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= − : la droite d'équation 5 y = − est asymptote horizontale à la courbe représentative de f Exercice 7 : a) 0 lim ( ) x

M CUAZ, http://mathscyr free Page 1/18 LIMITES – EXERCICES CORRIGES Exercice n°1 Déterminer la limite éventuelle en + ∞ de chacune des fonctions

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= − : la droite d'équation 5 y = − est asymptote horizontale à la courbe représentative de f Exercice 7 : a) 0 lim ( ) x

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Sont abordés dans cette fiche : • Exercice 1 : détermination graphique d'une limite et d'une équation d'asymptote à une courbe (asymptote verticale et

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La courbe admet aussi la droite d'équation x=1 comme asymptote verticale Thierry Vedel 1 sur 3 Page 2 Corrigé des exercices sur les asymptotes

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LIMITES ET ASYMPTOTES

I. Lectures graphiques Corrigé

Exercice 1

()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x a ()lim xf x a La droite d"équation y a= est une asymptote horizontale à la courbe ()lim x a x af x ()lim x a x af x ()lim x a x af x ()lim x a x af x La droite d"équation x a= est une asymptote verticale à la courbe

1N°2N°3N°4N°

5N°6N°

7N°10N°9N°8N°

2 ()()lim 0 xf x ax b ()()lim 0 xf x ax b La droite d"équation y ax b= + est est une asymptote oblique à la courbe

Exercice 2

: La courbe ci-contre représente une fonction f.

1) La fonction f représentée ci-contre

admet les limites suivantes : a) lim ( ) 1 xf x b) 2 2

2 2lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x c)

2lim ( ) 0

xf x d) lim ( ) 3 xf x

2) On en déduit l"existence de trois

asymptotes :

Une asymptote horizontale d"équation

1y= - car lim ( ) 1

xf x une asymptote verticale d"équation

2x= - car

2 2

2 2lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x une asymptote horizontale d"équation

3y= car lim ( ) 3

xf x

Exercice 3

: La courbe ci-contre représente une fonction f.

1) a) En

-¥, la fonction f admet pour limite b) En 0, la fonction f admet pour limite 0. c) En 1, la fonction f admet pour limite d) En +¥, la fonction f admet pour limite

2) De la question 1b) (

1lim ( )

xf x on peut déduire que la courbe représentative de f admet la droite d"équation

1x= comme

asymptote verticale.

12N°11N°

3Exercice 4

: La fonction f représentée ci- contre est définie sur {}1;2-R\. 1) lim ( ) 1 xf x 1 1

1 1lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x 2 2

2 2lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x lim ( ) xf x

2) La courbe admet quatre asymptotes :

une asymptote horizontale d"équation 1y= ; deux asymptotes verticales d"équations

1 et 2x x= - = ;

une asymptote oblique d"équation

3y x= -.

Exercice 5

La fonction f représentée ci-contre admet les limites suivantes : lim ( ) 1 et lim ( ) 1 x xf x f x 1 1

1 1lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x

Remarque : la calculatrice a ses " limites ».

On a l"impression que la courbe a des points communs avec la droite d"équation

1x=. Ceci est dû au tracé approximatif des

courbes par une calculatrice.

II. Limites et asymptotes Corrigé

Exercice 6

: f est une fonction définie sur ][][;2 2;-¥ È +¥. a) lim ( ) 3 xf x la droite d"équation

3y=est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

2lim ( )

xf x la droite d"équation

2x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

c) lim ( ) 5 xf x la droite d"équation

5y= - est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

Exercice 7

0lim ( )

xf x la droite d"équation

0x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

5lim ( )

xf x la droite d"équation

5x= - est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

3lim ( )2xf x

4 la droite d"équation

2y= est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

d) lim ( ) 7 xf x la droite d"équation

7y= est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

e) 3 3

3 3lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x la droite d"équation

3x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

Exercice 8

: La courbe ci-dessous représente une fonction f telle que : 1 1

1 1lim ( ) 0 ; lim ( ) ; lim ( ) et lim ( )

x x x x x xf x f x f x f x

Exercice 9

1) f est une fonction telle que

()lim ( ) 2 5 0 xf x x la droite d"équation

2 5y x= - est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

2) f est une fonction telle que

( ) ( ) et lim ( ) 0 xf x x g x g x la droite d"équation y x= est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

Exercice 10

: f est la fonction définie sur ][][;0 0;-¥ È +¥ par 1( ) 2f x xx= + +. ()0lim 2 2xx®+ = ;

0 0 0 0

1 1lim donc lim ( ) et lim donc lim ( )

x x x x x x x xf x f xx x

On en déduit que la droite d"équation

0x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

D"autre part,

( )1 1 1( ) 2 et lim lim 0 x xf x xx x x®-¥ ®+¥- + = = =, 5donc ()()lim ( ) 2 0 et lim ( ) 2 0 xxf x x f x x

On en déduit que la droite d"équation

2y x= + est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

Exercice 11

a) La droite d"équation

5y= est asymptote à la courbe de f se traduit par lim ( ) 5

xf x b) La droite d"équation

0y= est asymptote à la courbe de f se traduit par lim ( ) 0

xf x c) La droite d"équation

4x= est asymptote à la courbe de f se traduit par

4lim ( )

xf x d) La courbe de la fonction f admet pour asymptote la droite d"équation

2x= - :

2lim ( )

xf x e) La droite d"équation

3y x= - + est asymptote à la courbe de f : ()lim ( ) 3 0

xf x x f) La courbe de la fonction f admet pour asymptote l"axe des abscisses : lim ( ) 0 xf x III. Détermination de limites Corrigé

En utilisant les opérations

Exercice 12 :

21lim 2xxx®+¥

()2lim 2 xx

®+¥+ = +¥ et 1lim 0

xx®+¥= donc 21lim 2 xxx®+¥ ( )+ + = +¥( )( ) (limite d"une somme). b) 2 2

21lim 32x

x xx ()2

2lim 2 0

x x x- - = donc 2 2 1lim2 x xx®

De plus,

()2

2lim 3 7

®+ = donc ( )

2 2

21lim 32

x x xx + = -¥- (limite d"un produit). c)

1 1lim2xx x®-¥

1lim 02xx®-¥=- et

1lim 0

xx®-¥= donc 1 1lim 02xx x®-¥ ( )+ =( )-( ) (limite d"une somme). d)

21lim 1xxx®+¥

1lim 0

xx®+¥= donc 1lim 1 1xx®+¥

De plus,

2limxx®+¥= +¥ donc 21lim 1

xxx®+¥ ( )- = +¥( )( ) (limite d"un produit). e)

201lim 2 1xxx®

0lim 0xx+

®= donc 201lim

xx®= +¥.

6 De plus,

()0lim 2 1 1xx®- = - donc 201lim 2 1 xxx® ( )+ - = +¥( )( ) (limite d"une somme). f) ( )1lim 3 2 1xxx®-¥

1lim 0

xx®-¥= donc 1lim 3 3xx®-¥

De plus,

()lim 2 1xx®-¥- + = +¥ donc ( )1lim 3 2 1 xxx®-¥ ( )- - + = -¥( )( ) (limite d"un produit).

En appliquant les théorèmes

Exercice 13 : Limites de polynômes et fonctions rationnelles en l"infini. Rappel : La limite d"un polynôme en l"infini est celle de son monôme de plus haut degré.

La limite d"une fonction rationnelle en l"infini est celle du rapport des monômes de plus haut degré.

a) ()

4 4lim 2 3 1 lim 2

x xx x x b) ()()3 3lim 1 2 lim x xx x x c)

2 23 1 3lim lim lim 3

3x x x

x xx x x®+¥ ®+¥ ®+¥ d)

3 3 22 7 2 2lim lim lim 01x x x

x x x x x®-¥ ®-¥ ®-¥ e) 3 3

3 31 2 2 2 2lim lim lim5 2 3 5 5 5x x x

x x x x x®+¥ ®+¥ ®+¥

Exercice 14

: Limites de fonctions rationnelles au bord d"une valeur interdite. a) 3 3 1lim3 x xx® ( )33 33

1lim 3 0 donc par passage à l"inverse : lim3

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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LIMITES ET ASYMPTOTES

I. Lectures graphiques Corrigé

Exercice 1

1N°2N°3N°4N°

5N°6N°

7N°10N°9N°8N°

Exercice 2

1) La fonction f représentée ci-contre

2 2lim ( ) et lim ( )

2lim ( ) 0

2) On en déduit l"existence de trois

Une asymptote horizontale d"équation

1y= - car lim ( ) 1

2x= - car

2 2lim ( ) et lim ( )

3y= car lim ( ) 3

Exercice 3

1) a) En

2) De la question 1b) (

1lim ( )

1x= comme

12N°11N°

3Exercice 4

1 1lim ( ) et lim ( )

2 2lim ( ) et lim ( )

2) La courbe admet quatre asymptotes :

1 et 2x x= - = ;

3y x= -.

Exercice 5

1 1lim ( ) et lim ( )

Remarque : la calculatrice a ses " limites ».

1x=. Ceci est dû au tracé approximatif des

II. Limites et asymptotes Corrigé

Exercice 6

3y=est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

2lim ( )

2x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

5y= - est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

Exercice 7

0lim ( )

0x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

5lim ( )

5x= - est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

3lim ( )2xf x

4 la droite d"équation

2y= est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

7y= est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

3 3lim ( ) et lim ( )

3x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

Exercice 8

1 1lim ( ) 0 ; lim ( ) ; lim ( ) et lim ( )

Exercice 9

1) f est une fonction telle que

2 5y x= - est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

2) f est une fonction telle que

Exercice 10

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1lim donc lim ( ) et lim donc lim ( )

On en déduit que la droite d"équation

0x= est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

D"autre part,

On en déduit que la droite d"équation

2y x= + est asymptote oblique à la courbe représentative de f.

Exercice 11

5y= est asymptote à la courbe de f se traduit par lim ( ) 5

0y= est asymptote à la courbe de f se traduit par lim ( ) 0

4x= est asymptote à la courbe de f se traduit par

4lim ( )

2x= - :

2lim ( )

3y x= - + est asymptote à la courbe de f : ()lim ( ) 3 0

En utilisant les opérations

Exercice 12 :

21lim 2xxx®+¥

®+¥+ = +¥ et 1lim 0

21lim 32x

2lim 2 0

De plus,