21; donc 1 X(X2+ 1)2=1
X +-X X 2+ 1+c1X+c2
(X2+ 1)2; d"où 1 = (X2+ 1)2-X·X(X2+ 1) + (c1X+c2)X= (1 +c1)X2+c2X+ 1:
1. En effet, ici on a les égalités suivantes :
aX+X2(b1X+b2) X 2+ 1=aX+(X2+ 1-1)(b1X+b2)
X 2+ 1=aX+b1X+b2-b1X+b2
X 2+ 1=b2-b1X+b2
X 2+ 1 2 Par identification, on ac1=-1,c2= 0. On obtient enfin la décompostion en éléments simples dansR(X): 1 X(X2+ 1)2=1
X +-X X 2+ 1+-X
(X2+ 1)2 2).Décompositoin dansC(X)
On calcule d"abord la factorisation du dénominateur : comme(X2-1)(X4+X2+ 1) = X 6-1, si on pose=e2i=6, les4racines complexes du polynômeX4+X2+ 1sont
=e2i=6,2=e4i=6,4=e8i=6et5=e10i=6. On obtient ainsi la factorisation dans C[X]du polynômeX4+X2+ 1:
X 4+X2+ 1 = (X-)(X-2)(X-4)(X-5):
Donc la décomposition en éléments simples s"écrit X X 4+X2+ 1=a
X-+b X-2+c X-4+d X-5; aveca;b;c;dquatre coefficients à déterminer. Pour calculera, remarquons qu"on a X (X-2)(X-4)(X-5)=X(X-) (X-)(X-2)(X-4)(X-5) =a+( b X-2+c X-4+d X-5) (X-): D"où
a= 3i 6 :2 Par une méthode similaire, on peut calculer les coefficientsb;c;d, et on obtient finalement X X 3i=6 3i=6 3i=6 3i=6 X-5 Décomposition dansR(X)
D"abord, la factorisation dansR[X]du dénominateur : X 4+X2+ 1 =X4+ 2X2+ 1-X2= (X2+ 1)2-X2= (X2+X+ 1)(X2-X+ 1):
Donc, la décomposition dansR[X]de cette fraction rationnelle s"écrit sous la forme sui- vante :X X 4+X2+ 1=aX+b
X 2-X+ 1+cX+d
X 2+X+ 1;(3)
2. Rappelons qu"on a=e2i=6= cos(2=6)+isin(2=6) =1
2 +p 3 2 i. De la même manière, on trouve 2=-1 2 +p 3 2 i,4=-1 2 -p 3 2 i, et5=1 2 -p 3 2 i 3 aveca;b;c;dà déterminer. En remplaçantXpar0dans l"identité ci-dessus, on trouve b+d= 0. En multipliant l"identité (3) parX, on obtient X 2 X 4+X2+ 1=aX2+bX
X 2-X+ 1+cX2+dX
X 2+X+ 1;
puis on faitXtendre vers∞, on obtient0 =a+c. Ensuite, on remplaceXpar-Xdans l"identité ci-dessus, on a -X (-X)4+ (-X)2+ 1=a(-X) +b (-X)2-(-X) + 1+c(-X) +d (-X)2+ (-X) + 1; c"est-à-dire, -X X 4+X2+ 1=-aX+b
X 2+X+ 1+-cX+d
X 2-X+ 1:
D"où
-aX-b X 2-X+ 1+-cX-d
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