Un vecteur colonne est une matrice avec une seule colonne Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à la même Pour multiplier une matrice A ( n×p ) par un vecteur colonne B( p×1 ), on multpilie
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Un vecteur colonne est une matrice avec une seule colonne Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à la même Pour multiplier une matrice A ( n×p ) par un vecteur colonne B( p×1 ), on multpilie
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Les vecteurs Un vecteur (colonne) : x = Le produit scalaire est l'intensité ( signée) de la projection d'un vecteur trouver l'angle entre 2 vecteurs : α = ±cos −1
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nous a guidé pour définir cette opération : le produit de deux matrices est une nouvelle de la loi de multiplication entre une matrice 2 × 2 et un vecteur colonne
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8 nov 2011 · Nous insistons sur le fait que le produit AB de deux matrices n'est successivement le produit de B par chacun des vecteurs colonnes de A
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sont deux matrices carrées de taille 2 (avec deux lignes et deux colonnes) on est le produit vecteur ligne vecteur colonne de la ii`eme ligne de B par la ji`eme
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Puisque la somme de deux vecteurs et le produit d'un vecteur par un nombre sont Nous rangeons ces 4 vecteurs en colonnes dans une matrice appelée C
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Déterminons x et y pour que les deux matrices E et F soient égales E = F ⇐ Produit d'une matrice par par un vecteur-colonne(par une matrice m × 1 On peut
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On peut voir les vecteurs de Rn comme des matrices-colonnes (ou comme des Proposition Si le produit AB a un sens, et λ et µ sont deux nombres, on a
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Le produit AB de deux matrices A et B est défini si et seulement si le nombre Un exemple intéressant est le produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne :
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18 oct 2004 · est un vecteur de R4 Comme un vecteur n'a qu'une seule colonne, il est inutile de conserver la notation `a double indice des matrices : un seul
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Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Chapitre 3Calcul matriciel
1. Définitions et Vocabulairea. Définitions d'une matriceDéfinitionUne matrice de dimension n×p est un tableau de nombres comportant n lignes et p
colonnesExemples [3787 214556102]Cette matrice a pour dimension 3×4Elle comporte 3 lignes et 4 colonnesC'est une matrice quelconque
[36-57 4781082-5
00-16]Cette matrice a pour dimension 4×4Elle comporte 4 lignes et 4 colonnesC'est une matrice carrée
[7131153]Cette matrice a pour dimension 1×5Elle comporte 1 lignes et 5 colonnesC'est un vecteur ligne
[1 4 2 5-3]Cette matrice a pour dimension 5×1Elle comporte 5 lignes et 1 colonnesC'est un vecteur colonne1 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)b. Vocabulaire•Les nombres dans les matrices se nomment : les coefficients de la matrice•On noteaijle coefficient à l'intersection de la ligne i et la colonne j.•Toute matrice est de la forme :
[a11a12a13...........a1p a21a22a23..........a2p a31a32a33...........a3p an1an2an3...........anp]•Une matrice carrée est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnesOn a alors n = p.•Un vecteur colonne est une matrice avec une seule colonne•Un vecteur ligne est une matrice à une seule ligne•Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à
la même place sont égaux.c. Transposée d'une matriceDéfinitionLa transposée d'une matrice est obtenu en échangant les lignes et les colonnesSi A est une matrice alors sa transposée se note : tA
Les lignes de A sont les colonnes de tA
Si A= [a11a12a13...........a1p a21a22a23..........a2p a31a32a33...........a3p an1an2an3...........anp ]alors tA= [a11a21a31...........an1 a12a22a32..........an2 a13a23a33...........an3 a1pa2pa3p...........anp ]2 / 10 Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Exemples A= [3787 214556102]
tA= [325 7168410
752]B=
[36-57 4781082-5
00-16]tB=
[3400 6780-582-1
71-56]
C=[41034]tC=
[4 10 3 4] D= [5 2 16]tD=[5216]2. Additions et Soustractionsa. Les additions et soustractions de matricesRègle de calculLa somme ( ou la différence ) de deux matrices A et B de même dimension est la
matrice obtenue en ajoutant ( ou soustrayant ) les coefficients de A et B situés à la même place.Exemple Si A= [3787 214556102]et
B= [0347 13610019]alors
AB=
[3101214 34106561111]3 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Remarque :A+B a la même dimension que A et B. b. Multiplication par un réelRègle de calculLe produit d'une matrice par un réel , est la matrice ×A obtenue en multipliant
chaque coefficient de A par .Exemples Si A= [3787 214556102]alors
10A= [3070807020104050
506010020] Si
A= [1 3 7 3 8 3 7 3 2 3 1 3 4 3 5 3 5 3 6 3 10 3 2 3 ]alors 3A= [1787 214556102]Si
A= [1787 214556102]alors
1 2 A= [1 2 7 2 8 2 7 2 2 2 1 2 4 3 5 2 5 2 6 2 10 2 2 24 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)3. Multiplications a. Produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonneRègle de calcul[a1a2....an-1an]×
[b1 b2 bn-1 bn a1 ×b1a2 ×b2....an-1×bn-1an×bnExemple [14201]× [3 1 5 4 01 ×34 ×12 ×50 ×41 ×0= 17b. Produit d'une matrice par un vecteur colonneRègle de calculPour multiplier une matrice A ( n×p ) par un vecteur colonne B( p×1 ), on multpilie
chacune des n lignes de la matrice A par le vecteur colonne BOn obtient alors un vecteur colonneExemples Si
A=[2432]et B=[5
7]alorsA×B=[24
32]×[5
7]=[2 ×44 ×7
3 ×52 ×7]=[36
29] Si
A=[241
322]et B=
[1 00]alors
A×B=[241
322]×
[1 00]=[2 ×14 ×01 ×0
3 ×12 ×02 ×0]=[2
3]5 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605) Si A=[241322]et B=
[0 10]alors
A×B=[241
322]×
[0 10]=[2 ×04 ×11 ×0
3 ×02 ×12 ×0]=[4
2] Si
A=[241
322]et B=
[0 01]alors
A×B=[241
322]×
[0 01]=[2 ×04 ×01 ×1
3 ×02 ×02 ×1]=[1
2]SiA=[241
322]et B=
[x y z]alorsA×B=[241
322]×
[x y z]=[2x4y1z3x2y2z]d. Produit de deux matricesRègle de calculSi A
aijest une matrice de dimension n×p et B bijest une matrice de dimension p×m alors C=A×B cijest une matrice de dimension n×m et Cij est le produit de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.Exemple SiA=[241
322]et B=
[014 017156]alors
A×B=[241
322]×
[014 017 156]A×B=[2 ×04 ×01 ×12 ×14 ×11 ×52 ×44 ×71 ×6
3 ×02 ×02 ×13 ×12 ×12 ×53 ×42 ×72 ×6]=[11142
21538]6 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)e. Propriétés de la multiplicationLa multiplication n'est pas commutative :
AxB BxA Exemple A=[20
34]et B=[-11
45] La multiplicatin est distributive par rapport à l'addition :A × (B + C) = A × B + B × CExemple
A=[2034], B=[-11
45]et C=[17
82]La multiplication est associativeA × (B × C ) = ( A × B ) × C Exemple
A=[2034], B=[-11
45]et C=[17
82]4. Matrice unité et Inverse a. DéfinitionDéfinitionIn est une matrice unité si i ∀∈ , aℕii = 1 et aij=0 si i ≠ jTous les coefficient de la diagonale sont égaux à 1 et les autres sont tous nulsExemple
I3= [100 010001]7 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)DéfinitionSoit A une matrice carrée n × n.La matrice A-1 est l'inverse de A ssi A × A-1 = A-1 × A= In
Exemple Si A=[20
34]alorsA-1=
[1 20 -3 8 14] En effet : A × A-1 = A-1 × A= I3
b. Recherche de l'inverse d'une matriceRègle de calculPour déterminer l'inverse d'une matrice M carée d'ordre n, on recherche une
matrice N dont les coefficients sont des inconnues telle que M x N = InExemple Soit
M=[322-1]On cherche une matrice N telle que MN = I2
On pose
N=[ab cd] On a alorsM=[3a2c3b2d
2a-c2b-d]
Ainsi, MN = I equivalent à
[3a2c3b2d2a-c2b-d]= [10
01] Ou encore :3a + 2c = 13b + 2d = 02a - c = 02b - d = 1 On trouve a = 1/7, b = 2/7, c = 2/7 et d = -3/7 On en déduit que la matrice M est inversible et
M-1= [1 7 2 7 2 7 -37]8 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Remarque :Soit A=[ab cd]une matrice carrée d'ordre 2A est inversible si, et seulement si a d - bc 0Si A est inversible, on démontre facilement que
A-1 =1
ad-bc[d-b -ca]5. Résolution de systèmes d'équationsExemple Je souhaite résoudre
{2x-3y=83x5y=-7 or,
[2-335]×[x
y]=[2x-3y3x5y] ce système est équivalent à l'équation suivante : AX = B avec
A=[2-3
35], X=[x
y]et B=[8-7]or A X = B A⇔-1 × A × X = A-1 × B donc A × X = B I⇔2 * X = A-1 × B X = A⇔-1 × BIl reste donc à calculer A-1 et de calculer A-1 × Bpour obtenir x et y. Attention A-1 est à gauche dans A-1 × BOn trouve
A-1= [5 19 3 19 -3 19 219]donc
[x y]= [5 19 3 19 -3 19 219]×[8
-7]= [519 ×8-3
19 ×7
-319 ×8 -2
19 ×7]=
[1 9 19 -3819]=[1
-2] x = 1 et y = -2⇒9 / 10Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)6. Autres calculsa. Puissances de matricesPour calculer An on effectue A×A×A ......×A ( n fois )Exemple J=
[010 001000] montrer que
J3=0b. Image d'une matrice par une fonction polynômeOn note la fonctionf(x) = ( x - 2 )( x - 3 )(x - 5 )Soit A une matrice carrée n × nPour calculer f(A) on effectue ( A - 2In)( A - 3In)( A - 5In)