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Montrer que la suite est monotone En déduire que la suite est convergente 4 Déterminer la limite de la suite ( ) ≥0 Allez à : Correction exercice 1 :

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L'objectif de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite u Pour cela, on consid`ere la suite v définie par tout entier naturel n par vn = −2un + 3n − 21

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Suites Aides à la résolution et correction des exercices Maths SUP - Filière MPSI OPTIMAL SUP-SPE - Concours 2016 Exercices corrigés 1) Pour la première limite, utiliser la définition de la partie entière et le théorème de l' encadrement

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cos 1 √ n + k Exercice 4 Etudier les limites suivantes lorsque n → ∞ : n32−n, nαan (α ∈ R, a 

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Suites numériques exercices corrigés http://laroche lycee free La suite semble croissante et converger vers le point (3 ; 3), soit vers une limite égale à 3 2 a

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Feuille d'exercices 4 : Limites de suites, comparaisons et opérations Exercice 1 Donner la limite des suites suivantes (si elle existe ; sinon on démontrera qu' 

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Montrer que la suite (xn)n李0 converge vers α 1 Page 2 2 Limites Exercice 8 Posons u2 = 1 − 1

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limite » dans un+1 = un + vn 2 donne l'égalité des limites des deux suites Exercice 3 (Procédés de sommation : Césaro, Euler) On considère une suite

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tous a ∈ et b ∈ ∗ avec : a < b 3) Montrer que tout élément de [0, 1] est la limite d'une suite extraite de (un) 

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Suites et séries numériques (exercices corrigés) Exercice 1(Irrationalité dee).On définit la suite de terme général u n= 1 +11! +12! ++1n!: En introduisant la suite de terme généralvn=un+1=n!, montrer que les suites (un)et(vn)sont adjacentes, en déduire que la suite(un)converge vers une

limite irrationnellePas de difficulté particulière pour l"adjacence (montrer que la suite(vn)décroît

se fait en calculantvn+1vn); si la limite est rationnelle, elle s"écritp=q, et par stricte monotonie on a u qce qui n"est pas possible.Exercice 2(Moyenne arithmético-géométrique).Soitaetbdeux réels stricte-

ment positifs; on définit deux suites(un)et(vn)par récurrence :u0=a,v0=b et, pour tout entier natureln, u n+1=un+vn2 etvn+1=pu nvn: Démontrer que ces deux suites convergent vers une limite commune (appelée moyenne arithmético-géométrique deaetb, et qu"on peut montrer être égale à2Ioù I=Z +1

0dtp(t2+a2)(t2+b2)

Ce résultat est à la base de l"algorithme de Gauss-Salamin de calcul de valeurs décimales approchées de.). 1 On voit que pour étudier la monotonie de(un)et celle de(vn), il faut étudier le signe deunvn. Maisun+1vn+1=12 (pu npv n)2. On en déduit facilement que les deux suites sont monotones bornées, donc convergent. Le " passage à la limite » dans u n+1=un+vn2

donne l"égalité des limites des deux suites.Exercice 3(Procédés de sommation : Césaro, Euler).On considère une suite

(un)n0de nombres réels ou complexes. On définit la suite(vn)n0par v n=1n+ 1(u0+u1+u2++un)

1. On suppose que la suite(un)converge vers0. Montrer que la suite(vn)

converge vers0.

2. On suppose que la suite(un)converge. Montrer que la suite(vn)converge.

C"est le théorème de Césaro.

3. Donner un exemple montrant que la réciproque de la propriété précédente

est fausse.

4. On suppose que la suite(un)est réelle et tend vers+1. Montrer que la

suite(vn)tend elle aussi vers+1.

5. La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie?

6. On définit maintenant, pourn1,

w n=12 n(n 0 u 0+n 1 u 1++n n u n)

Reprendre les questions précédentes en remplaçant(vn)par(wn)1. Soit >0, on fixe un rangN0tel que

8nN0junj =2

on a alors, pour toutnN0, jvnj 1n+ 1(u0+:::+uN01) +nN0+ 1n+ 12 Le majorant tend vers=2quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(jvnj ) 2

2. Remarquer que

v n`=1n+ 1((u0`) + (u1`) ++ (un`)) permet de se ramener au cas`= 0déjà traité.

3. Non, l"exemple classique étantun= (1)n.

4. SoitAun réel quelconque, on fixe un rangN0tel que

8nN0unA+ 1

on a alors, pour toutnN0, v n1n+ 1(u0+:::+uN01) +nN0+ 1n+ 1(A+ 1) Le minorant tend versA+ 1quandn!+1, il existe donc un rangN1 tel que (nN1) =)(vnA)

5. Et la réciproque est encore fausse...Prenons par exempleun=nsinest

pair,un= 0sinest impair. La suite(un)n"a pas pour limite+1, en revanche la suite(vn)a bien pour limite+1(on peut calculerv2net v

2n+1sans grande difficulté).

6. On reprend les calculs précédents, sans grands changements. Il est utile

de se souvenir que nX k=0 n k = 2 n et on aura également besoin de noter que, siN01, 12 nN 01X k=0 n k u k!n!+10 qui est simplement conséquence du fait que, pour chaquek, n k2 n!n!+10 (on a assez facilement n k n!+1n kk!, et on peut utiliser des croissances

comparées de suites de référence).Exercice 4(Oral Centrale).(à n"aborder que si on est assez à l"aise avec

l"exercice sur Césaro)

Soit(an)n02RNet

2]1;1[. Montrer

a n!n!+10()an+1 an!n!+10 3 Seule l"implication de droite à gauche est intéressante. Notons u n=an+1 an et essayons d"exprimeranà l"aide desup(l"hypothèse est que la suite(un) converge vers 0) :a1=u0+ a0,a2=u1+ a1=u1+ u0+

2a0, puis, par

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