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Si on trouve une forme indéterminée de type 0 0 ou ∞ ∞ en faisant le quotient d'un polynôme et d'une fonction puissance ou de type 0×∞ en faisant le produit,

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On ne peut pas appliquer les théor`emes sur les opérations car la fonction sin n'a pas de La limite cherchée est donc 1 (la forme n'est plus indéterminée)

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Limites Limites

dd""uneune fonctionfonction 1.

Limites de références

2.

Opérations sur les limites

3.

Théorèmes de comparaison

4.

Croissance comparée de ln, exp et polynomes

5.

Des méthodes classiques en cas de FI

1.) Limites de références

Il faut connaître les limites des fonctions dites usuelles: ln, exp, cos, sin, tan, puissance, et celles de leurs réciproques.

2.) Opérations sur les limites d"une

fonctiona) Addition -∞FI- ∞-∞FI+ ∞+ ∞+∞-∞+∞l+l"l- ∞+∞l"lim g lim f Forme Indéterminée signifie que l"on ne peut pas donner un résultat général (valable dans tous les cas). Prenons des exemples très simples pour illustrer que (+ ∞-∞) est une FI : Dans chacun des cas suivants les fonctions f et g vérifient lim x->+∞ f(x)=+ ∞et lim x->+∞ g(x)=- •si f(x)=x et g(x)=-x on a lim x->+∞ (f(x)+g(x))=0 •si f(x)=x et g(x)=-x

2on a lim

x->+∞ (f(x)+g(x))= - •si f(x)=x

2et g(x)=-x on a lim

x->+∞ (f(x)+g(x))=+

On voit que le résultat de lim

x->+∞ (f(x)+g(x)) dépend des fonctions choisies

FIFI000

+∞l lim g lim f ∞l l" l" FI FI0 0 b) Multiplication

Pour Illustrer que (+

∞x0) est une FI : Dans chacun des cas suivants les fonctions f et g vérifient lim x->+∞ f(x)=+ ∞et lim x->+∞ g(x)=0 •si f(x)=x et g(x)=1/x on a lim x->+∞ (f(x)g(x))=1 •si f(x)=x et g(x)=1/x

2on a lim

x->+∞ (f(x)g(x))= 0 •si f(x)=x

2et g(x)=1/x on a lim

x->+∞ (f(x)g(x))=+

On voit que le résultat de lim

x->+∞ (f(x)g(x)) dépend des fonctions choisies, c"est une forme indéterminée en général Les formes indéterminées sont donc1.1.++∞∞

2.2.0x 0x

3.3.0/00/04.4.∞∞/ / ∞∞

Il existe quelques stratIl existe quelques strat

éégies pour gies pour

lever certaines indlever certaines ind

ééterminationsterminations

Théorème- Soient fune application de Idans R , gune application de Jdans R oùIet Jsont deux intervalles de R contenant au moins deux points et tels que f(I) soit inclus dans J.

Soit aun point ou une extrémité de I.

On suppose que

où l est un point ou une extrémité de Jet que Alors

Composition de limites

3.) Théorèmes de comparaison

Soit f, g et h des fonctions définies sur D un intervalle.

Soit a un point ou

une extremité de D

Théorème 1: si pour tout x de D, f(x)>g(x)

alors lim x->a f(x)≥lim x->a g(x)

Théorème 2:

(des gendarmes) x->a f(x)=lim x->a h(x)=L alors lim x->a g(x)=L

Théorème 3:

x->a g(x)=0 alors lim x->a f(x)=L 4.)

Croissance

compar

éeln,

puissance, exp Soient α, βdes réels strictement positifsThéorème 1: lim x->+∞ ln(x)/x=0

Théorème 2:

lim x->+∞ ln(x)

β/x

α=0

Théorème 3:

lim x->+∞ xα/exp(x)=0

Remarque: on peut retenir qu" " en +

∞, exp l"emporte sur les puissances qui l"emportent sur ln »

Théorème 2bis:

lim x->+∞ xα/a x=0

Théorème 3:

lim x->0+ xαln(x)=0

Théorème 4:

lim x->-∞ xαexp(x)=0

3.) Quelques méthodes pour lever

des FIFraction rationnelle (de polynômes) en =-++¥®+¥®+¥®23

23lim112

1 lim12limx x xx x xxxxxx On pourra retenir qu"en l"infini, on regarde la limite du quotient des termes du plus haut degré des deux polynômes.

Fraction rationnelle FI 0/0

?00:68223lim 22
1

FIxxxx

x Cela signifie que 1 est une racine des deux polynômes.

On peut donc les factoriser:

41

322lim31221lim

11 xx xxxx xx s"il y a des racines carrées, on pourra essayer de multiplier par la quantité conjuguée

01111lim111111lim11lim

xxxxxxxxxxxx xxx si on reconnait la limite d"un taux de variation, penser à la dérivée... et puis on verra les développements limitésquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47