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Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 1 : détermination graphique e équation courbe (asymptote verticale et asymptote horizontale) Exercice 2 : étude de limites, asymptotes verticales et horizontales

Exercice 3 : étude de limites de fonctions composées, formes indéterminées, expression conjuguée,

asymptotes horizontales

Exercice 4 :

Exercice 5 :

On a tracé ci-dessous en vert , la courbe représentative dfonction . Déterminer graphiquement ,

, puis une équation de chacune des asymptotes à .

Limites et comportement asymptotique

Exercices corrigés

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

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1) Ci-dessous est tracée en vert .

Rappel :

Soient

Continuité en un point : :

-à-dire et en particulier

Continuité sur un intervalle :

Graphiquement, on lit :

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Remarque Notation :

et 2)

Rappel : Asymptotes à une courbe

Asymptote horizontale :

Soit asymptote horizontale asymptote horizontale

Asymptote verticale :

Si asymptote verticale

Asymptote oblique :

Soit asymptote oblique

Graphiquement, on lit :

Donc la droite - est asymptote verticale à .

désigne la limite à gauche de en désigne la limite à droite de en

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Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

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Par ailleurs,

Donc la droite - est asymptote verticale à

Enfin,

Donc la droite est asymptote horizontale à en et en . 0 0 tend vers - par valeurs inférieures tend vers - par valeurs supérieures

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Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

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Déterminer les limites suivantes et .

Remarque préalable : Le verbe " déduire » signifie " partir de propositions prises pour prémisses

1) Déterminons

, par quotient, On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessous en bleu).

Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile

Si -, alors :

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Remarque :

Cette étude de limite aurait également permis la courbe représentative de la fonction admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessus en bleu). Autre remarque : La courbe représentative de la fonction - admet également une asymptote horizontale (représentée ci-dessous en rose) - en et en . En effet, 0

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Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

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2) Déterminons

Et , par quotient,

Donc la courbe représentative de la fonction

admet une asymptote verticale . Remarque : On aurait asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction en montrant que :

Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote horizontale

en et en . En effet, on a :

Rappel : Soient , , et .

La limite en définie par :

- est égale à la limite en du quotient de ses monômes de plus haut degré 0

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3) Déterminons

, par quotient, Et

Donc, par somme,

On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale Remarque : On pouvait également montrer en étudiant

Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote oblique

- au voisinage de et de . En effet,

4) Déterminons

Donc , la courbe représentative de la fonction - , admet une asymptote horizontale - au voisinage de .

Remarques :

- est une asymptote horizontale à en .

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5) Déterminons

Il résulte de cette étude de limite que la courbe représentative de la fonction - asymptote horizontale -.

Remarque :

6) Déterminons

Donc la courbe représentative de la fonction -

-- pas horizontale.

Remarque : La courbe représentative de cette fonction admet en revanche deux asymptotes verticales

respective - et --.

Asymptote verticale

Asymptote oblique

Courbe représentative de

la fonction

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Déterminer la limite de chacune des fonctions suivantes puis en déduire si la courbe représentative de la

fonction admet une asymptote. Rappel : Limite d fonction composée de deux fonctions

Soit une fonction définie sur un intervalle , soit une fonction définie sur un intervalle , telle que .

La fonction définie sur telle que (ou ) est la fonction composée de la fonction suivie de la fonction . , et désignent chacun soit un réel, soit , soit . Si Et si Alors

1) Déterminons

est la composée, définie sur , de la fonction suivie de la fonction . Et

Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen

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11 , par composition, Et , par composition, Donc, par différence, on aboutit à une forme indéterminée de la forme ; en effet : . Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée, afin de mettre en évidence la forme factorisée de ((. est dite " » de . Or, d , par somme,

Donc, par quotient,

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12 On en déduit que la courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale - au voisinage de .

2) Déterminons -(

, par composition, Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -( (- admet une asymptote horizontale au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la courbe représentative de la fonction -( (- admet une - au voisinage de .

3) Déterminons

, par composition, , par composition, Donc on aboutit à une forme indéterminée :

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13 n --. Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée. Et , par somme, Donc Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -- dmet pas asymptote horizontale au voisinage de .

Rappel : Formes indéterminées

Les cas de formes indéterminées (

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Soit -

1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En déduire les asymptotes

éventuelles.

2) Montrer que , la courbe représentative de comme asymptote

oblique.

3) Tracer et ses asymptotes afin de contrôler les résultats obtenus aux questions précédentes.

Soit -

1) Etudions les limites de aux bornes de son ensemble de définition.

On a : , , et

Etude en :

, par composition,

Exercice 4 (4 questions) Niveau : facile

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15 , par quotient,

Donc, par somme,

Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de

Etude en :

, par composition, , par quotient,

Donc, par somme,

Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale.

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Etude en :

, par composition, , par quotient,

Donc, par somme,

Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale. (résultat déjà obtenu ci-dessus)

Etude en :

, par somme, , par composition,

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17 , par quotient,

Donc, par somme,

Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de

2) Montrons que comme asymptote oblique.

Pour tout ,

Donc Par conséquent, la droite est asymptote oblique à au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la droite est asymptote oblique à au voisinage de

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3) Traçons (en vert) et ses asymptotes.

-dessus, on constate que les résultats obtenus aux questions précédentes sont conformes.

Soit la fonction définie sur - par :

On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal .

1) Déterminer les réels , et tels que, pour tout réel de ,

2) Déterminer les limites de aux bornes de . En déduire les éventuelles asymptotes à parallèles aux

axes du repère.

3) Montrer que

Soit la fonction définie sur - par :

Exercice 5 (5 questions) Niveau : moyen

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19 On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal .

1) Déterminons les réels , et tels que, pour tout réel de ,

Pour tout réel de ,

Ainsi, on doit obtenir :

Par identification des coefficients (uniques) des monômes du numérateur, on a :

Résolvons ce système :

Donc, pour tout réel de ,

2) Déterminons les limites de aux bornes de déduire les éventuelles asymptotes à

parallèles aux axes du repère. Remarque : sont les asymptotes horizontales et verticales. Une asymptote horizontale est par des abscisses ; une asymptote verticale est des ordonnées.

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Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 4 :

Exercice 5 :

Limites et comportement asymptotique

Exercices corrigés

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

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1) Ci-dessous est tracée en vert .

Rappel :

Soient

Continuité en un point : :

Continuité sur un intervalle :

Graphiquement, on lit :

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Remarque Notation :

Rappel : Asymptotes à une courbe

Asymptote horizontale :

Asymptote verticale :

Asymptote oblique :

Graphiquement, on lit :

Donc la droite - est asymptote verticale à .

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Par ailleurs,

Donc la droite - est asymptote verticale à

Enfin,

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Déterminer les limites suivantes et .

1) Déterminons

Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile

Si -, alors :

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Remarque :

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© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

2) Déterminons

Donc la courbe représentative de la fonction

Rappel : Soient , , et .

La limite en définie par :

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3) Déterminons

Donc, par somme,

4) Déterminons

Remarques :

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5) Déterminons

Remarque :

6) Déterminons

Donc la courbe représentative de la fonction -

Asymptote verticale

Asymptote verticale

Asymptote oblique

Courbe représentative de

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1) Déterminons

Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen

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Donc, par quotient,

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2) Déterminons -(

3) Déterminons

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Rappel : Formes indéterminées

Les cas de formes indéterminées (

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Soit -

1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En déduire les asymptotes

éventuelles.

2) Montrer que , la courbe représentative de comme asymptote

3) Tracer et ses asymptotes afin de contrôler les résultats obtenus aux questions précédentes.

Soit -

1) Etudions les limites de aux bornes de son ensemble de définition.

On a : , , et

Etude en :

Exercice 4 (4 questions) Niveau : facile

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Donc, par somme,

Etude en :