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4 Fonctions trigonométriques lim x→x0 sin x=sin x0 lim x→x0 cos x=cos x0 Remarque Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite à l'infini

Limite en l'infini, limite en un réel 4 Fonctions trigonométriques réciproques Propriétés dans l'ensemble des réels e) De la borne sup/inf vers la limite

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Limites remarquable Fonctions trigonométrique lim x→0 sin(x) x = 1 lim x→0 1 − cos(x) x2 = 1 2 lim x→0 arcsin(x) x = 1 lim x→0 tan(x) x = 1 Fonctions

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Limites de fonctions - 1 / 1 - LIMITES Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle ] b ; + ∞ [ et L ∈ IR Si pour tout x B ) COMPARAISON A L'INFINI

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26 jui 2013 · 1 3 Signe des lignes trigonométriques 3 2 Application aux calculs de limites La fonction cosinus est paire : ∀x ∈ R cos(−x) = cos x

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Savoir qu'une fonction f (x) tend vers ±∞ ou vers 0 lorsque x est voisin de x0 ne Ainsi h(x) tend plus vite vers l'infini que f (x) qui elle même tend plus vite vers

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Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques A l'infini, la limite d'une fonction polynôme est la limite de son terme de plus haut degré • A l'infini, la

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3 6 Fonctions trigonométriques Si I = ]a, +∞[ et si f et h ont la même limite l ( finie ou infinie) quand x tend vers +∞, Opérations sur les limites de fonctions

Limite d'une fonction

1. Fonctions de référence :

X 0 est un réel quelconque.

1.1 Fonction constante :f(x)=a(a∈R) limx→+∞f(x)=a

limx→-∞f(x)=a limx→x0f(x)=a

1.2 Identité de IR :

f(x)=x limx→+∞f(x)=+∞ limx→-∞f(x)=-∞ limx→x0f(x)=x0

1.3 Fonction inverse :

xxf1)(

0)(lim

r r xf xf x x1. 4 Fonctions trigonométriques limx→x0 sinx=sinx0 limx→x0cosx=cosx0

Remarque

Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite à l'infini. Et plus généralement, les fonctions périodiques n'ont pas de limite à l'infini.

2. Opérations sur les limites

2.1 Limite d'une somme :

lim flim glim (f+g) ll'l+l'

Forme indéterminée

l Date de version : Octobre 2018Auteur : équipe de maths 1/4 http://www.accesmad.org

2.2 Limite d'un produit :

lim flim glim (f.g) Forme indéterminée

2.3 Limite d'un quotient :

lim flim glim (f/g) l

0'gll/l'

Forme indéterminée l 0

00Forme indéterminée

0l0

Lorsque la limite d'une fonction est de la forme

0 loù 0gl, alors le résultat est . Pour savoir si c'est ou, on étudie le signe du dénominateur.

Exemple :

xxf1)( limx→0+ f(x)=+∞ lim x→0- f(x)=-∞2.4 Limite d'une fonction irrationnelle : Si f(x)≥0 dans un intervalle ouvert contenant

0xet limx→x0

f(x)=l alors lxfxx r )(lim0Si limx→x0f(x)=+∞ alors limx→x0

Les formes indéterminées

oLimite d'un polynôme :

La limite d'une fonction polynôme quand x tend vers l'infini, est égale à la limite de son terme du plus

haut degré. Date de version : Octobre 2018Auteur : équipe de maths 2/4 http://www.accesmad.org

Exemple : f(x)=x²-x+1

limx→+∞ f(x)=+∞-∞ limx→+∞ f(x)=limx→+∞ x²[1-1 x+1 x²]=limx→+∞ x²=+∞oLimite d'une fonction rationnelle

La limite d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes du plus haut degré du

numérateur et du dénominateur (quand x tend vers l'infini)

Exemple : f(x)=2x²+1

x3-1 limx→+∞ f(x)=limx→+∞

2x²+1

x3-1=+∞+∞=F.ILevons l'indétermination : x²) x3(1-1 x3)=limx→+∞2x² x3=limx→+∞2 x=0

Si la limite d'une fonction rationnelle en

0xest de la forme 0

0, on met 0xx en facteur et on simplifie

Exemple :

f(x)=x²-1 x-1limx→1f(x)=0 0=F.I limx→1 f(x)=limx→1 x2-1 x-1=limx→1 (x-1)(x+1) x-1=limx→1 (x+1)=2oLimite d'une fonction irrationnelle Si la limite d'une fonction irrationnelle est de la forme ou0

0, on lève l'indétermination en

utilisant l'expression conjuguée.. Si elle est de la forme ∞∞, on met les termes de plus hauts degrés en facteur oLimite des fonctions trigonométriques

Limites classiques

•limx→0sinx x=0 Date de version : Octobre 2018Auteur : équipe de maths 3/4 http://www.accesmad.org •limx→0 tanx x=0• limx→0

1-cosx

x=0•limx→01-cosx x2=1 2

3. Limites et inégalités

Théorème 1

- si - si limf(x)=+∞ alors limg(x)=+∞ - si limg(x)=-∞ alors limf(x)=-∞

Théorème 2

Si limx→x0 f(x)=l équivaut à limx→x0 |f(x)-l|=0Conséquence limg(x)=0 alors limf(x)=lThéorème 4

Soit I un intervalle et x0 un élément de I

Si g est bornée sur I et

limx→x0 f(x)=0, alors limx→x0g(x).f(x)=0

4. Unicité de la limite

Théorème

Si une fonction f admet une limite en un point x0, ou à l'infini, alors cette limite est unique Date de version : Octobre 2018Auteur : équipe de maths 4/4quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Limite d'une fonction

1. Fonctions de référence :

X 0 est un réel quelconque.

1.1 Fonction constante :f(x)=a(a∈R) limx→+∞f(x)=a

1.2 Identité de IR :

1.3 Fonction inverse :

0)(lim

0)(lim

Remarque

2. Opérations sur les limites

2.1 Limite d'une somme :

2.2 Limite d'un produit :

2.3 Limite d'un quotient :

0'gll/l'

00Forme indéterminée

0l0

Lorsque la limite d'une fonction est de la forme

Exemple :

0xet limx→x0

Les formes indéterminées

Exemple : f(x)=x²-x+1

Exemple : f(x)=2x²+1

2x²+1

Si la limite d'une fonction rationnelle en

0xest de la forme 0

0, on met 0xx en facteur et on simplifie

Exemple :

0, on lève l'indétermination en

Limites classiques

1-cosx

3. Limites et inégalités

Théorème 1

Théorème 2

Soit I un intervalle et x0 un élément de I

Si g est bornée sur I et

4. Unicité de la limite

Théorème