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Opérations sur les vecteurs

Multiplication scalaire de deux vecteurs

On note la multiplication scalaire de deux vecteurs à l"aide d"un point.

Cela se lit "le produit scalaire de

et de » ou "point » Le produit scalaire de deux vecteurs correspond à la somme des produits de leurs composantes. Si =(a, b) et = (c, d), Alors

·= ac + bd

Il est important de mentionner que le produit scalaire n"est pas un vecteur mais un scalaire qui permettra de vérifier certaines propriétés aux deux vecteurs. Souvent, le produit scalaire est représenté de la façon suivante : C"est le vecteur force (en newton N) qui multiplie le vecteur déplacement (en mètre par exemple) multiplié par le cosinus de l"angle entre les deux vecteurs et cela donne le travail (en joule J). Si nous avons la composante pour les deux vecteurs

Exemple 1 :

Si = (5, -2) et = (7, -6), Alors

·= 5x7 + (-2)x(-6) = 35 + 12 = 47

Si nous n"avons pas la composante des deux vecteurs

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Exemple 1 : avec la force (N), le déplacement (cm) et le travail (J).

Exemple 2 :

À remarquer

Nous avons deux vecteurs que l"on a mis

ensemble avec la même origine. Le vecteur

AB est projeté orthogonalement sur le vecteur

et cela donne le vecteurqui est colinéaire avec le vecteur || = |||| cosA et cela représente la longueur orientée.

·= ||||x|||| = ||||cosA x||||

||·|||| cosA ||||=5, ||||=7

·= ||||·|||| cosA

= 5

·7 cos65o

= 35 x cos65 o = 14,79 J ||||=6, ||||=5,5

·= ||||·|||| cosA

= 6

·5,5 cos119,5o

= 33 x cos119,5 o = -16,25 5 N 7 cm 6 cm

5,5 cm

Les vecteurs MAT536 www.sylvainlacroix.ca Deux vecteurs orthogonaux auront un produit scalaire égal à 0.

Exemple :

Si =(3, 6) et = (4, -2), alors ·= 3x4 + 6x(-2)= 12 + -12 = 0

Formule

Si =(a, b) et = (c, d), Alors ·= ac + bd ·= ||||·|||| cosA où A est l"angle formé par les deux vecteurs.

Démonstration :

Si deux vecteurs sont orthogonaux c"est que l"angle entre les deux vecteurs est de 90 o. cos90o = 0 ||=45, ||||=20

·= ||||·|||| cosA

45 ·20cos90o

900x 0

= 0quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40