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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne
Polynômes et fractions rationnelles
Didier Piau et Bernard Ycart
Tout le monde connaît les fonctions polynomiales : ce sont simplement les fonctions commet?→4+5t2+7t3+t5. Lespolynômesen sont une version plus algébrique, dont les avantages peuvent paraître assez subtils la première fois qu"on les découvre; soyez cependant assurés qu"ils existent, y compris si on en reste à un point de vue purement pratique. Un bagage minimum suffit pour aborder ce chapitre : un peu d"arithmétique des entiers et quelques notions sur les espaces vectoriels, sans même que ce soit vraiment indispensable.Table des matières
1 Cours 1
1.1 Anneau des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Polynômes versus fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Formule de Taylor pour les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Polynômes surCversus polynômes surR. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Entraînement 28
2.1 Vrai ou Faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Compléments 47
3.1 Algorithme de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Règle des signes de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Suites de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Formule de Cardan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 novembre 2011
Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF Grenoble1 Cours1.1 Anneau des polynômes
L"idée de la construction sera peut-être compréhensible si on se demande comment stocker une fonction polynomiale deRdansRdans une mémoire de machine : stocker toutesles valeurs de la fonction étant impossible, un bon procédé pour représenter la fonctiont?→4+5t2+7t3+t5, par exemple, sera de stocker la suite de ses coefficients; on entrera donc dans la machine la suite405701, ce qui indique que le coefficient det0 est4, celui detest0, celui det2est5, etc. Ce procédé de stockage sera tout bonnement la définition même des polynômes. Simplement, comme un polynôme peut en théorie être de degré gigantesque, bien plus grand que les capacités de stockage de toute machine, il faudra se résigner à stocker une infinité de coefficients, dont seuls lesNpremiers seront non nuls (la métaphore technolo- gique s"écroule alors) : ainsi notre polynôme-exemple sera stocké comme4057010000... (puis encore une infinité de0), occupant inutilement une infinité de cases-mémoire. Définition 1.Soit(A,+)un groupe de neutre0. Une suite(an)n?Nd"éléments deA est diteà support fini, ou biennulle à partir d"un certain rang, si le nombre d"indices npour lesquelsan?= 0est fini. En d"autres termes, il existe un indiceNfini tel que a n?= 0impliquen6N. Définition 2.Soit(A,+,·)un anneau commutatif. Notons provisoirementBl"en- semble des suites d"éléments deA, à support fini. On définit surBune addition et une multiplication par les formules (an)n?N+ (bn)n?N= (an+bn)n?N, et (an)n?N·(bn)n?N= (cn)n?Noùcn=n k=0a kbn-k. Proposition 1.L"ensembleBmuni des deux lois définies ci-dessus est un anneau commutatif. Démonstration: Il est facile de vérifier que(B,+)est un sous-groupe du groupe abélien (additif) de toutes les suites d"éléments deA. En effet, le neutre deAest la suite identiquement nulle, qui appartient àB; la somme de deux suites à supports finis est à support fini : sian= 0pour toutn > Net sibn= 0pour toutn > M, alorsan+bn= 0pour toutn >max{N,M}(et peut-être pour d"autres indicesn également mais ce n"est pas important); enfin si-adésigne l"opposé d"un élémentade A, alors l"opposé d"un élément(an)n?NdeBest la suite(-an)n?N, qui est effectivementà support fini.
1Maths en LignePolynômes et fractions rationnellesUJF GrenoblePour ce qui concerne la deuxième loi, on doit tout d"abord vérifier que(cn)n?Nest
bien une suite deB. Avec les mêmes notations que pour l"addition, pour tout indice n > M+N, dans le calcul de c n=n k=0a kbn-k=N k=0a kbn-k+n k=N+1a kbn-k, tous les termes de la première somme sont nuls, car les indices utilisés sont tels que n-k > M+N-k>Mdoncbn-k= 0. Tous les termes de la deuxième somme sont nuls aussi cark > Ndoncak= 0. Tous les coefficientscnpourn > M+Nsont donc nuls et(cn)n?Nest bien un élément deB. On va ensuite vérifier que pour ces formules,Best un anneau commutatif. C"est peu engageant et il n"y a guère d"astuces. Il faut calculer brutalement.