1 On a vu que −→ V × −→ V , le produit vectoriel de deux vecteurs nul et −−→ OM × m −→ V est un vecteur constant, donc le mouvement est plan 2
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Ici, on note différemment le scalaire nul et le vecteur nul Définitions : La somme de deux vecteurs et le produit d'un vecteur par un scalaire sont définis de façon
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1 On a vu que −→ V × −→ V , le produit vectoriel de deux vecteurs nul et −−→ OM × m −→ V est un vecteur constant, donc le mouvement est plan 2
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En SI, on définit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace de dimension 3 La notion de produit vectoriel ne fait pas partie du programme de
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MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n
9 Jacques V´elu (CNAM)Chapitre 5 - Produit vectoriel, produit mixte
Produit vectoriel
1 Rappels
1.Onavuque
V=a!{+b!|+c!k!V0=a0!{+b0!|+c0!k
V!V0=(bc0cb0)!{+(ca0ac0)!|+(ab0ba0)!ket qu"on le calcule de la fac¸on suivante : a a0bc0cb0
b b0ca0ac0
c c0ab0ba0
2.Quesepasse-t-ilsil"onchangederep
est-ce qu"on trouve un autre r´esultat?
le produit vectoriel est orthogonal`a!V!V0, sa norme est l"aire du parall`elogramme construit`a partir de!V!V0,il est orient´e selon la r`egle des 3 doigts :Conclusion:!V!V0ne d´epend pas du rep`ere choisi pour le
calculer.3. Pour calculer le produit vectoriel, il sut de se rappeller que :
{!|=!k!|!{=!k!{!{=!O |!k=!{!k!|=!{!|!|=!O k!{=!|!{!k=!|!k!k=!O 1 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)et que le produit vectoriel est doublement distributif :
+cc0!k!k2 Quelques utilisations du produit vectoriel
1. Pour lesvecteurs, le produit vectoriel est un d´etecteur decolin´earit´e:
u!V=u0!V0()!V!V0=!O2. Pour lespoints, le produit vectoriel est un d´etecteur de d"alignement:ACBA;B;C align´es()!AB!AC=!O
On peut faire jouer le m
ˆeme rˆole aux 3 points :
!AB!AC=(!OB!OA)(!OC!OA) !OB!OC!OB!OA!OA!OC+!OA!OAA;B;C align´es()!OA!OB+!OB!OC+!OC!OA=!O3. Eng´eom´etrie, le produit vectoriel est li´e`a la notion derotation.
4. Le produit vectoriel permet de calculer l"aire d"un triangle:
aire(ABC)=12 !AB!AC5. Enphysique(m´ecanique, ´electricit´e, ...), on rencontre tr`es souvent des produits vectoriels.
Exemple:Th´eor`eme du moment cin´etique
LepointOestfixe.Lemomentcin´etiqueparrapport`aOdupointmobileM,demassemetdevitesse!Vest!OMm!V. SiFest la r´esultante des forces qui s"appliquent`aM, on a :
ddt (!OMm!V)=!OM!FEn eet, si!Aest l"acc´el´eration deM: ddt (!OMm!V)=!Vm!V+!OMm!A=!OM!FDans le cas o
`uMest soumis`a uneforce centraledirig´ee versO, le deuxi`eme membre est nul et!OMm!Vest un vecteur constant, donc lemouvement est plan.
2 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)3 Applications `a la g´eom´etrie plane
1. Dans le cas o
`u!Vest dans le plan( !{ ;!|), on a!V=a!{+b!|et le calcul de!V!kdonne : a0b b0a0 1 0)!V!k=b!{a!|
est le vecteur qui se d´eduit de!Vpar une rotation de+2
Cet exemple assez simple laisse deviner qu"il existe une relation entre lesproduits vectorielset les rotations.2. On consid
`ere deux vecteurs!Vet!V0dans le planR2muni d"un rep`ere orthonorm´e( O;!{ ;!|): !V=a!{+b!|!V0=a0!{+b0!| Pour pouvoir calculer leur produit vectoriel, il faut introduire une troisi `eme dimension. On ajoute un vecteur!k, pour compl´eter le rep`ere orthonorm´e( O;!{ ;!| ;!k)de R3. a a 00 b b 000 0ab0ba0)!V!V0=(ab0ba0)!kLe produit vectoriel est remplac
´e par le nombre =ab0ba0. On le note :
=ab0ba0= a a 0 b b 0 =det(!V;!V0)On l"appelle led´eterminantdes vecteurs!Vet!V0car il d´etermine s"ils sont colin´eaires ou pas.
Sa valeur absolue est l"aire du parall
´elogramme :V'
V3. Dans le plan rapport
´e au rep`ere( O;!{ ;!|), une droite( D)est l"ensemble des point sM=(x;y) qui v´erifient une´equation du type :
x+y= dans laquelleetne sont pas nuls tous les deux. Avec!N=!{+!|et!OM=x!{+y!|, cette´equation devient : N!OM= 3 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)On en tire plusieurs cons
´equences :
.La droite( D)passe par Osi et seulement si =0. .SiM0est un autre point de( D):N!OM0=
!N!OM= )!N(!OM0!OM0)=!N!MM0=0N OM M' D )Le vecteur !Nest orthogonal`a( D)Pour obtenir
!D, un vecteur directeur de( D), il su t de calculer le produit vectoriel de!Net de!k: 0 00 1 0)
!D=!{!|4. Soient deux droites( D)et ( D0)d" ´equations : (D)x+y= (D0)0x+0y= 0 det( !D;!D0)= 0 0 =00= 0 0 =det(!N;!N0)D!D0=0+0=!N!N0
(D)==(D0)()det(!D;!D0)=00=0 (D)?(D0)()!D!D0=0+0=0 4 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)5. Chercher les pointsM=(x;y)communs `a!Det!D0revient`a r´esoudre un syst`eme de 2´equations
a 2 inconnues : (S)8 >><>>:x+y=0x+0y=
0C"est pour cela qu"un tel syst
`eme est qualifi´e delin´eaire.Il y a 3 possibilit
´es :
Cas (I) :(D)
D )les deux droites sontconfondues, leurs´equations sont les mˆemes`a un facteur pr`es, le syst`eme estind´etermin´e.Cas (II) :
D D )les deux droites sontparall`eles, lespremiers membresde leurs´equations sont les mˆemes`a un facteur pr `es, le syst`eme estimpossible.Cas (III) :
M(D) D )les deux droites sontconcourantes, le syst`eme admetune et une seule solution.On va le r
´esoudre en utilisant le produit vectoriel.
(S)8 >><>>:x+y=0x+0y=
0On introduit les 3 vecteurs :
!A=!{+0!|!B=!{+0!|!C= 0!|Sixetysont des nombres quelconques :
x !A+y!B=(x+y)!{+(x0+y0)!| et le syst `eme( S)est ´equivalent`a l"´equation vectorielle : x !A+y!B=!C5 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)En multipliant`a droite par!B:
x !A!B+y!B!B=!C!B xdet(!A;!B)=det(!C;!B))x= 0 0000En multipliant`a gauche par!A:
x !A!A+y!A!B=!A!C ydet(!A;!B)=det(!A;!C))y= 000004 Application `a la g´eom´etrie dans l"espace
1. On a choisi un rep
`ere orthonorm´edirect(O;!{ ;!| ;!k): Un plan( P)est l"ensemble des points M=(x;y;z)qui v ´erifient une´equation du type :
x+y+ z=dans laquelle,et ne sont pas nuls tous les trois. Avec!N=!{+!|+ !k, cette´equation devient :!N!OM=2. On en tire plusieurs cons´equences :
.Le plan( P)passe par Osi et seulement si=0. .SiM0est un autre point de( P):N!OM0=
!N!OM=)!N(!OM0!OM0)=!N!MM0=0 6 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)N
OM M' P )Le vecteur !Nest orthogonal`a tous les vecteurs de( P). R ´eciproquement, siMest un point du plan( P), et si!MM0?!N, on a : N!OM= !N!MM0=0)!N(!OM+!MM0)=!N!MM0= etM0est dans le plan( P). (N)et d"un point Mde( N), en prenant toutes les droites ( D)passant par Met orthogonales`a( N). P )(N) M D )3. Soient deux plans( P)et ( P0)d" ´equations : (P)x+y+ z=(P0)0x+0y+ 0z=0Il y a 3 possibilit
´es :
P )(P' ) P )(P' )(P)(P' ) D )(I)(II) (III)Cas (I) et (II) :
!N!N0=!Oles plans sontparall`elesouconfondus.Cas (III) :
!N!N0,!Oles plans se coupent selon une droite( D).4. Le syst
`eme :( S)8 >><>>:x+y+ z=0x+0y+
0z=0 est unsyst`eme d"´equationsde la droite( D). Par cequ"un vecteur dir ecteur!Dde( D)est contenu dans les plans ( P)et ( P0), il est orthogonal`a!Net!N0. 7 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)R
´eciproquement, un vecteur non nul, orthogonal`a!Net!N0, est contenu dans( P)et ( P0), et c"est un vecteur directeur de ( D).On prendra donc :
!D=!N!N0SiM0=(x0;y0;z0)est un point de ( D), celle-ci admet la repr´esentation param´etrique :8>>>>><>>>>>:x(t)=x0+t(
00 y(t)=y0+t( 0 0) z(t)=z0+t(00)5. Quelques rappels.
On´ecrit( D)?(D0)et on dit qu eles dr oites( D)et ( D0)sont orthogonalesquand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. On´ecrit( D)?(P)et on dit que la dr oite( D)est orthogonaleau plan ( P)quand !D!N=!O.Dans ce cas,
( D)est orthogonale `a toutes les droites de( P). (P) D )On´ecrit( P)?(P0)et on dit que les plans ( P)et ( P0)sont orthogonaux quand!N!N0=0.Pour que
( P)soit orthogonal `a( P0)il faut et il su t que( P0) contienne une droite orthogonale `a( P). P D P')6. Soit( D)la dr oiteintersection de deux plans ( P)et ( P0), d´efinie par le syst`eme d"´equations :
(S)8 >><>>:x+y+ z=0x+0y+
0z=0 Siuetu0sont des nombres qui ne sont pas tous les deux nuls, les pointsM(x;y;z)de ( D)v ´erifient aussi l"´equation :
(u+u00)x+(u+u00)y+(u +u00)z=u+u00
On ne peut pas avoir
`a la fois : (u+u00)=0 (u+u00)=0 (u +u0 0)=0 car cela signifierait queu!N+u0!N0=!O, mais les vecteurs!Net!N0ne sont pas colin´eaires. 8 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)Si l"on noteu(P)+u0(P0)le plan d ´efini par l"´equation :
(u+u00)x+(u+u00)y+(u +u00)z=u+u00
la droite ( D)est aussi contenue dans ce plan. Il n"est pas dicile de d´emontrer que r´eciproquement, tout plan (P00)contenant ( D)est de la forme u(P)+u0(P0).(P)(P' ) D P '')Produit mixte1 D´efinition
1. On cherche le volume d"unparall´el´epip`edepos´e sur le plan (x;y) :
xyzOhV=$ S dV=Z h 0 B d!! dzV=haire(B)
2. On va donner une interpr
´etation g´eom´etrique deaire(B)et de h.
aire(B)=!V!V0 z O hV V'x V V'9 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)hs"obtient en projetant!V00sur!V!V0:h
V'' VV'x VV') V=(!V!V0)!V00
3. Le nombre :
=(!V!V0)!V00=det(!V;!V0;!V00)=s"appelle led´eterminant, ou leproduit mixtede!V,!V0,!V00.